山西省太原市高三数学上学期期中试卷（含解析）.docVIP

2015-2016学年山西省太原市高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请讲字母代码填入下表相应位置）1已知集合a=0，1，2，b=1，m若ab=b，则实数m的值是( )a0b2c0或2d0或1或22下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是( )af（x）=bf（x）=cf（x）=|x|df（x）=2x3已知an为等差数列，其前n项和为sn，若a3=6，s3=12，则公差d等于( )a1bc2d34若0xy，则下列各式正确的是( )ax3y3blogxlogyc（）xd5函数y=（）x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是( )abcd6设函数d（x）=则下列结论正确的是( )ad（x）的值域为bd（x）是偶函数cd（x）不是周期函数dd（x）是单调函数7等差数列an中，a5+a6=4，则log2（）=( )a10b20c40d2+log258已知对任意xr，恒有f（x）=f（x），g（x）=g（x），且当x0时，f（x）0，g（x）0，则当x0时有( )af（x）0，g（x）0bf（x）0，g（x）0cf（x）0，g（x）0df（x）0，g（x）09已知数列an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10的值为( )a7b5c5d710定义在r上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )a1b2c1d211设f（x）是定义在r上的偶函数，且f（2+x）=f（2x），当x时，f（x）=（）x1，若关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）在区间（2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )a（，1）b（1，4）c（1，8）d（8，+）12设函数f（x）=x21，对任意xbd（，上有定义，若对象x1，x2，有f（），则称f（x）在上具有性质p设f（x）在上具有性质p现给出如下结论：f（x）=2x2，在上具有性质p；f（x2）在上具有性质p；f（x）在上的图象是连续不断的；若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x；其中正确结论的序号是_三、解答题（本大题共4小题，共40分解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=a（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域18已知an为等比数列，其前n项和为sn，且sn=2n+a，（nn*）（）求a的值及数列an的通项公式；（）若bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和tn19如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中ae=4米，cd=6米为了合理利用这块钢板，将在五边形abcde内截取一个矩形块bnpm，使点p在边de上（）设mp=x米，pn=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（）求矩形bnpm面积的最大值20已知函数f（x）=（2x24ax）lnx+x2（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对xd（，1十一、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在题中横线上）33不等式|3x1|2的解集为_34对于实数x、y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y+1|的最大值为_十二、解答题（本大题共1小题，共10分解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）35对于任意的实数a（a0）和b，不等式|a+b|+|ab|m|a|恒成立，记实数m的最大值是m（）求m的值；（）解不等式|x1|+|x2|m2015-2016学年山西省太原市高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请讲字母代码填入下表相应位置）1已知集合a=0，1，2，b=1，m若ab=b，则实数m的值是( )a0b2c0或2d0或1或2【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】由ab=b，得ba，然后利用子集的概念求得m的值【解答】解：ab=b，ba当m=0时，b=1，0，满足ba当m=2时，b=1，2，满足bam=0或m=2实数m的值为0或2故选：c【点评】本题考查了交集及其运算，考查了子集的概念，是基础题2下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是( )af（x）=bf（x）=cf（x）=|x|df（x）=2x【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】分别求出各个选项中函数的定义域，从而判断出结论【解答】解：f（x）=lnx的定义域是（0，+），对于a：f（x）的定义域是（0，+），对于b：f（x）的定义域是故选a【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出其反函数的解析式是解答本题的关键6设函数d（x）=则下列结论正确的是( )ad（x）的值域为bd（x）是偶函数cd（x）不是周期函数dd（x）是单调函数【考点】函数奇偶性的判断【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据已知函数f（x）的解析式，结合函数单调性、奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值域，分别判断四个答案的真假，即可得出结论【解答】解：函数d（x）=，函数值域为0，1，故a不正确；当x为有理数时，x必为有理数，此时f（x）=f（x）=1；当x为无理数时，x必为无理数，此时f（x）=f（x）=0故f（x）是偶函数，即b正确；对于任意的有理数t，当x为有理数时，x+t必为有理数，此时f（x+t）=f（x）=1；当x为无理数时，x+t必为无理数，此时f（x+t）=f（x）=0；即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故c不正确；d（2）=1，d（3）=1，d（）=0，d（）=0显然函数d（x）不是单调函数，故d不正确；故选：b【点评】本题考查的知识点是分段函数与应用，函数的值域及函数的性质，正确理解新定义是解答的关键7等差数列an中，a5+a6=4，则log2（）=( )a10b20c40d2+log25【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】由等差数列an中，a5+a6=4，利用等差数列的性质得到其项数之和为11的两项之和为4，可得出a1+a2+a10的值，将所求式子的真数利用同底数幂的乘法法则计算，再利用对数的运算性质计算后，将a1+a2+a10的值代入即可求出值【解答】解：等差数列an中，a5+a6=4，a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，a1+a2+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（）=log22a1+a2+a10=a1+a2+a10=20故选b【点评】此题考查了等差数列的性质，以及对数的运算法则，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键8已知对任意xr，恒有f（x）=f（x），g（x）=g（x），且当x0时，f（x）0，g（x）0，则当x0时有( )af（x）0，g（x）0bf（x）0，g（x）0cf（x）0，g（x）0df（x）0，g（x）0【考点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义【专题】计算题；压轴题【分析】由已知对任意xr，恒有f（x）=f（x），g（x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x0时，f（x）0，g（x）0，可得在区间（0，+）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案【解答】解：由f（x）=f（x），g（x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数又x0时，f（x）0，g（x）0，知在区间（0，+）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x0时，f（x）0，g（x）0故选b【点评】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握9已知数列an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10的值为( )a7b5c5d7【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】利用数列的通项公式，列方程组求解a1，q的值，在求解a1+a10的值【解答】解：a4+a7=2，a5a6=8，由等比数列的性质可知a5a6=a4a7a4a7=8，a4+a7=2，a4=2，a7=4或a4=4，a7=2，a1=1，q3=2或a1=8，q3=a1+a10=7故选：d【点评】本题考查了数列的基本应用，典型的知三求二的题型10定义在r上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )a1b2c1d2【考点】函数的值【专题】计算题【分析】将3代入相应的分段函数进行求值，则f（3）=f（2）f（1），f（2）=f（1）f（0）从而f（3）=f（1）f（0）f（1）=f（0），将0代入f（x）=log2（4x）进行求解【解答】解：由已知定义在r上的函数f（x）满足，得f（3）=f（2）f（1），f（2）=f（1）f（0）f（3）=f（1）f（0）f（1）=f（0）=log2（40）=2，故选b【点评】本题主要考查了分段函数的求值，同时考查了递推关系，属于基础题11设f（x）是定义在r上的偶函数，且f（2+x）=f（2x），当x时，f（x）=（）x1，若关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）在区间（2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )a（，1）b（1，4）c（1，8）d（8，+）【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由题意，讨论0a1时，当0a1时，2x0时，y=f（x）和y=loga（x+2）只有一个交点；故a1关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1），在区间（2，6）内恰有四个不同实根可化为函数f（x）与函数y=loga（x+2）有四个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=loga（x+2）的图象，由图象解出答案【解答】解：由f（x）是定义在r上的偶函数，且f（2+x）=f（2x），即为f（x+4）=f（x）=f（x），则f（x）为周期为4的函数当x时，f（x）=（）x1，可得x时，f（x）=f（x）=（）x1，又f（x）=loga（x+2）（a0且a1），当0a1时，2x0时，y=f（x）和y=loga（x+2）只有一个交点；在0x6时，f（x）0，loga（x+2）0，则没有交点，故a1，作出它们在区间（2，6）内图象如右图：当x=6时，f（6）=f（2）=1，loga（6+2）=1，解得a=8，由于2x6，即有a8，y=f（x）和y=loga（x+2）有四个交点故选：d【点评】本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题12设函数f（x）=x21，对任意xbd（，上有定义，若对象x1，x2，有f（），则称f（x）在上具有性质p设f（x）在上具有性质p现给出如下结论：f（x）=2x2，在上具有性质p；f（x2）在上具有性质p；f（x）在上的图象是连续不断的；若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x；其中正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用【专题】新定义；函数思想；定义法；简易逻辑【分析】根据定义，直接求出f（），比较即可；可通过反例说明不成立；中构造1=f（2）=f（）（f（x）+f（4x），结合定义可得出f（x）只能为1才满足题意【解答】解：f（x）=2x2，x1，x2，f（）=，=+，显然有f（），故在上具有性质p，故正确；中，反例：f（x）=x在上满足性质p，但f（x2）=x2在上不满足性质p，故错误；中，反例：f（x）=，1x3；f（x）=2，x=3在上满足性质p，但f（x）在上不是连续函数，故不成立；中f（x）在x=2处取得最大值1，1=f（2）=f（）（f（x）+f（4x），f（x）+f（4x）2，f（x）1，f（4x）1，f（x）=1，x，故正确；故答案为【点评】考查了新定义类型的抽象函数，应紧扣定义，可用反例法排除选项三、解答题（本大题共4小题，共40分解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=a（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域【考点】函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由于f（x）是奇函数，可得f（x）=f（x），即可得出a（2）利用指数函数、反比例函数的单调性即可得出【解答】解：（1）f（x）为奇函数，f（x）=f（x），即，解得：（2）由（1）知，2x+11，所以f（x）的值域为【点评】熟练掌握函数的奇偶性和基本函数的单调性是解题的关键18已知an为等比数列，其前n项和为sn，且sn=2n+a，（nn*）（）求a的值及数列an的通项公式；（）若bn=（2n1）an，求数列bn的前n项和tn【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由数列的前n项和求出前3项，利用等比数列的性质列式求出a的值，则首项和公比可求，通项公式可求；（）把等比数列的通项公式代入bn=（2n1）an，然后利用错位相减法求数列bn的前n项和tn【解答】解：（）由sn=2n+a，a1=s1=2+a，a2=s2s1=（4+a）（2+a）=2，a3=s3s2=（8+a）（4+a）=4an为等比数列，即4=4（2+a），解得a=1a1=1，q=则；（）把代入bn=（2n1）an，得数列bn的前n项和tn=120+321+522+（2n3）2n2+（2n1）2n1得：【点评】本题考查了等比数列的和的公式和通项公式，训练了利用错位相减法求数列的和，考查了学生的计算能力，此题是中档题19如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中ae=4米，cd=6米为了合理利用这块钢板，将在五边形abcde内截取一个矩形块bnpm，使点p在边de上（）设mp=x米，pn=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（）求矩形bnpm面积的最大值【考点】函数模型的选择与应用【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（i）利用三角形的相似，可得函数的解析式及定义域；（）表示出面积，利用配方法，可得矩形bnpm面积的最大值【解答】解：（i）作pqaf于q，所以pq=8y，eq=x4在edf中，所以所以，定义域为x|4x8（ii）设矩形bnpm的面积为s，则所以s（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10所以当x，s（x）单调递增 所以当x=8米时，矩形bnpm面积取得最大值48平方米 （13分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查配方法求函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题20已知函数f（x）=（2x24ax）lnx+x2（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对x所以f（x）的单调递增区间是（0，a），（，+）；单调递减区间是（a，）若a=，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增若a，当x（0，），x（a，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（，a）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间是（0，），（a，+）；单调递减区间是（，a）（2）因为x1，所以由（2x4a）lnxx，得（2x24ax）lnx+x20，即函数f（x）0对x1恒成立，由（）可知，当0a时，f（x）在，【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用【专题】直线与圆【分析】利用垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法即可判断出结论【解答】解：aceb=aed，bce=dae，becdea，因此a正确；bpc与圆o相切于点c，pca=b=ace，因此b正确；c连接oc，则ocpc，又cdab，ce2=oeep，ce=ed，ed2=oeep，因此c正确；d由切割线定理可知：pc2=papbpaab，因此d不正确故选d【点评】熟练掌握垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法是解题的关键五、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在题中横线上）23如图，ab，cd是半径为a的圆o的两条弦，他们相交于ab的中点p，pd=，oap=30，则cp=a【考点】与圆有关的比例线段【专题】直线与圆【分析】先由垂径定理可得直角三角形pao，从而用a表示bp，再利用圆中线段相交弦关系得关于cp的等式，即可求得cp【解答】解：因为点p是ab的中点，由垂径定理知，opab在rtopa中，由相交弦定理知，bpap=cpdp，即，所以故填：【点评】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用，本题还考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理，属于基础题24（几何证明选讲）如图，点a、b、c都在o上，过点c的切线交ab的延长线于点d，若ab=5，bc=3，cd=6，则线段ac的长为4.5【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角【专题】计算题【分析】根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出db的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度【解答】解：过点c的切线交ab的延长线于点d，dc是圆的切线，dba是圆的割线，根据切割线定理得到dc2=dbda，ab=5，cd=6，36=db（db+5）db=4，由题意知d=d，bcd=adbcdca，ac=4.5，故答案为：4.5【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题六、解答题（本大题共1小题，共10分解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）25已知四边形abcd内接于o，ad：bc=1：2，ba、cd的延长线交于点e，且ef切o于f（）求证：eb=2ed；（）若ab=2，cd=5，求ef的长【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定【专题】证明题；方程思想；数形结合法；推理和证明【分析】（）根据圆内接四边形的性质，可得ead=c，进而可得aedceb，结合相似三角形的性质及已知可得结论；（）根据切割线定理可得ef2=edec=eaeb，设de=x，由ab=2，cd=5构造方程，解得de，进而可得ef长【解答】证明：（）四边形abcd内接于o，ead=c，又dea=bec，aedceb，ed：eb=ad：bc=1：2，即eb=2ed；解：（）ef切o于fef2=edec=eaeb，设de=x，则由ab=2，cd=5得：x（x+5）=2x（2x2），解得：x=3，ef2=24，即ef=2【点评】本题考查的知识点是圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，切割线定理，难度中档七、选修4-4极坐标与参数方程选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请讲字母代码填入下表相应位置）26在极坐标系中，圆=2sin的圆心的极坐标系是( )abc（1，0）d（1，）【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】直线与圆；坐标系和参数方程【分析】先在极坐标方程=2sin的两边同乘以，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可【解答】解：将方程=2sin两边都乘以p得：2=2sin，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0圆心的坐标（0，1）圆心的极坐标故选b【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置27若直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则k的值是( )a1b1c2d2【考点】参数方程化成普通方程【专题】方程思想；综合法；坐标系和参数方程【分析】将直线l1与直线l2化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解即可【解答】解：直线l1：（t为参数）y2=（x1），直线l2：（s为参数）2x+y=1，两直线垂直，（2）=1，得k=1，故选：b【点评】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题八、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在题中横线上）28在极坐标系中，点到圆=2cos的圆心的距离是【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式【专题】计算题【分析】先将极坐标方程化为一般方程，然后再计算点到圆=2cos的圆心的距离【解答】解：在极坐标系中，=2cos，x=pcos，y=psin，消去p和得，（x1）2+y2=1，圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1点在一般方程坐标为（1，），点到圆=2cos的圆心的距离是 d=，故答案为【点评】此题考查极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题29在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线=与曲线（t为参数）相交于a，b两点，则线段ab的中点的直角坐标为（，）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程【分析】射线=的直角坐标方程为y=x（x0），把曲线（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为y=（x2）2联立方程组求出a、b两点坐标，由此能求出ab的中点的直角坐标【解答】解：射线=的直角坐标方程为y=x（x0），把曲线（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为y=（x2）2联立，解得，或，a（1，1），b（4，4），ab的中点为（）故答案为：（）【点评】本题考查两点的中点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程和普通方程的相互转化及中点坐标公式的合理运用九、解答题（本大题共1小题，共10分解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）30选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线c1的极坐标方程为=4cos，曲线c2的参数方程为（t为参数，0），射线=，=+，=与曲线c1交于（不包括极点o）三点a、b、c（i）求证：|ob|+|oc|=|oa|；（）当=时，b，c两点在曲线c2上，求m与的值【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程【专题】直线与圆【分析】（）依题意，|oa|=4cos，|ob|=4cos（+），|oc|=4cos（），利用三角恒等变换化简|ob|+|oc|为4cos，=|oa|，命题得证（）当=时，b，c两点的极坐标分别为（2，），（2，）再把