山西省晋中市四校联考高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一选择题（60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1已知集合p=x|x2x20，m=1，0，3，4，则集合pm中元素的个数为（）a1b2c3d42设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的（）a既不充分也不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d充分而不必要条件3曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）ab4e2c2e2de24下列命题错误的是（）a命题“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”b“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件c命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题d命题p：存在x0r，使得+x0+10，则p：任意xr，都有x2+x+105使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）abcd6为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2xcos2x的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位7已知非零向量、满足|+|=|=|，则+与的夹角为（）a30b60c120d1508已知正实数a，b满足不等式ab+1a+b，则函数f（x）=loga（x+b）的图象可能为（）abcd9若，均为单位向量，且=0，则|+|的最大值是（）a1b +1c1d10等比数列an的前n项和为sn，若s2n=4（a1+a3+a2n1），a1a2a3=27，则a6=（）a27b81c243d72911已知函数y=f（x1）的图象关于直线x=1对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立若a=（20.2）f（20.2），b=（1n2）f（1n2），c=（）f（），则a，b，c的大小关系是（）aabcbbacccabdacb12已知点o在abc内部一点，且满足2+3+4=，则三角形aob，boc，aoc的面积之比依次为（）a4：2：3b2：3：4c4：3：2d3：4：5二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，|=2，|=3，且+2与垂直，则实数的值为14已知，则=15已知f（x）=，则函数f（x）的零点的个数为16已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x），f（2）=3，数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn=2an+n（nn*），则f（a5）+f（a6）=三、解答题（本大题6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值19已知，满足（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知abc三个内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若，且a=2，求abc面积的最大值20已知数列an满足递推式an=2an1+1（n2），其中a4=15（1）求数列an的通项公式；（2）已知数列bn，有bn=，求数列bn的前n项和sn21已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x1时，不等式f（x）恒成立，求实数k的取值范围22已知函数f（x）=x2+axlnx，ar（1）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x（0，e时，求证：e2x2x（x+1）lnx2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1已知集合p=x|x2x20，m=1，0，3，4，则集合pm中元素的个数为（）a1b2c3d4【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】求出p中不等式的解集确定出p，找出p与m的交集，即可确定出交集中元素的个数【解答】解：由p中不等式变形得：（x2）（x+1）0，解得：1x2，即p=x|1x2，m=1，0，3，4，pm=1，0，则集合pm中元素的个数为2，故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的（）a既不充分也不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d充分而不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】方程思想；数学模型法；简易逻辑【分析】由“”可得：（x1）（x+1）8=0，解出x即可判断出【解答】解：由“”可得：（x1）（x+1）8=0，化为x2=9，解得x=3“x=3”是“”的充分而不必要条件故选：d【点评】本题考查了向量共线定理、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）ab4e2c2e2de2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积【解答】解：曲线y=，y=，切线过点（4，e2）f（x）|x=4=e2，切线方程为：ye2=e2（x4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=e2，与y轴的交点为：（0，e2），曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=2|e2|=e2，故选d【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题4下列命题错误的是（）a命题“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”b“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件c命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题d命题p：存在x0r，使得+x0+10，则p：任意xr，都有x2+x+10【考点】命题的真假判断与应用【专题】定义法；简易逻辑【分析】a中逆否命题应先逆得逆命题：条件结论互换；再求否命题：条件，结论都否定；b中am2bm2能推出ab，但ab不能推出am2bm2，当m2=0时不成立；c中p或q为真，则只要有一个为真就可以；c中p或q为真，则只要有一个为真就可以；【解答】解：a中逆否命题应先逆得逆命题：条件结论互换；再求否命题：条件，结论都否定；故正确；b中am2bm2能推出ab，但ab不能推出am2bm2，当m2=0时不成立，故正确；c中p或q为真，则只要有一个为真就可以，故错误；c中p或q为真，则只要有一个为真就可以【点评】考查了四中命题，属于基础题型，应牢记5使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）abcd【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性【专题】计算题【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+），由于它是奇函数，故+=k，kz，当k为奇数时，f（x）=2sin2x，满足在上是减函数，此时，=2n，nz，当k为偶数时，经检验不满足条件【解答】解：函数=2sin（2x+） 是奇函数，故+=k，kz，=k当k为奇数时，令k=2n1，f（x）=2sin2x，满足在上是减函数，此时，=2n，nz，选项b满足条件当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在上是减函数综上，只有选项b满足条件故选 b【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口6为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2xcos2x的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位【解答】解：分别把两个函数解析式简化为y=sin2x+cos2x=函数y=sin2xcos2x，又，可知只需把函数y=sin2xcos2x的图象向左平移个长度单位，得到函数y=sin2x+cos2x的图象故选a【点评】本题是中档题，考查两角和与差的正弦函数的化简，三角函数的图象的变换，注意化简同名函数与x的系数为“1”是解题的关键7已知非零向量、满足|+|=|=|，则+与的夹角为（）a30b60c120d150【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】欲求（+）与（）的夹角，根据公式cos，=，需表示（+）（）及|+|；由于|+|易于用|表示，所以考虑把（+）（）也用|表示，这需要把已知等式都平方整理即可【解答】解：|+|=|=|（+）2=（）2=2 整理得=0， 2=2设（+）与（）的夹角为，则（+）（）=|+|cos=2cos，且（+）（）=22=2cos=，解得=60故选b【点评】向量夹角问题的解决：一般需在公式cos，=的基础上，再考虑的化简8已知正实数a，b满足不等式ab+1a+b，则函数f（x）=loga（x+b）的图象可能为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得a1且 0b1，或0a1，且 b1若成立，则选项b满足条件；若成立，没有满足条件的选项，由此得出结论【解答】解：正实数a，b满足不等式ab+1a+b，a（1b）+（b1）0，（1b）（a1）0，故有 a1且 0b1，或0a1，且 b1若成立，则函数f（x）=loga（x+b）在定义域（b，+）上是增函数，且f（1）0，f（0）0，故选项b满足条件若成立，则函数f（x）=loga（x+b）在定义域（b，+）上是减函数，且f（1）0，f（0）0，故没有满足条件的选项故选b【点评】本题主要考查由函数的解析式判断函数的图象特征，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题9若，均为单位向量，且=0，则|+|的最大值是（）a1b +1c1d【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】由题意可得，|+|=，故当+与的方向相反时，|+|取得最大值为+1【解答】解：若，均为单位向量，且=0，|+|=，故当+与的方向相反时，|+|取得最大值，此时，|+|=+1，故选：b【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，属于基础题10等比数列an的前n项和为sn，若s2n=4（a1+a3+a2n1），a1a2a3=27，则a6=（）a27b81c243d729【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合s2n=4（a1+a3+a2n1）考虑n=1可得，s2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比 q，代入等比数列的通项公式可求a6【解答】解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为s2n=4（a1+a3+a2n1）所以n=1时有，s2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=135=243故选c【点评】本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前 n项和公式及通项公式，属基础题11已知函数y=f（x1）的图象关于直线x=1对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立若a=（20.2）f（20.2），b=（1n2）f（1n2），c=（）f（），则a，b，c的大小关系是（）aabcbbacccabdacb【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【专题】导数的综合应用【分析】利用函数y=f（x1）的图象关于直线x=1对称，可得函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数令g（x）=xf（x），利用已知当x（，0）时，g（x）=f（x）+xf（x）0，可得函数g（x）在x（，0）单调递减，进而得到函数g（x）在（0，+）上单调递减再根据=220.21ln20即可得到a，b，c的大小【解答】解：函数y=f（x1）的图象关于直线x=1对称，函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数令g（x）=xf（x），则当x（，0）时，g（x）=f（x）+xf（x）0，函数g（x）在x（，0）单调递减，因此函数g（x）在（0，+）上单调递减=220.21ln20cab故选b【点评】熟练掌握轴对称、偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质等是解题的关键12已知点o在abc内部一点，且满足2+3+4=，则三角形aob，boc，aoc的面积之比依次为（）a4：2：3b2：3：4c4：3：2d3：4：5【考点】三角形的面积公式【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用【分析】延长oa，ob，oc，使od=2oa，oe=3ob，of=4oc，结合已知可得o是def的重心，故doe，eof，dof的面积相等，进而得到答案【解答】解：延长oa，ob，oc，使od=2oa，oe=3ob，of=4oc，如图所示：2+3+4=，即o是def的重心，故doe，eof，dof的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则aob的面积为，boc的面积为，aoc的面积为，故三角形aob，boc，aoc的面积之比依次为： =4：2：3，故选：a【点评】本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平面向量在几何中的应用，难度中档二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，|=2，|=3，且+2与垂直，则实数的值为【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】由题意可得可得（+2）（）=0，与此求得实数的值【解答】解：，|=2，|=3， =0 =4， =9由+2与垂直，可得（+2）（）=+（21）2=4+018=0，求得实数=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算，属于中档题14已知，则=【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系【专题】计算题【分析】根据角是锐角，得到sin与cos均为正数再用同角三角函数的平方关系，结合题中数据算出sin+cos=，最后将要求的式子化简，代入sin+cos的值即可得到答案【解答】解：，sin0且cos0（sincos）2=sin22sincos+cos2，（sin+cos）2=sin2+2sincos+cos2，（sincos）2+（sin+cos）2=2（sin2+cos2）=2又，sin+cos=（舍负）因此=（sin+cos）=故答案为：【点评】本题已知一个角的正弦与余弦的差，求另一个三角式的值，着重考查了同角三角函数间的基本关系和三角函数的恒等变换及化简求值等知识，属于基础题15已知f（x）=，则函数f（x）的零点的个数为3【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用分段函数，分别求出函数f（x）的零点的个数，即可得出结论【解答】解：x0，lnx=0，可得x=1；x0，f（x）=1x22x+ex=ex（x+1）2=0，有两个解，函数f（x）的零点的个数为3故答案为：3【点评】本题考查函数f（x）的零点的个数，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，比较基础16已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x），f（2）=3，数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn=2an+n（nn*），则f（a5）+f（a6）=3【考点】数列与函数的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】先由函数f（x）是奇函数，f（x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数再由a1=1，且sn=2an+n，推知a5=31，a6=63计算即可【解答】解：函数f（x）是奇函数f（x）=f（x）f（x）=f（x），f（x）=f（x）f（3+x）=f（x）f（x）是以3为周期的周期函数数列an满足a1=1，且sn=2an+n，sn1=2an1+n1，an=2an2an1+1，即an=2an11，an1=2（an11），an1以2为首项，2为公比的等比数列an=12na5=31，a6=63f（a5）+f（a6）=f（31）+f（63）=f（2）+f（0）=f（2）=f（2）=3故答案为：3【点评】本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点三、解答题（本大题6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且pq为真，求实数x的取值范围；（2）利用p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由x24ax+3a20，得（x3a）（xa）0又a0，所以ax3a当a=1时，1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3由得得2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2x3（2）p是q的充分不必要条件，即pq，且q推不出p即q是p的充分不必要条件，则，解得1a2，所以实数a的取值范围是1a2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p是q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，进而可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值【解答】解：（1）化简可得=所以（2）因为，所以所以，所以1f（x）2，当，即时，f（x）min=1，当，即时，f（x）max=2，【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性和值域，属中档题19已知，满足（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知abc三个内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若，且a=2，求abc面积的最大值【考点】余弦定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题【分析】（1）利用两个向量的数量积公式及三角函数的恒等变换，根据求得，令，求得x的范围，即可求出f（x）的单调递增区间（2）由求得，在abc中由余弦定理和基本不等式可得bc4，再由求出它的最大值【解答】解：（1）=，所以令，得，故f（x）的单调递增区间是（2），又，在abc中由余弦定理有，a2=b2+c22bccosa=b2+c2bc=42bcbc=bc，可知bc4（当且仅当b=c时取等号），即abc面积的最大值为【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题20已知数列an满足递推式an=2an1+1（n2），其中a4=15（1）求数列an的通项公式；（2）已知数列bn，有bn=，求数列bn的前n项和sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过对an=2an1+1（n2）变形可知an+1=2（an1+1）（n2），利用a4+1=16可知an+1=2n，进而可得结论；（2）通过（1）知bn=，利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）an=2an1+1（n2），an+1=2（an1+1）（n2），即数列an+1是公比为2的等比数列，又a4+1=15+1=16，an+1=162n4=2n，an=1+2n；（2）由（1）知bn=，sn=+2+n，sn=+2+（n1）+n，得： sn=+n=1，整理得：sn=2【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题21已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x1时，不等式f（x）恒成立，求实数k的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（1）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（a，a+）（a0）上存在极值点，可得，即可求实数a的取值范围；（2）当x1时，分离参数，构造，证明g（x）在1，+）上是单调递增，所以g（x）min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）定义域为（0，+），由f（x）=0x=1，当0x1时，f（x）0，当x1时，f（