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宜城二中高二数学试题（理）2015.5.11一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、2对于向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc解析由数与向量的意义知，B正确答案B2、过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为()A64 B32 C16 D43、如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析不妨令CB1，则CACC12，得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案A4、对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca0或a21 Da0或a21解析：选A.f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f(x)不存在极值点5、若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则“f(x)g(x)，xR”成立的充要条件是()A存在x0R，使得f(x0)g(x0)B有无数多个实数x，使得f(x)g(x)C对任意xR，都有f(x)0，则ABC为锐角三角形”；命题q：“实数a，b，c满足b2ac，则a，b，c成等比数列”那么下列结论正确的是()Ap且q与p或q都为真Bp且q为真而p或q为假Cp且q为假且p或q为假Dp且q为假且p或q为真解析0B为钝角，ABC为钝角三角形，命题p为假b2acDa，b，c为等比数列(如a0，b0，c1)命题q为假故pq且pq均为假答案C10、设椭圆1和双曲线y21的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个公共点，则cos F1PF2等于()A. B. C. D.11、若函数ya(x3x)的递增区间是(，)，(，)，则a的取值范围是()Aa0 B1a0Ca1 D0a1解析：选A.依题意ya(3x21)0的解集为(，)，(，)，故a0.12、在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；对ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3 C4 D1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13、设命题p：m2m；命题q：对xR，x24mx10，p且q为真命题的充要条件是_解析m2mm(m1)00m1.若命题p为真，则0m1；对xR，x24mx10，则16m240m.若命题q为真，则m.因此pq为真即0m.答案0m14、一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t(v单位：m/s，t单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为_解析：停车时v(t)0，则270.9t0，t30 s，sv(t)dt(270.9t)dt(27t0.45t2)405(m)答案：405 m15、平面的法向量为m(1,0，1)，平面的法向量为n(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_16、下列若干命题中，正确命题的序号是_“a3”是直线ax2y2a0和直线3x(a1)ya70平行的充分不必要条件；ABC中，若acosAbcosB，则该三角形形状为等腰三角形；两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；对于命题P：xR使得x2x10，则p：xR，均有x2x10.解析对于，直线ax2y2a0和直线3x(a1)ya70平行，则a(a1)6，解得a3或a2，验证知，当a3或a2时两直线平行因此a3是两直线平行的充分不必要条件，故正确；对于，在ABC中，由正弦定理，得sinAcosAsinBcosBsin2Asin2BAB或AB，则ABC为等腰三角形或直角三角形，故不正确；易知正确；正确答案三、解答题17、若函数f(x)ax22xln x在x1处取得极值(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值解：(1)f(x)2ax2，由f(1)2a0，得a.(2)f(x)x22xln x(x0)f(x)x2.由f(x)0，得x1或x2.当f(x)0时1x2；当f(x)0时0x1或x2.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)ln 2因此，f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，)函数的极小值为f(1)，极大值为f(2)ln 2.18、如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA2，M，N分别为PB，PD的中点(1)证明：MN平面ABCD；(2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值 18(1)证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以MNBD.又因为MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，BAD120，得ACAB2，BDAB6.又因为PA平面ABCD，所以PAAC.在直角PAC中，AC2，PA2，AQPC，得QC2，PQ4.由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B(0，3,0)，C(，0,0)，D(0,3,0)P(，0,2)，M，N，Q.设m(x，y，z)为平面AMN的法向量，由，知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面QMN的法向量，由，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.19、设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，且非p是非q的必要非充分条件，求a的取值范围解设Ax|px|x24ax3a20 (a0)x|3axa (a0x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x2x|x4或x2綈p是綈q的必要非充分条件，綈q綈p，且綈pD/綈q.则x|綈qx|綈p，而x|綈qRBx|4x2，x|綈pRAx|x3a，或xa(a0)，x|4x2x|x3a，或xa(a0)，则或，即a2|CA|，所以动点N的轨迹是以C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲线E的方程为y21.(2)设F(x1，y1)，H(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由，得，解得k21.21、已知f(x)axln x，aR.(1)当a2时，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在x1处有极值，求f(x)的单调递增区间；(3)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由 (1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)axln x，f(x)a，当a2时， f(x)2xln x，f(1)2，f(x)2，f(1)21 .(2分)曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2f(1)(x1)，即 xy10.(4分)(2)f(x)在x1处有极值，f(1)0，由(1)知 f(1)a1，a1，经检验，a1时f(x)在x1处有极值(6分)f(x)xln x，令f(x)10，解得x1或x0; f(x)的定义域为(0，)，f(x)0的解集为(1，)，即f(x)的单调递增区间为(1，)(8分)(3)假设存在实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，当a0时，x(0，e，f(x)0，f(x)在(0，e上单调递减， f(x)minf(e)ae13，解得a(舍去)(10分)当0e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， f(x)minf1ln a3，解得ae2，满足条件(12分)当e时，x(0，e，f(x)0， f(x)在(0，e上单调递减， f(x)minf(e)ae13，解得a(舍去)综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)有最小值3.(14分)22、已知函数f(