山西省太原市山大附中高三数学上学期第四次月考试卷（含解析）.doc

山西省太原市山大附中2015 届高三上学期第四次月考数学试卷一选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1设集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则pq=( )a3，0b3，0，1c3，0，2d3，0，1，2考点：并集及其运算 专题：计算题分析：根据集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则log2a=0，b=0，从而求得pq解答：解：pq=0，log2a=0a=1从而b=0，pq=3，0，1，故选b点评：此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用2已知命题p：xr，sinx1则p是( )axr，sinx1bxr，sinx1cxr，sinx1dxr，sinx1考点：特称命题；命题的否定 专题：计算题分析：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为xr，使得sinx1解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：xr，sinx1的否定是xr，使得sinx1故选b点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题3已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是( )ax3y3bsinxsinycln（x2+1）ln（y2+1）d考点：指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键解答：解：实数x，y满足axay（0a1），xy，a当xy时，x3y3，恒成立，b当x=，y=时，满足xy，但sinxsiny不成立c若ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为x2y2成立，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立d若，则等价为x2+1y2+1，即x2y2，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立故选：a点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键4曲线在点（1，1）处的切线方程为( )ay=2x+3by=2x3cy=2x+1dy=2x+1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，1）处的切线斜率k，进而可求切线方程解答：解：对函数求导可得，由导数的几何意义可知，曲线在点（1，1）处的切线斜率k=2曲线在点（1，1）处的切线方程为y+1=2（x1）即y=2x+1故选c点评：本题主要考查了函数的导数的求解及导数的几何意义的应用，属于基础试题5sin（+）=，则cos（）的值为( )abcd考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：直接利用诱导公式化简求解即可解答：解：sin（+）=，cos（）=cos=sin（+）=故选：c点评：本题考查诱导公式的应用，注意互余关系，基本知识的考查6在abc中，若acosa=bcosb，则abc的形状是( )a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2a=sin2b，由a和b都为三角形的内角，可得a=b或a+b=90，从而得到三角形abc为等腰三角形或直角三角形解答：解：由正弦定理asina=bsinb化简已知的等式得：sinacosa=sinbcosb，sin2a=sin2b，sin2a=sin2b，又a和b都为三角形的内角，2a=2b或2a+2b=，即a=b或a+b=，则abc为等腰或直角三角形故选d点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点7已知偶函数f（x）的定义域为r，则下列函数中为奇函数的是( )asinbxf（sinx）cf（x）f（sinx）d2考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）是偶函数，则f（x）=f（x）恒成立，因此f（sinx）=f（sinx）恒成立，然后利用奇函数定义对选项进行判断解答：解：偶函数f（x），则f（x）=f（x）恒成立，令g（x）=sin，sin=sin，即g（x）=g（x），y=sin是偶函数，故a项不符合题意；令g（x）=xf（sinx），则g（x）=xf（sin（x）=xf（sinx）=xf（sinx）=g（x），g（x）=xf（sinx）是奇函数故选b点评：本题属容易题，直接考查奇函数、偶函数的定义8将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的图象的一条对称轴为( )abcdx=考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：计算题分析：通过函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可解答：解：函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为：，再向左平移个单位得到函数为：=，所得函数的图象的一条对称轴为：故选c点评：本题考查三角函数的图象的变换，图象的平移，考查计算能力，是基础题9函数y=e|lnx|x1|的图象大致是( )abcd考点：对数的运算性质；函数的图象与图象变化 分析：根据函数y=e|lnx|x1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案解答：解：由y=e|lnx|x1|可知：函数过点（1，1），当0x1时，y=elnx1+x=+x1，y=+10y=elnx1+x为减函数；若当x1时，y=elnxx+1=1，故选d点评：本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系10函数的单调减区间为( )a（kz）b（kz）c（kz）d（kz）考点：复合三角函数的单调性 专题：计算题分析：观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中的大于部分即可解答：解：令：，t=sin（2x+）2k2x+2k+kxk+由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为（kz）故选b点评：本题主要查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域，如本题在真数位置要大于零11已知函数f（x）=2x+1，xn*若x0，nn*，使f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”函数f（x）的“生成点”共有( )a1个b2个c3个d4个考点：函数的值；数列的求和 专题：压轴题；新定义分析：由f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解出即可解答：解：由f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+=63所以2（n+1）x0+2（1+2+n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）故选b点评：本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力12若定义在r上的函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）f（x），则f与fe2的大小关系为( )affe2bf=fe2cffe2d不能确定考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：构造函数f（x）=exf（x），求导，判断函数的单调性，得到2011与2009的函数值大小，从而得到所求解答：解：令f（x）=exf（x），则f（x）=exf（x）exf（x）0，所以f（x）单调递增，于是ff，即e2011fe2009f，所以ffe2故选：c点评：本题考查了导数的运算以及构造函数判断单调性，利用函数单调性判断函数值的大小二填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13已知复数z1=12i，则z2=的虚部是1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：把z1=12i代入z2，化简可得z2=1+i，可得虚部为1解答：解：z1=12i，z2=1+i，复数的虚部为：1故答案为：1点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属基础题14设方程x33x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是（2，2）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题解答：解：设f（x）=x33x，对函数求导，f（x）=3x23=0，x=1，1x1时，f（x）单调增，1x1时，单调减，x1时，单调增，f（1）=2，f（1）=2，要有三个不等实根，则直线y=k与f（x）的图象有三个交点，2k2故答案为：（2，2）点评：学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键是中档题15定义在r上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为3考点：函数的周期性；函数的值；对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数判断当x0时函数的周期性，然后利用周期性进行求值解答：解：由分段函数可知，当x0时，f（x）=f（x1）f（x2），f（x+1）=f（x）f（x1）=f（x1）f（x2）f（x1），f（x+1）=f（x2），即f（x+3）=f（x），f（x+6）=f（x），即当x0时，函数的周期是6f=f（3356+3）=f（3）=f（0）=log2（80）=log28=3，故答案为：3点评：本题主要考查利用分段函数进行求值问题，利用函数的解析式确定当x0时，满足周期性是解决本题的关键16在锐角abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若+=6cosc，则+的值是4考点：正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值 专题：三角函数的求值；解三角形分析：由+=6cosc，结合余弦定理可得，而化简+=，代入可求解答：解：+=6cosc，由余弦定理可得，则+=故答案为：4点评：本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用三.解答题（本大题共2小题，共52分.）17已知函数（）求函数f（x）的最值与最小正周期；（）求使不等式成立的x的取值范围考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域 专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可求得f（x）=sin（2x+）+，从而可求函数f（x）的最值与最小正周期；（）依题意，可知sin（2x+）0kxk+（kz），再结合x即可求得答案解答：解：（）f（x）=+cos2x+=+=sin（2x+）+f（x）的最大值为+，最小值为为，f（x）的最小正周期为（）f（x），sin（2x+）0，2k2x+2k+（kz），kxk+（kz），又x，x的取值范围是点评：本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查三角函数的降幂公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的最值，属于中档题18已知数列an的前n项和，（1）求数列an的通项公式an；（2）记，求tn考点：数列递推式；数列的求和 专题：计算题分析：（i）当n=1时，a1=s1，当n2时，an=snsn1，通过检验a1是否适合上式，可求（ii）由（i）可得，当n2时，=，利用裂项可求数列的和解答：解：（i）当n=1时，a1=s1=4，当n2时，an=snsn1=n2+2n+1=2n+1，又a1=4不适合上式，（ii），当n2时，=，=点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，注意对n=1时的检验；及利用裂项求解数列的和，要注意裂项时的系数不要漏掉理科做19如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，（） 证明：a1c平面bb1d1d；（） 求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）要证明a1c平面bb1d1d，只要证明a1c垂直于平面bb1d1d内的两条相交直线即可，由已知可证出a1cbd，取b1d1的中点为e1，通过证明四边形a1oce1为正方形可证a1ce1o由线面垂直的判定定理问题得证（）以o为原点，分别以ob，oc，oa1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面ocb1与平面bb1d1d的法向量，利用法向量所成的角求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小解答：（）证明：a1o面abcd，且bd面abcd，a1obd；又在正方形abcd中，acbd，a1oac=o，bd面a1ac，且a1c面a1ac，故a1cbd在正方形abcd中，ao=1，在rta1oa中，a1o=1设b1d1的中点为e1，则四边形a1oce1为正方形，a1ce1o又bd面bb1d1d，且e10面bb1d1d，且bde1o=o，a1c面bb1d1d；（）解：以o为原点，分别以ob，oc，oa1所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则b（1，0，0），c（0，1，0），a1（0，0，1），b1（1，1，1），由（）知，平面bb1d1d的一个法向量，设平面ocb1的法向量为，由，得，取z=1，得x=1则=所以，平面ocb1与平面bb1d1d的夹角为点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题文科做20如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，ab=aa1=（） 证明：平面a1bd平面cd1b1；（） 求三棱柱abda1b1d1的体积考点：平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（）由四棱柱的性质可得四边形bb1d1d为平行四边形，故有bd和b1d1平行且相等，可得 bd平面cb1d1同理可证，a1b平面cb1d1而bd和a1b是平面a1bd内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面a1bd平面cd1b1 （） 由题意可得a1o为三棱柱abda1b1d1的高，由勾股定理可得a1o= 的值，再根据三棱柱abda1b1d1的体积v=sabda1o，运算求得结果解答：解：（）四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，ab=aa1=，由棱柱的性质可得bb1 和dd1平行且相等，故四边形bb1d1d为平行四边形，故有bd和b1d1平行且相等而bd不在平面cb1d1内，而b1d1在平面cb1d1内，bd平面cb1d1同理可证，a1bcd1为平行四边形，a1b平面cb1d1而bd和a1b是平面a1bd内的两条相交直线，故有平面a1bd平面cd1b1 （） 由题意可得a1o为三棱柱abda1b1d1的高三角形a1ao中，由勾股定理可得a1o=1，三棱柱abda1b1d1的体积v=sabda1o=a1o=1=1点评：本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题21如图，已知点a（1，）是离心率为的椭圆c：+=1（ab0）上的一点，斜率为的直线bd交椭圆c于b，d两点，且a、b、d三点互不重合（1）求椭圆c的方程；（2）求证：直线ab，ad的斜率之和为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据点a（1，）是离心率为的椭圆c上的一点，建立方程，即可求椭圆c的方程；（）设直线bd的方程为y=x+m，代入椭圆方程，设d（x1，y1），b（x2，y2），直线ab、ad的斜率分别为：kab、kad，则kad+kab=，由此能导出即kad+kab=0解答：解：（1）由题意，可得e=，代入a（1，）得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=c=，所以椭圆c的方程（2）证明：设直线bd的方程为y=x+m，又a、b、d三点不重合，m0，设d（x1，y1），b（x2，y2），则由得4x2+2mx+m24=0所以=8m2+640，所以2m2x1+x2=m，x1x2=设直线ab、ad的斜率分别为：kab、kad，则kad+kab=2+m=2+m=22=0 （*） 所以kad+kab=0，即直线ab，ad的斜率之和为定值点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化22已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx（）设函数f（x）=f（x）g（x），求f（x）的单调区间；（）若存在常数k，m，使得f（x）kx+m，对xr恒成立，且g（x）kx+m，对x（0，+）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：综合题；导数的综合应用分析：（）在定义域内解不等式f（x）0，f（x）0可得函数的单调区间；（）由（i）可知，当x=时，f（x）取得最小值f（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）故设其方程为：y=k（x），由f（x）kx+k对xr恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=只需在证明g（x）对x（0，+）恒成立即可；解答：解：（i）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，f（x）=f（x）g（x）=x2elnx，则f（x）=x=，x（0，+），当0x时，f（x）0，f（x）在（0，）上是减函数；当x时，f（x）0，f（x）在（，+）上是增函数；因此，函数f（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+）（ii）由（i）可知，当x=时，f（x）取得最小值f（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）故设其方程为：y=k（x），即y=kx+k，由f（x）kx+k对xr恒成立，则对xr恒成立，=4k28k+4e=e（k）20成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=下面证明g（x）对x（0，+）恒成立，设g（x）=elnxx+，则g（x）=，当0x时，g（x）0，当x时，g（x）0，当x=时，g（x）取得最大值0，则g（x）x对x（0，+）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=点评：本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明请考生在第23、24二题中任选一题作答，如果多做，则