中考数学 压轴题函数相似三角形问题精选解析（三）.doc

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(三)例5 如图1，抛物线经过点a(4，0)、b（1，0)、c（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）p是抛物线上的一个动点，过p作pmx轴，垂足为m，是否存在点p，使得以a、p、m为顶点的三角形与oac相似？若存在，请求出符合条件的 点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线ac上方的抛物线是有一点d，使得dca的面积最大，求出点d的坐标,图1解析 （1）因为抛物线与x轴交于a(4，0)、b（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点c的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点p的坐标为如图2，当点p在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点p的坐标为（2，1）如图3，当点p在点a的右侧时，x4，解方程，得此时点p的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点p在点b的左侧时，x1，解方程，得此时点p的坐标为解方程，得此时点p与点o重合，不合题意综上所述，符合条件的 点p的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点d作x轴的垂线交ac于e直线ac的解析式为设点d的横坐标为m，那么点d的坐标为，点e的坐标为所以因此当时，dca的面积最大，此时点d的坐标为（2，1） 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过d点构造矩形oamn，那么dca的面积等于直角梯形camn的面积减去cdn和adm的面积设点d的横坐标为（m，n），那么由于，所以例6 如图1，abc中，ab5，ac3，cosad为射线ba上的点（点d不与点b重合），作de/bc交射线ca于点e.(1) 若cex，bdy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段bd，ce为直径的两圆相切时，求de的长度；(3) 当点d在ab边上时，bc边上是否存在点f，使abc与def相似？若存在，请求出线段bf的长；若不存在，请说明理由 图1 备用图 备用图解析（1）如图2，作bhac，垂足为点h在rtabh中，ab5，cosa，所以ahac所以bh垂直平分ac，abc 为等腰三角形，abcb5 因为de/bc，所以，即于是得到，（）（2）如图3，图4，因为de/bc，所以，即，因此，圆心距 图2 图3 图4在m中，在n中，当两圆外切时，解得或者如图5，符合题意的解为，此时当两圆内切时，当x6时，解得，如图6，此时e在ca的延长线上，；当x6时，解得，如图7，此时e在ca的延长线上， 图5 图6 图7（3）因为abc是等腰三角形，因此当abc与def相似时，def也是等腰三角形如图8，当d、e、f为abc的三边的中点时，de为等腰三角形def的腰，符合题意，此时bf2.5根据对称性，当f在bc边上的高的垂足时，也符合题意，此时bf4.1如图9，当de为等腰三角形def的底边时，四边形decf是平行四边形，此时 图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，ah是abc的高，d、e、f为abc的三边的中点，那么四边形dehf是等腰梯形例 7 如图1，在直角坐标系xoy中，设点a（0，t），点q（t，b）平移二次函数的图象，得到的抛物线f满足两个条件：顶点为q；与x轴相交于b、c两点（oboc），连结a，b（1）是否存在这样的抛物线f，使得？请你作出判断，并说明理由；（2）如果aqbc，且tanabo，求抛物线f对应的二次函数的解析式图1解析（1）因为平移的图象得到的抛物线的顶点为（t，b），所以抛物线对应的解析式为因为抛物线与x轴有两个交点，因此令，得，所以)( )| 即所以当时，存在抛物线使得（2）因为aq/bc，所以tb，于是抛物线f为解得当时，由，得如图2，当时，由，解得此时二次函数的解析式为如图3，当时，由，解得此时二次函数的解析式为 图2 图3如图4，如图5，当时，由，将代,可得，此时