山西省太原市山大附中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

山西省太原市山大附 中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一选择题（512=60分）1已知集合a=x|log2x0，集合b=x|0x1，则ab=( )ax|x0bx|x1cx|0x1或x1d考点：并集及其运算 专题：计算题分析：求出a中不等式的解集确定出a，找出a与b的并集即可解答：解：由a中的不等式变形得：log2x0=log21，即x1，a=x|x1，b=x|0x1，ab=x|x0故选a点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2设等差数列an的前n项和为sn，a2+a4=6，则s5等于( )a10b12c15d30考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：先根据等差数列的性质可知a2+a4=a1+a5，代入等差数列的求和公式中求得答案解答：解：a2+a4=a1+a5=6s5=15故选c点评：本题主要考查了等差数列的性质属基础题3已知函数f（x）=，则ff（4）=( )a4b4cd考点：函数的值 专题：计算题分析：本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（4）的值，再根据f（4）的值或范围，代入相应的解析式求出最后的结果解答：解：40，f（4）=24=16，160，f（16）=4即ff（4）=f（16）=4故选b点评：本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值4下列命题错误的是( )a命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y20”b若命题，则p：xr，x2x+10cabc中，sinasinb是ab的充要条件d若向量，满足0，则与的夹角为钝角考点：命题的真假判断与应用 专题：综合题分析：a我们知道：命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，同时注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”，据此可以判断出a的真假b依据“命题：x0r，结论p成立”，则p为：“xr，结论p的反面成立”，可以判断出b的真假c由于，因此在abc中，sinasinb0ab由此可以判断出c是否正确d由向量，可得的夹角，可以判断出d是否正确解答：解：a依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y20”可判断出a正确b依据命题的否定法则：“命题：x0r，x0+10”的否定应是“xr，x2x+10”，故b是真命题c由于，在abc中，0a+b，0，又0ba，0ab，据以上可知：在abc中，sinasinb0ab故在abc中，sinasinb是ab的充要条件因此c正确d由向量，的夹角，向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角，可以判断出d是错误的故答案是d点评：本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角，解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识5图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )ai50bi50ci25di25考点：程序框图 专题：计算题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出s的值解答：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；第二圈：s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；第三圈：s=+，n=6+2=8，i=3+1=4；依此类推，第50圈：s=，n=102，i=51退出循环其中判断框内应填入的条件是：i50，故选b点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6已知a，br+且ab，x=则x，y的大小关系是( )axybxycx=yd视a，b的值而定考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：平方作差即可比较出大小解答：解：a，br+且ab，y，x0y2x2=a+b=0，yx故选：a点评：本题考查了利用“平方作差法”比较两个数的大小，属于基础题7曲线在点（1，1）处的切线方程为( )ay=2x+3by=2x3cy=2x+1dy=2x+1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，1）处的切线斜率k，进而可求切线方程解答：解：对函数求导可得，由导数的几何意义可知，曲线在点（1，1）处的切线斜率k=2曲线在点（1，1）处的切线方程为y+1=2（x1）即y=2x+1故选c点评：本题主要考查了函数的导数的求解及导数的几何意义的应用，属于基础试题8若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为( )abc或d或考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质 专题：计算题分析：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率当m0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得最后综合答案即可解答：解：依题意可知m=4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e=当m=4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选d点评：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度9已知函数y=2sin（x+）为偶函数（0），其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为x1，x2，|x2x1|的最小值为，则( )a=2，b，c，d=1，考点：函数奇偶性的性质；正弦函数的图象 分析：画出图形，由条件：“|x2x1|的最小值为”得周期是，从而求得解答：解：画出图形：由图象可得：“|x2x1|的最小值为”得周期是，从而求得=2故选a点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，函数的图象直观地显示了函数的性质在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题体现了数形结合的数学思想10一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是( )a1b2c3d4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；图表型分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可解答：解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选b点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为底面积高三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能11已知平面区域=（x，y）|，m=（x，y）|，向区域内随机投一点p，点p落在区域m内的概率为( )abcd考点：简单线性规划的应用；几何概型 专题：压轴题分析：本题考查的知识点是线性规划及几何概型的意义，处理的思路为：根据已知的约束条件和画出满足约束条件的可行域及m的范围，再根据几何概型的意义，求出概率解答：解：如下图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为，小的等腰直角三角形区域为m，由面积比知p=点评：线性规划与几何概型的综合应用，是2015届高考常见题型，一般以选择或填空的形式出现，解决此类问题的关键是：根据线性规划的约束条件，求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=求解12已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为( )a6b8c9d12考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用f（x）+f（ex）=lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：f（x）+f（ex）=lne2=2，503（a+b）=f（）+f（）+f（）=+=2012，a+b=4，a2+b2=8，当且仅当a=b=2时取等号故选：b点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题二填空题（54=20分）13已知复数z满足（1i）z=1，则z=考点：复数相等的充要条件 专题：计算题分析：由条件可得z=，再根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果解答：解：复数z满足（1i）z=1，z=+，故答案为 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题14已知|=2，|=3，、的夹角为60，则|23|=考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：计算题分析：|23|=，由此能求出其结果解答：解：|=2，|=3，的夹角为60，|23|=故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化15设直线l与球o有且只有一个公共点p，从直线l出发的两个半平面，截球o的两个截面圆的半径分别为1和，二面角l的平面角为，则球o的表面积为16考点：与二面角有关的立体几何综合题 专题：综合题分析：欲求球o的表面积，只需求出球o的半径，根据题意op长即球o的半径，再根据球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，可考虑连接球心与两个截面圆圆心，利用得到的图形中的一些边角关系，求出r，再利用球的表面积公式即可求出球o的表面积解答：解：设平面，截球o的两个截面圆的圆心分别为a，b，连接oa，ob，pa，pb，根据题意在四边形oapb中，apb=，oap=obp=，aob=，pa=1，pb=，设op=r，则oa=，ob=，设aop=，bop=，则sin=，cos=，sin=，cos=，sinaob=sin（+）=sincos+cossin=sin=1，r2=4，球o的表面积为4r2=16故答案为：16点评：本题考查了球的截面圆的性质，以及二面角的平面角的找法，综合性较强，做题时要认真分析，找到联系16已知数列an的通项公式为an=n+p，数列bn的通项公式为bn=2n5设cn=，若在数列cn中，c8cn（nn*，n8），则实数p的取值范围是（12，17）考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性 专题：综合题；分类讨论；等差数列与等比数列分析：由cn表达式知cn是an，bn中的较小者，易判断an是递减数列，bn是递增数列，由c8cn（n8）知c8是cn的最大者，从而可知n=1，2，3，7，8时，cn递增，n=8，9，10，时，cn递减，进而可知an与bn的大小关系，且c8=a8或c8=b8，分两种情况讨论，当c8=a8时，a8b7，当c8=b8时，b8a9，分别解出p的范围，再取并集即可；解答：解：当anbn时，cn=an，当anbn时，cn=bn，cn是an，bn中的较小者，因为an=n+p，所以an是递减数列；因为bn=2n5，所以bn是递增数列，因为c8cn（n8），所以c8是cn的最大者，则n=1，2，3，7，8时，cn递增，n=8，9，10，时，cn递减，因此，n=1，2，3，7时，2n5n+p总成立，当n=7时，2757+p，p11，n=9，10，11，时，2n5n+p总成立，当n=9时，2959+p，成立，p25，而c8=a8或c8=b8，若a8b8，即23p8，所以p16，则c8=a8=p8，p8b7=275，p12，故12p16， 若a8b8，即p8285，所以p16，c8=b8=23，那么c8c9=a9，即8p9，p17，故16p17，综上，12p17故答案为：（12，17）点评：本题考查等差数列、等比数列的综合、数列的函数特性，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生逻辑推理能力，难度较大三解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共70分）17公差不为零的等差数列an中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设an=bn+1bn，b1=1，求数列bn的通项公式考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由等差数列an中a2，a4，a9成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据a3的值，确定出首项与公差，即可得到等差数列的通项公式；（2）分别把n=1，2，n1代入an=bn+1bn，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列的求和公式化简，右边抵消合并后将b1的值代入，整理后即可得到数列bn的通项公式解答：解：（1）等差数列an中，a2，a4，a9成等比数列，a42=a2a9，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），整理得：6a1d+9d2=9a1d+8d2，即d2=3a1d，d0，d=3a1，又a3=a1+2d=7a1=7，a1=1，d=3，则数列an的通项公式为an=1+3（n1）=3n2；（2）b1=1，an=3n2，an=bn+1bn，a1=b2b1，a2=b3b2，an1=bnbn1，a1+a2+an1=bnb1，即=bn1，则bn=+1=点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键18甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论解答：解：（）设乙答题所得分数为x，则x的可能取值为15，0，15，30； ； 乙得分的分布列如下：x1501530p （）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件a，乙入选为事件b则 ， 故甲乙两人至少有一人入选的概率 点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键19在如图所示的空间几何体中，平面acd平面abc，acd与acb是边长为2的等边三角形，be=2，be和平面abc所成的角为60，且点e在平面abc上的射影落在abc的平分线上（）求证：de平面abc；（）求二面角ebca的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：（）取ac中点o，连接bo，do，由题设条件推导出do平面abc，作ef平面abc，由已知条件推导出ebf=60，由此能证明de平面abc（）法一：作fgbc，垂足为g，连接eg，能推导出egf就是二面角ebca的平面角，由此能求出二面角ebca的余弦值法二：以oa为x轴，以ob为y轴，以od为z轴，建立空间直角坐标系oxyz，利用向量法能求出二面角ebca的余弦值解答：（本小题满分12分）解：（）由题意知，abc，acd都是边长为2的等边三角形，取ac中点o，连接bo，do，则boac，doac，又平面acd平面abc，do平面abc，作ef平面abc，那么efdo，根据题意，点f落在bo上，be和平面abc所成的角为60，ebf=60，be=2，四边形defo是平行四边形，deof，de不包含于平面abc，of平面abc，de平面abc（）解法一：作fgbc，垂足为g，连接eg，ef平面abc，efbc，又effg=f，bc平面efg，egbc，egf就是二面角ebca的平面角rtefg中，即二面角ebca的余弦值为解法二：建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，b（0，0），c（1，0，0），e（0，），=（1，0），=（0，1，），平面abc的一个法向量为设平面bce的一个法向量为则，所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角ebca的余弦值为点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用20椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为（）求椭圆c的方程；（）过点d（0，4）的直线l与椭圆c交于两点e，f，o为坐标原点，若oef为直角三角形，求直线l的斜率考点：椭圆的应用 专题：计算题分析：（）由已知，a2+b2=5，由此能够求出椭圆c的方程（）根据题意，过点d（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，再由根与系数的关系求解解答：解：（）由已知，a2+b2=5，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，所以椭圆c的方程为；（）根据题意，过点d（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0，=（32k）2240（1+4k2）=64k2240，令0，解得设e，f两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（）当eof为直角时，则，因为eof为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，所以，解得（）当oef或ofe为直角时，不妨设oef为直角，此时，koek=1，所以，即x12=4y1y12，又；，将代入，消去x1得3y12+4y14=0，解得或y1=2（舍去），将代入，得，所以，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和点评：本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答21设函数f（x）=lnxbx（）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（）令f（x）=f（x）+x3），其图象上任意一点p（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；压轴题分析：（i）先求导数f（x）然后在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，f（x）0的区间为单调增区间，f（x）0的区间为单调减区间（ii）先构造函数f（x）再由以其图象上任意一点p（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，知导函数恒成立，再转化为所以a（，x02+x0）max求解（iii）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解解答：解：（）依题意，知f（x）的定义域为（0，+）当a=b=时，f（x）=lnxx2x，f（x）=x=令f（x）=0，解得x=1当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，此时f（x）单调递减所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+）（）f（x）=lnx+，x（0，3，所以k=f（x0）=，在x0（0，3上恒成立，所以a（x02+x0）max，x0（0，3当x0=1时，x02+x0取得最大值 所以a（）当a=0，b=1时，f（x）=lnx+x，因为方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解，设g（x）=，则g（x）=令g（x）0，得0xe；g（x）0，得xe，g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1m1+点评：本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想22选修41：几何证明选讲如图所示，已知pa与o相切，a为切点，过点p的割线交圆于b、c两点，弦cdap，ad、bc相交于点e，f为ce上一点，且de2=efec（1）求证：ceeb=efep；（2）若ce：be=3：2，de=3，ef=2，求pa的长考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题分析：（i）由已知可得defced，得到edf=c由平行线的性质可得p=c，于是得到edf=p，再利用对顶角的性质即可证明edfepa于是得到eaed=efep利用相交弦定理可得eaed=ceeb，进而证明结论；（ii）利用（i）的结论可得bp=，再利用切割线定理可得pa2=pbpc，即可得出pa解答：（i）证明：de2=efec，def公用，defced，edf=c又弦cdap，p=c，edf=p，def=peaedfepa，eaed=efep又eaed=ceeb，ceeb=efep；（ii）de2=efec，de=3，ef=232=2ec，ce：be=3：2，be=3由