湖北省荆州市沙市第五中学高三数学二轮总复习 第二讲 概率、随机变量及其分布列学案.doc

第二讲概率、随机变量及其分布列主干考点梳理1.概率加法公式的应用1若事件a与事件b互斥，则p(ab)_.2若事件a与事件b互为对立事件，则p(ab)_，即p(a)_.2.古典概型与几何概型问题1古典概型的概率公式对于古典概型，任何事件的概率为：p(a)_.2几何概型的概率公式在几何概型中，事件a的概率计算公式为：p(a)_.3.条件概率一般地，设a，b为两个事件，且p(a)0，称p(b|a)_为在事件a发生的条件下，事件b发生的条件概率特别地，对于古典概型，由于组成事件a的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率也可表示为：4.独立事件与独立重复实验1事件a与事件b相互独立设a，b为两个事件，如果p(ab)_，则称事件a与事件b相互独立，如果事件a与b相互独立，那么a与 与 与b也都相互独立2独立重复试验在n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次的概率为p(xk)_，k0,1,2，n.5.离散型随机变量及其分布与二项分布一、离散型随机变量及其分布列1离散型随机变量的分布列设离散型随机变量x可能取的值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，则随机变量x的分布列为：有时为了表达简单，也用等式_表示x的分布列2离散型随机变量x的分布列的性质(1)pi_0，i1,2，n；(2)i_.二、二项分布 在n次独立重复试验中，设事件a发生的次数为x，在每次试验中事件a发生的概率为p.那么在n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次的概率为p(xk)_，k0,1,2，n.此时称随机变量x服从二项分布，记作_三、离散型随机变量的均值与方差 1均值(1)均值的定义若离散型随机变量x的分布列为：则随机变量x的均值ex_.(2)几个常见的均值e(axb)aexb；若x服从两点分布，则ex_；若xb(n，p)，则ex_.2方差(1)方差的定义若离散型随机变量x的分布列为：则随机变量x的方差dx_.(2)几个常见的方差d(axb)a2dx；若x服从两点分布，则dx_；若xb(n，p)，则dx_.考点自测 1将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是()a.b.c.d.解析：由于至少出现一次6点的对立事件是：三次均不出现6点，由对立事件公式易求得选d.答案：d2(2013年福建卷)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_3某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，问：它能活到25岁的概率是多少？4某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次(精确到0.000 1)，求：(1)至多有一次中靶的概率；(2)两次都中靶的概率；(3)至少有一次中靶的概率(1)0.019 9 (2)0.980 1(3)0.999 95已知离散型随机变量x的分布列如下表：x 1 0 1 2 p a b c 若ex0，dx1，则a_，b_.高考热点突破突破点1 古典概型的概率例14张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()思路点拨：(1)本题可以用直接法求解：和为奇数，则两个数为1奇1偶，有 种取法(2)本题也可以用间接法求解，和为偶数的情况只有两种1和3,2和4.解析：解法一：设a表示“2张卡片上的数字之和为奇数”，则基本事件的总数为，事件a包含的基本事件数为，故p(a).解法二：设a表示“2张卡片的数字之和为奇数”，则表示“2张卡片的数字之和为偶数”，事件包含的基本事件数为2，则p()，p(a)1p().答案：c规律方法：(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件个数，这常常用到排列、组合的有关知识.(2)对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏.跟踪训练1 现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为_.解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2，分别是：2.5和2.8,2.6和2.9，则所求概率为0.2.答案：0.2 例2. 在平面直角坐标系xoy中，设d是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，e是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向d中随机投一点，则落入e中的概率为_思路点拨：本题是几何概型问题，可以先计算出试验的全部结果构成的区域面积和所求事件构成的区域面积，然后根据几何概型的概率公式求解解析：如下图所示，区域d表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域e表示单位圆及其内部，用m表示“向d中随机投一点，则落入e中”这一事件，则p(m). 答案：规律方法：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑利用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.跟踪训练2点a为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点b，则劣弧ab的长度小于1的概率为_解析：如下页图可设1，则1，根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是.答案 ： 例3. 已知：男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲从100个男人和100个女人中任选一人(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率思路点拨：(1)此人患色盲即为此人是男人且患色盲或此人是女人且患色盲(2)利用条件概率求解第(2)问解析：(1)此人患色盲的概率为p.(2)设事件a表示“从100个男人和100个女人中任选一人，此人患色盲”；事件b表示“从100个男人和100个女人中任选一人，此人是男人”则p(a)，p(ab)，故p(b|a).规律方法：(1)利用公式p(b|a)是求条件概率最基本的方法这种方法的关键是分别求出p(a)和p(ab)，其中p(ab)是指事件a和b同时发生的概率(2)在求p(ab)时，要判断事件a与事件b之间的关系，以便采用不同的方法求p(ab)其中，若ba，则p(ab)p(b)，从而p(b|a).跟踪训练3一个盒子里装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品从中取产品两次，每次任取1件，作不放回抽样试求在第一次取到一等品的条件下第二次又取到一等品的概率解析：设事件a为“第一次取到的是一等品”，事件b为“第二次取到的是一等品”，则所求概率为p(b|a)由于p(a)，p(ab)，所以由条件概率计算公式得p(b|a)，即在第一次取到一等品的条件下第二次又取到一等品的概率是.突破点4 相互独立事件和独立重复实验问题例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率(2)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被停止射击的概率是多少？(3)设甲连续射击3次，用表示甲击中目标时射击的次数，求的数学期望解析：(1)记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件a1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故p(a1)1 p(1)13.(2) 记“乙恰好射击4次后，被停止射击”为事件a2，由于各事件相互独立，故p(a2).(3)解法一：根据题意服从二项分布，e32.解法二：p(0)c3，p(1)c12，p(2)c21，p(3)c30.的分布列为：e01232.规律方法：(1)注意区分互斥事件和相互独立事件.互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况；相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生.(2)一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”、“至多”等问题往往用这种方法求解.)跟踪训练4某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额超过15万元的概率解析：(1)设a表示资助总额为零这个事件，则p(a)6.(2)设b表示资助总额超过15万元这个事件，则p(b)c6c66.突破点5 随机变量的分布列及有关问题例5.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望解析：依题意，可分别取5,6，11，则有p(5)，p(6)，p(7)，p(8)，p(9)，p(10)，p(11).的分布列为：规律方法：(1)求分布列的关键是正确求得随机变量的每一个取值和取每个值的概率.(2)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列.跟踪训练5下届奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四块金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每块金牌的概率均为 ，中国乒乓球女队获得每块金牌的概率均为 .(1)求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一块金牌的概率；(2)记中国乒乓球队获得金牌数为，求按此估计的分布列和数学期望e(结果均用分数表示)解析：(1)记“中国乒乓球男队获0块金牌，女队获1块金牌”为事件a，“中国乒乓球男队获1块金牌，女队获2块金牌”为事件b，那么p(ab)p(a)p(b)c2 c2.故估计中国乒乓球女队比男队多获一块金牌的概率为.(2)根据题意，中国乒乓球队获得金牌数的所有可能取值为0,1,2,3,4.则p(0)22；p(1)c2c2；p(2)cc22 22；p(3)c2c2；p