高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理（3）课件 北师大版选修21.ppt

2 3 3空间向量运算的坐标表示 一 二 三 思考辨析 一 向量加减法和数乘的坐标表示设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 1 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 即空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 即空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差 3 a x1 y1 z1 r 即实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积 4 若b 0 则a b a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 r 5 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 x2 x1 y2 y1 z2 z1 空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差 一 二 三 思考辨析 名师点拨1 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算 只是由二维变成了三维 所以空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似 2 理解共线向量定理的条件和结论 在用坐标表示时 要注意等价变形 3 已知a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 若b1 b2 b3都不为0 则a b 一 二 三 思考辨析 做一做1 已知向量a 3 2 1 b 2 1 5 则a b a b 2a 3b 解析 a b 3 2 1 2 1 5 5 3 4 a b 3 2 1 2 1 5 1 1 6 2a 3b 2 3 2 1 3 2 1 5 6 4 2 6 3 15 0 1 17 答案 5 3 4 1 1 6 0 1 17 做一做2 已知a 1 5 1 b 2 3 5 则使 ka b a 3b 成立的k的值为 解析 ka b k 2 5k 3 k 5 a 3b 1 3 2 5 3 3 1 3 5 7 4 16 ka b a 3b 一 二 三 思考辨析 二 数量积的坐标表示设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和 做一做3 已知a 2 5 3 b 4 2 x 且a b 0 则x a 4b 6c 8d 6解析 a b 2 4 5 2 3x 0 x 6 答案 b 一 二 三 思考辨析 三 空间向量长度与夹角的坐标表示设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 3 a b x1x2 y1y2 z1z2 0 一 二 三 思考辨析 做一做4 若a 1 2 b 2 1 2 且a与b的夹角的余弦值为 则 等于 解析 因为a b 1 2 1 2 2 6 答案 c 一 二 三 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 3 空间向量a 1 1 1 是一个单位向量 4 若a b为空间向量 则 a b a b a2 b2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 向量运算的坐标表示 例1 已知a 2 1 2 b 0 1 4 求a b a b 3a 2b a b 解 因为a 2 1 2 b 0 1 4 所以a b 2 1 2 0 1 4 2 0 1 1 2 4 2 2 2 a b 2 1 2 0 1 4 2 0 1 1 2 4 2 0 6 3a 2b 3 2 1 2 2 0 1 4 3 2 3 1 3 2 2 0 2 1 2 4 6 3 6 0 2 8 6 5 2 a b 2 1 2 0 1 4 2 0 1 1 2 4 0 1 8 7 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟空间向量的坐标运算方法1 在运算中注意相关公式的灵活运用 如 a b a b a2 b2 a 2 b 2 a b a b a b 2等 2 进行向量坐标运算时 可以先代入坐标再运算 也可先进行向量式的化简再代入坐标运算 如计算 2a b 既可以利用运算律把它化成 2 a b 也可以先求出2a b后 再求数量积 计算 a b a b 既可以先求出a b a b后 再求数量积 也可以把 a b a b 写成a2 b2后计算 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知在空间直角坐标系中 a 1 2 4 b 2 3 0 c 2 2 5 解 1 因为a 1 2 4 b 2 3 0 c 2 2 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 空间向量的平行与垂直 例2 设向量a 1 x 1 x b 1 x2 3x x 1 求满足下列条件时 实数x的值 1 a b 2 a b 解 1 当x 0时 a 1 0 1 b 1 0 1 a b 满足a b 当x 1时 a 1 1 0 b 0 3 2 不满足a b x 1 当x 0 且x 1时 综上所述 当x 0或x 2时 a b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 a b a b 0 1 x 1 x 1 x2 3x x 1 0 1 x2 3x2 1 x2 0 反思感悟要熟练掌握向量平行和垂直的条件 借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算 在应用坐标形式下的平行条件时 一定注意结论成立的前提条件 在条件不明确时要分类讨论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知向量a 2 4 5 b 3 x y 若a b 求x y的值 解 a b a b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 空间向量长度与夹角的坐标表示 例3 在长方体oabc o1a1b1c1中 oa 2 ab 3 aa1 2 e是bc的中点 建立空间直角坐标系 用向量方法解决下列问题 1 求直线ao1与b1e所成角的余弦值 2 作o1d ac于点d 求点o1到点d的距离 解 建立如图所示的空间直角坐标系 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 由题意得a 2 0 0 o1 0 0 2 b1 2 3 2 e 1 3 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟当题中的几何体为正方体 长方体 直三棱柱等时 常选择建立空间直角坐标系 利用向量的坐标运算来解决有关长度 夹角 平行或垂直等问题 有时也可以不建系 利用基底来求解 但比较麻烦 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是d1d bd的中点 g在棱cd上 且cg cd h为c1g的中点 求解下列问题 1 求证 ef b1c 3 求fh的长 解 如图 建立空间直角坐标系d xyz d为坐标原点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽视两个向量夹角为锐角 钝角 的条件致误 典例 已知a 5 3 1 b 若a与b的夹角为锐角 求实数t的取值范围 易错分析 由a与b的夹角为锐角 得到a b 0 但当a b 0时 a与b的夹角不一定为锐角 还可能是共线同向 夹角为0 解题时容易忽视这个条件 导致扩大了参数的范围 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得空间向量a b夹角为锐角的充要条件是 a b 0 且a b不同向 a b夹角为钝角的充要条件是 a b 0 且a b不反向 如果在求解过程中 忽视两个向量共线的情况 就有可能扩大参数的取值范围 导致错误 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知a 3 2 3 b 1 x 1 1 且a与b的夹角为钝角 则x的取值范围是 解析 a与b的夹角为钝角 a b 0 3 1 2 x 1 3 1 0 1234 1 已知a 1 0 1 b 1 2 2 c 2 3 1 那么向量a b 2c a 0 1 2 b 4 5 5 c 4 8 5 d 2 5 4 解析 a b 2c 1 0 1 1 2 2 2 2 3 1 4 8 5 答案 c 1234 2 已知a 1 0 2 b 6 2 1 2 若a b 则 与 的值为 解析 因为a b 所以b ka 即k 1 0 2 6 2 1 2 所以 1234 3 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k的值是 解析 a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2