第四节　直线、平面垂直的判定与性质 (2).doc

第四节直线、平面垂直的判定与性质 与垂直相关的命题的判定考向聚焦高考的常考内容,常将定义、判定和性质结合起来,与线面平行相关知识命制试题,有时结合命题的真假判定或充要条件综合命题,考查学生对线面平行与垂直的判定定理及性质的理解,一般以选择题、填空题形式出现,难度中档以下,所占分值45分1.(2012年安徽卷,理6,5分)设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内.直线b在平面内,且bm,则“”是“ab”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:本题考查面面垂直的判定与性质,考查空间想象能力,考查充分必要条件.若,由条件可以得出ab,若ab,bm,由条件不能得出,所以“”是“ab”的充分不必要条件.故选A.答案:A. 本题解决的关键是对面面垂直的性质及判定定理的理解,属于概念识别问题,解决这类问题要注意直线与直线可能位置的多种情况,比如本题中b与m可能平行,也可能相交.2.(2012年浙江卷,理10,5分)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()(A)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直(C)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:假设A项正确,过点A作AO平面BCD,垂足为O,连接CO交BD于H,连接AH,则BD平面ACH,从而BDAH,BDCH,这是不可能的;假设B项正确,因为DCBC,DC平面ABC,此时ACD=90,CD=1,AD=2,只需AC=1即可,这种情况是存在的,故选B.答案:B.3.(2011年浙江卷,理4)下列命题中错误的是()(A)如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面(B)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C)如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面(D)如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面解析:不妨取一个长方体,平面ABB1A1平面A1B1C1D1,而C1D1平面A1B1C1D1,C1D1平面ABB1A1,从而D错误,故选D. 答案:D.4.(2010年山东卷,理3)在空间,下列命题正确的是( )(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行解析:A选项中平行直线的平行投影也可能是平行的;B选项中的两个平面也可以相交;C选项中的两个平面也可以相交.故选D.答案:D.5.(2012年陕西卷,理18,12分)(1)如图,证明命题“a是平面内的一条直线,b是外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ab,则ac”为真;(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).(1)证明:法一:设斜线b与平面交于点A,在b上任取一点P(异于点A),过P作PB平面,则垂足B落在投影c上.PB平面,aPBa.又ba,且PB、b是平面PAB内的两条相交线,a平面PAB,又c平面PAB,ac.法二:如图,过直线b上任一点作平面的垂线d,则da,设直线a、b、c、d的方向向量分别为a、b、c、d,则b,c,d共面,由平面向量基本定理知,存在唯一的实数、使得c=b+d,ac=a(b+d)=(ab)+(ad)由于da,ba,ad=0,ab=0,ac=0,即ac.(2)解:逆命题为:“a是平面内的一条直线,b是平面外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ac,则ab”.逆命题为真命题. 抛开常规的柱、锥问题,考查线面的基本问题,要求将文字语言转化为几何语言,难度不大,中档.与垂直相关的问题的证明考向聚焦高考的必考内容,常以棱柱、棱锥为载体,考查学生对线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用,主要题型有(1)线线垂直的证明;(2)线面垂直的证明;(3)面面垂直的证明.常以解答题形式出现,难度中档,所占分值48分备考指津注意线线垂直线面垂直面面垂直的转化思想的训练,及推理论证能力的培养6.(2012年湖南卷,理18,12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E是CD的中点.(1)证明:CD平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥PABCD的体积.解:法一:(1)如图(1),连结AC.由AB=4,BC=3,ABC=90得AC=5.又AD=5,E是CD的中点,所以CDAE.因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD,分别与AE,AD相交于点F,G,连结PF.由(1)CD平面PAE知,BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BGAE.由PA平面ABCD知,PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.由题意PBA=BPF,因为sin PBA=PAPB,sin BPF=BFPB,所以PA=BF.由DAB=ABC=90知,ADBC,又BGCD,所以四边形BCDG是平行四边形.故GD=BC=3,于是AG=2.在RtBAG中,AB=4,AG=2,BGAF,所以BG=AB2+AG2=25,BF=AB2BG=1625=855.于是PA=BF=855.又梯形ABCD的面积为S=12(5+3)4=16,所以四棱锥PABCD的体积为V=13SPA=1316855=128515.法二:如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设PA=h,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).(1)易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).因为CDAE=-8+8+0=0,CDAP=0,所以CDAE,CDAP,而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知,CD,PA分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以| cos |=|cos |,即|CDPB|CD|PB|=|PAPB|PA|PB|.由(1)知,CD=(-4,2,0),PA=(0,0,-h),又PB=(4,0,-h),故|-16+0+0|2516+h2=|0+0+h2|h16+h2解得h=855.又梯形ABCD的面积为S=12(5+3)4=16,所以四棱锥PABCD的体积为V=13SPA=1316855=128515.7.(2012年全国大纲卷,理18,12分)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,AC=22,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(1)证明:PC平面BED;(2)设二面角APBC为90,求PD与平面PBC所成角的大小.解:法一:(1)因为底面ABCD为菱形,所以BDAC,又PA底面ABCD,所以PCBD.设ACBD=F,连结EF.因为AC=22,PA=2,PE=2EC,故PC=23,EC=233,FC=2,从而PCFC=6,ACEC=6.因为PCFC=ACEC,FCE=PCA,所以FCEPCA,FEC=PAC=90,由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB,G为垂足.因为二面角APBC为90,所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBC=PB,故AG平面PBC,AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD为正方形,AD=2,PD=PA2+AD2=22.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=2.设PD与平面PBC所成的角为,则sin =dPD=12.所以PD与平面PBC所成的角为30.法二:(1)以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(22,0,0),D(2,b,0),其中b0,则P(0,0,2),E(423,0,23),B(2,-b,0).于是PC=(22,0,-2),BE=(23,b,23),DE=(23,-b,23),从而PCBE=0,PCDE=0,故PCBE,PCDE,又BEDE=E,所以PC平面BED.(2)AP=(0,0,2),AB=(2,-b,0).设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则mAP=0,mAB=0,即2z=0且2x-by=0,令x=b,则m=(b,2,0).设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,则nPC=0,nBE=0,即22p-2r=0且2p3+bq+23r=0,令p=1,则r=2,q=-2b,n=(1,-2b,2).因为面PAB面PBC,故mn=0,即b-2b=0,故b=2,于是n=(1,-1,2),DP=(-2,-2,2),cos=nDP|n|DP|=12,=60.因为PD与平面PBC所成角和互余,故PD与平面PBC所成的角为30.8.(2012年江苏数学,16,14分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且ADDE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE平面BCC1B1;(2)直线A1F平面ADE.证明:(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC,又AD平面ABC,所以CC1AD.又因为ADDE,CC1,DE平面BCC1B1,CC1DE=E,所以AD平面BCC1B1,又AD平面ADE.所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F是B1C1的中点,所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,所以CC1A1F.又因为CC1,B1C1平面BCC1B1,CC1B1C1=C1,所以A1F平面BCC1B1,由(1)知AD平面BCC1B1,所以A1FAD.又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F平面ADE.9.(2011年广东卷,理18)如图所示,在锥体PABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且DAB=60,PA=PD=2,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明:AD平面DEF;(2)求二面角PADB的余弦值.(1)证明:ADPB=AD(PA+AB)=ADPA+ADAB=|AD|PA|cos(-PAD)+|AD|AB|cosDAB=-2cosPAD+cos 60=-2cosPAD+12又PAD为等腰三角形,cosPAD=12|AD|PA|=24,从而ADPB=-224+12=0,ADPB,又由题意EFPB,ADEF又在DEC中,EC=12,DC=1,DCE=60,DEC=90,即DEBC,又ADBC,DEAD由知AD平面DEF.(2)解:取AD的中点G,连接PG、GB,PAD为等腰三角形,PA=PD,PGAD,ABD为等边三角形,BGAD,从而BGP为二面角PADB的平面角,又在PGB中,cosBGP=PG2+GB2-PB22|PG|GB|=(PA2-AG2)+(AB2-AG2)-222PA2-AG2AB2-AG2=-217二面角PADB的余弦值为-217.10.(2011年上海卷,理21)已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1为A1C1与B1D1的交点.(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为,二面角AB1D1A1的大小为,求证:tan =2tan ;(2)若点C到平面AB1D1的距离为43,求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高.(1)证明:连接AO1、AC.AA1平面A1B1C1D1,AB1A1为AB1与平面A1B1C1D1所成的角.即AB1A1大小为.A1B1C1D1为正方形,B1D1A1C1.又CC1平面A1B1C1D1,CC1B1D1,B1D1平面ACC1A1,B1D1AO1,A1O1A即为二面角AB1D1A1的平面角.即A1O1A的大小为.在RtAB1A1中,tan =AA1B1A1,在RtAA1O1中,tan =AA1A1O1.在等腰直角三角形A1B1O1中,A1B1=1,A1O1=22.tan=AA1,tan=AA122=2AA1,tan =2tan .(2)解:在平面AA1C1C内,过点C作CHAO1于点H.由(1)知B1D1平面AA1C1C,B1O1CH.CH平面AB1D1.即CH为点C到平面AB1D1的距离.CH=43.设AA1=x,则AO1=AA12+A1O12=x2+12.又SAO1C=12CHAO1且SAO1C=12ACAA1,CHAO1=ACAA1,43x2+12=2x,x=2.即正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为2.11.(2011年湖南卷,理19)如图,在圆锥PO中,已知PO=2,O的直径AB=2,C是AB的中点,D为AC的中点.(1)证明:平面POD平面PAC;(2)求二面角BPAC的余弦值.(1)证明:连接OC,因为OA=OC,D是AC的中点,所以ACOD,又PO底面O,AC底面O,所以ACPO.因为ODPO=O,所以AC平面POD.而AC平面PAC,所以平面POD平面PAC.(2)解:在平面POD中,过O作OHPD于H,由(1)知,平面POD平面PAC,所以OH平面PAC.又PA面PAC,所以PAOH.在平面PAO中,过O作OGPA于G,连接HG,则有PA平面OGH.从而PAHG.故OGH为二面角BPAC的平面角.在RtODA中,OD=OAsin 45=22.在RtPOD中,OH=POODPO2+OD2=2222+12=105.在RtPOA中,OG=POOAPO2+OA2=212+1=63.在RtOHG中,sin OGH=OHOG=10563=155.所以cos OGH=1-sin2OGH=1-1525=105.故二面角BPAC的余弦值为105.12.(2010年安徽卷,理18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH平面EDB;(2)求证:AC平面EDB;(3)求二面角BDEC的大小.法一:(综合法)(1)证明:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连接EG,GH,又H为BC的中点,GH12AB,又EF12AB,EFGH,四边形EFHG为平行四边形,EGFH,而EG平面EDB,FH平面EDB,FH平面EDB.(2)证明:由四边形ABCD为正方形,有ABBC.又EFAB,EFBC.而EFFB,BCFB=B,EF平面BFC,EFFH.ABFH,又BF=FC,H是BC的中点,FHBC.又ABBC=B,FH平面ABCD.FHAC.又FHEG,ACEG,又ACBD,EGBD=G,AC平面EDB.(3)解:EFFB,BFC=90,EFFC=F,BF平面CDEF.在平面CDEF内过点F作FKDE交DE的延长线于K,连接BK,则FKB为二面角BDEC的一个平面角.设EF=1,则AB=2,FC=2,DE=3.又EFDC,KEF=EDC.sin EDC=sin KEF=23.FK=EFsin KEF=23,tan FKB=BFFK=3,FKB=60.即二面角BDEC的大小为60.法二:(向量法):四边形ABCD为正方形,ABBC,又EFAB,EFBC.又EFFB,FBBC=B,EF平面BFC.EFFH,ABFH.又BF=FC,H为BC的中点,FHBC.又ABBC=B,FH平面ABC.以H为坐标原点,HB为x轴正方向,HF为z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系.设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).(1)证明:设AC与BD的交点为G,连接GE,GH,则G(0,-1,0),GE=(0,0,1),又HF=(0,0,1),HF=GE,HFGE,又GE平面EDB,FH平面EDB,FH平面EDB.(2)证明:AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),ACGE=0,ACGE.又ACBD,EGBD=G,AC平面EDB.(3)解:BE=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,0).设平面BDE的法向量为n1=(1,y1,z1),则BEn1=-1-y1+z1=0,BDn1=-2-2y1=0,y1=-1,z1=0,即n1=(1,-1,0).CD=(0,-2,0),CE=(1,-1,1),设平面CDE的法向量为n2=(1,y2,z2),则n2CD=0,得y2=0,又n2CE=0,即1-y2+z2=0,故z2=-1,故n2=(1,0,-1),cos=n1n2|n1|n2|=122=12,=60,即二面角BDEC的大小为60. 线面平行、线面垂直是线面位置关系的重要内容.(