从教材的分析谈立体几何的教学.doc

明确教学目标、合理利用教材从教材的分析谈高中立体几何的教学津南区 教研室 马智军 立体几何的教学是高中数学的重要组成部分，课程标准中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直觉的能力，逻辑推理能力等。新高中数学课程对立体几何的教学作了重大的结构调整和教学要求改变，为此很多教师在处理教材和培养学生空间感上存在一定的困惑。本文通过对教材的简单分析，抓住高中立体几何教学的目标，结合教学实践，从空间想象能力的培养、到立体几何综合问题的解决策略，谈谈高中立体几何教学的具体措施和建议。 一、明确目标，弄清几个相关概念,弄懂教材研究探索立体几何的途径。1立体几何是研究空间几何体的特征（形状、大小）、位置关系的学科.2培养学生把握空间图形（认识、绘制、运用图形）能力，培养和发展学生空间想象能力与一定的推理论证能力 3空间想象能力：是人们对客观事物的空间几何形体进 行观 察、分析、认知的抽象思维能力： 能根据空间几何形体，在大脑中展现出相应的空间几何图形，并能正确想象其直观图 能根据直观图，在大脑中展现出直观图表现的的几何形体 及其组成部分的形状、位置关系和数量关系 能对头脑中 已有的空间几何形体进行分解、组合，产生新的空间几何形体，并正确分析其位置关系和数量关系 4教材编写是按照：直观感知，操作确认，思辩论证，度量计等途径来进行探索研究的。 （1）直观感知是指：通过展现立体几何教学模型或认识生活中的模型，对比直观图（实质是空间图形的平面化表示，其原则是看起来要“像”立体图 ）培养直观感知能力，提升对立体几何的亲近感，激发学习立体几何的兴趣（2）在整体感知的基础上，通过直观的操作验证、归纳总结出几何体中各元素（点、线、面）之间的位置关系（判定定理、公理）（如线面垂直、面面垂直）（3）运用归纳总结的定理、公理通过逻辑推理得到一些性质、推论或证明一些新的结论.（4）在对位置关系充分认识的基础上进行立体图形中一些度量计算（角度、距离、面积、体积计算）二、空间想象能力的培养、立体感的建立1通过观察教学模型、认识生活中的立体模型，充分利用计算机绘图多功能的优越性，从多方位、多角度、多侧面描绘立体图形，解决平面立体图形与真实立体图形在视觉上的差异，积累“实物图形正确对应的经验”，通过对直观图形透彻的观察，理解抽象的理论概念.2重视作图能力的培养： （1）斜二测画法：学习初期作图要规范，解决：“如何作几何体的平面图”与“平面图如何看(想象)成体” 上课时让学生上黑板画图，然后师生共同评析，看哪个同学 画得好，优点在哪里，存在哪些毛病； 印发常见的基本直观图给学生，让学生反复观摩，然后再画出来。 （2）学习线面位置关系中重视图形语言的训练。 （3）重视几何知识在实际生活中的应用。3引导学生掌握从直观图中“建立立体感”的常见策略： （1）掌握衬托 的技巧 ： 虚实衬托；图（2-1）图（2-1） 以上两组图形的对比，可以充分看出虚实衬托的不同，明显有不同的立体感产生，故要引导学生多试验、多观察感受，从而让学生合理利用虚实相衬表现良好的立体效果。辅助元素的衬托（线、面、体）： 图（2-4）图（2-3） 在图（2-3）中，同样的图形，在不同方式衬托元素（直线）下，明显给人的立体感是不一样的，而图（2-4）通过平面的衬托，让正四面体的外接球球心不再“悬”于空中，而是找到了可以明确测量的背景下，使得空间的立体问题放到了熟悉的平面内。（2）转换视角转换观察的角度，常采取的措施有：旋转几何体（画出另一角度的图象达到旋转的效果）、关注不同顶点【例题1】如图，用平面去截三棱柱，得到一五面体，若，则三棱锥的体积之比为 ；图（2-7）图（2-6）图（2-5） 【分析】 故： 通过视觉的转换，让问题的解决轻松而灵活。图（2-8）图（2-9）图（2-10）图（2-11）（3）应用数据（以算促证）、符号强化（感觉具有一定的暗示指向性）如下图不同的数据、符号给人带来不同的立体感觉； 对于图（2-8）当分别标上不同的数据或符号时，所表示的几何体立体感立刻发生了不同，这就是数据、符号有暗示立体感的效果。（4）平面视觉的拓展（平面本来 无限的，但我们常常用有限的三角形、平行四边形来表示，这就意味着可对“原有”的表示可作适当的拓展）；通常拓展的方法为：延长面内的线段或过面内一点作该面内某直线的平行线. 【例题2】已知为长方体，对角线与平面相交于点，则是的（） 垂心 重心 内心 外心图（2-12）图（2-13）图（2-12）【分析】先将直线放到平面中，再将平面的视觉拓展即可得到平面，显然直线与平面相交的点在平面与平面 的交线上，在矩形中，由三角形的相似性可得为三角形的重心。图（2-14）图（2-15）【例题3】：已知正方体中，分别是的中点，则平面截正方体所得几何形状为 ；图（2-14）通过对平面视觉的拓展，易得平面截正方体所得的几何形状为正六边形。三、重视三视图的教学，增强学生对几何体的整体认识，发展学生空间想象能力和绘图能力： 三视图在工程绘图、艺术绘画、产品设计等方面都有广泛的应用，掌握三视图与直观图之间的联系，有利于从整体上把握几何体的结构。1理解三视图的含义：（1）我们所研究的三视图是空间几何体分别在互相垂直的水平面（上下）、正对面（前后）、正侧面（左右）上，通过正投影投射所得的投影. （2）三视图之间的关系（正视图和侧视图的高相同，俯视图的宽与侧视图的宽相同，正视图的长和俯视图的长相等）；（3）三视图与原直观图位置之间的简单对应关系： 侧（左）视图中的左在原图中为“内”、 右在原图中为“外”； 俯视图中上与原图“内”对应、下与原图的“外”对应；正视图与原图对应一致。（4）理解三视图中虚实是按照从某侧投影几何时是否被遮挡而区分的。2给学生自己动手体验的机会：（1）一定要学生自己经历绘制各简单几何体及典型的简单组合体三视图，为研究比较复杂的组合体三视图打下基础，提供化归的背景。 （2）一定要学生自己经历由三视图绘制直观图的过程，在此过程中教师通过展示学生的作品，组织分析点评.3引导学生总结出三视图绘制的技巧：应用空间中线、面位置关系的垂直关系，先求出几何体的“边界顶点”分别在三个垂面上的射影，在连接投影点即可。 【例题4】（2012陕西），如图1将正方体截去两三棱锥，得到图2几何体，该几何体的左视图为【分析】通过几何体各顶点在右侧垂面上的投影，再根据从左观察是否被遮挡的原理，结合三视图与原直观图位置之间的简单对应关系，可得到，左视图为答案。4引导学生总结由三视图绘制直观图的要点：先根据对常见简单几何三视图的对应定好直观图的大致组合情况画俯视图找高线绘制直观图反思修改.图（3-1）图（3-2）图（3-3）【例题5】一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（各个面的面积之和） 【分析】本题由三视图知道几何体为三棱锥，再根据高线所在位置即可画出几何体的直观图，从而计算出结果。【例题6】已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；图（3-4）图（3-5）图（3-6） 【分析】由三视图(3-4)可知原几何体是正方体(3-5)进行切割而得，再进一步分析是正方体截取一个角，得到图（3-6）所示的几何体，再用割补法求得其体积。四、根据实际情况适当调整教材顺序：1立体几何部分的教学，是可以首先借助信息技术和实物展示丰富的立体图形，让学生认识学习立体几何知识的必要性与重要性，然后就应该很快转入直线，平面基本图形位置关系的核心知识学习，在此基础上，再研究几何体的性质。2关于表面积和体积问题： 方案1：先简单介绍概念，简单练习；学完第二章后进行适当的补充. 方案2、在学习完第二章后统一讲解.3有关判定和性质定理： 在学习完某种位置关系后可以接着先学习该种位置关系的判定，再学习新的的位置关系的判定和性质，这样有利于学生推理体系的建立.五、根据实际情况适当补充一些概念和知识：1在学习完线面垂直的基础上，可适当补充给出长方体、直棱柱、正棱锥、正棱柱等概念；一方面体现立体几何概念的严谨性；另一方面方便利用各种资料；2根据学生的实际补充球的性质和球与一些简单几何体的关系； 由图知，求的性质为： （1）正四面体的外接球（可用类比三角形的外接圆圆心，求得外接球球心，也可将四面体图（5-1）置于正方体中）： 图（5-3）图（5-2）（2）“墙角”三棱锥、 “墙角”四棱锥及长方体外接球：图（2-28）图（2-27）图（2-26）图（2-25）（3）正方体的外接球内切球和切于棱球 图（5-6）图（5-5）图（5-4）六、不可忽视推理论证，知识、方法、思维系统化；利用好转化化归思想，形成一定的立体几何解题策略。1立体中的逻辑推理有利于理解公理化体系，有利于空间想象能力的形成，有利于立体问题的解决；每一种感觉和想象能力（包括立体感，空间想象能力）的形成背后都或多或少有逻辑推理，这样的感觉才能稳定和长久，才能觉得有道理，才有被认同。2立体几何位置关系之间关系转化密切： 3引导学生掌握立体几何问题解决的常见策略： 立体问题平面化（即将一平面图形从几何体中“抓出”，使之正对我们“立起”）思维策略（尤其是立体计算时）； 运动变化、发展拓广的思维策略； 【例题】：如图，已知直三棱柱中，分别为的中点，动点在上运动，求直线所成角的大小；图（5-6）图（5-6）【解答提示】：由于点在运动，所以动直线在平面中，要想一直线在一平面内运动而与定直线成定角，可以猜想：面，从而得到成的角；其实将平面进行“视觉拓展”易得该面与交于点（为的中点），不难证明，面，从而；在正方形中，易证，最后证明了猜想； 转化化归、逆向推理的思维策略（经常是在证明平行、垂直关系时用到）； 【例题】：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱面，, 分别是的中点，过作于 （1）证明：面； （2）证明：面；【证明提示】：（1）思路1、逆向思考：假设面，则过 的平面与相交所得交线一定与平行，启发我们去构造过的平面与相交，在证明其交线（很多时候需要用到平面视觉的拓展技巧，如图（1）（2）所示）；思路2、逆向思考：假设面，则一定存在过的平面面,启发我们构造过的平面证明其平行面（如图（3）所示）（2）观察下面的证明思路就可体会其逆向、转换化归的的思维策略的奥妙 以算代证：通过计算获得线线、线面的位置关系，从而达到证明的目的； 适度模型化：通过对常见的几何体、几何关系的深入研究，在碰到结构复杂，情景陌生的立体几何问题时，通过转化（割补）划归到熟悉的几何模型，从而是问题轻松解决，起到压缩思维，用适度形式化帮助快速洞察问题的本质；七、用空间向量解决立体几何问题，其中运用的模型化基本思路： “建系求坐标向量坐标（