高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题二 函数与导数刺 第3讲 导数及其应用第1课时 导数与函数性质课件 文.ppt

第1课时导数与函数性质 考情分析 总纲目录 1 导数的几何意义函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 曲线f x 在点p处的切线的斜率k f x0 相应的切线方程为y f x0 f x0 x x0 第1课时导数与函数性质考点一导数的几何意义 2 四个易错导数公式 1 sinx cosx 2 cosx sinx 3 ax axlna a 0且a 1 4 logax a 0且a 1 典型例题 1 2017课标全国 14 5分 曲线y x2 在点 1 2 处的切线方程为 2 2017云南第一次统考 已知函数f x axlnx b a b r 若f x 的图象在x 1处的切线方程为2x y 0 则a b 答案 1 x y 1 0 2 4解析 1 y x2 y 2x y x 1 2 1 1 所求切线方程为y 2 x 1 即x y 1 0 2 由题意 得f x alnx a 所以f 1 a 因为函数f x 的图象在x 1处的切线方程为2x y 0 所以a 2 又f 1 b 则2 1 b 0 所以b 2 故a b 4 方法归纳求曲线y f x 的切线方程的三种类型及方法 1 已知切点p x0 y0 求切线方程求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率k 求切线方程设切点p x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求切线方程设切点p x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 再由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 跟踪集训1 2017广东广州综合测试 一 设函数f x x3 ax2 若曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程为x y 0 则点p的坐标为 a 0 0 b 1 1 c 1 1 d 1 1 或 1 1 答案d由题意知 f x 3x2 2ax 所以曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率为f x0 3 2ax0 又切线方程为x y 0 所以x0 0 且解得或所以当时 点p的坐标为 1 1 当时 点p的坐标为 1 1 故选d 2 2017四川成都第二次检测 若曲线y f x lnx ax2 a为常数 不存在斜率为负数的切线 则实数a的取值范围是 a b c 0 d 0 答案df x 2ax x 0 根据题意有f x 0 x 0 恒成立 所以2ax2 1 0 x 0 恒成立 即2a x 0 恒成立 所以a 0 故实数a的取值范围为 0 故选d 3 2017四川成都第一次检测 已知曲线c1 y2 tx y 0 t 0 在点m处的切线与曲线c2 y ex 1 1也相切 则t的值为 a 4e2b 4ec d 答案a由y 得y 则切线斜率为k 所以切线方程为y 2 即y x 1 设切线与曲线y ex 1 1的切点为 x0 y0 由y ex 1 1 得y ex 1 则由 得切点坐标为 故切线方程又可表示为y 1 即y x ln 1 所以由题意 得 ln 1 1 即ln 2 解得t 4e2 故选a 考点二利用导数研究函数的单调性导数与函数单调性的关系 1 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有f x 0时 则f x 为常数函数 函数不具有单调性 典型例题 2017课标全国 21 12分 已知函数f x ex ex a a2x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 解析 1 函数f x 的定义域为 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 单调递增 若a 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 故f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 若a0 故f x 在单调递减 在单调递增 2 若a 0 则f x e2x 所以f x 0 若a 0 则由 1 得 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna a2lna 从而当且仅当 a2lna 0 即a 1时 f x 0 若a 0 则由 1 得 当x ln时 f x 取得最小值 最小值为f a2 从而当且仅当a2 0 即a 2时 f x 0 综上 a的取值范围是 2 1 方法归纳根据函数y f x 在 a b 上的单调性求参数范围的方法 1 若函数y f x 在 a b 上单调递增 转化为f x 0在 a b 上恒成立求解 2 若函数y f x 在 a b 上单调递减 转化为f x 0在 a b 上恒成立求解 3 若函数y f x 在 a b 上单调 转化为f x 在 a b 上不变号 即f x 0恒成立或f x 0恒成立 4 若函数y f x 在 a b 上不单调 f x 在 a b 上有变号零点 跟踪集训1 2017甘肃张掖第一次诊断考试 若函数f x x2 x 1在区间上单调递减 则实数a的取值范围是 a b c d 答案bf x x2 ax 1 函数f x 在区间上单调递减 f x 0在区间上恒成立 即解得a 实数a的取值范围为 2 2017河北石家庄质量检测 二 已知函数f x mlnx g x x 0 1 当m 1时 求曲线y f x g x 在x 1处的切线方程 2 讨论函数f x f x g x 在 0 上的单调性 解析 1 当m 1时 y f x g x y x 1时 切线的斜率k y x 1 又切线过点 1 0 所以切线方程为y x 1 即x 2y 1 0 2 由已知得 f x mlnx 所以f x 当m 0时 f x 0时 令k x mx2 2m 1 x m 2m 1 2 4m2 1 4m 当 0 即m 时 k x 0恒成立 此时f x 0 函数f x 在 0 上单 考点三利用导数研究函数的极值 最值 导数与函数的极值 最值的关系 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 典型例题 2017山东 20 13分 已知函数f x x3 ax2 a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 2 设函数g x f x x a cosx sinx 讨论g x 的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 解析 1 由题意f x x2 ax 所以当a 2时 f 3 0 f x x2 2x 所以f 3 3 因此 曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程是y 3 x 3 即3x y 9 0 2 因为g x f x x a cosx sinx 所以g x f x cosx x a sinx cosx x x a x a sinx x a x sinx 令h x x sinx 则h x 1 cosx 0 所以h x 在r上单调递增 因为h 0 0 所以当x 0时 h x 0 当x0 g x 单调递增 当x a 0 时 x a 0 g x 0 g x 0 g x 单调递增 所以当x a时g x 取到极大值 极大值是g a a3 sina 当x 0时g x 取到极小值 极小值是g 0 a 当a 0时 g x x x sinx 当x 时 g x 0 g x 单调递增 所以g x 在 上单调递增 g x 无极大值也无极小值 当a 0时 g x x a x sinx 当x 0 时 x a0 g x 单调递增 当x 0 a 时 x a0 g x 0 g x 单调递增 所以当x 0时g x 取到极大值 极大值是g 0 a 当x a时g x 取到极小值 极小值是g a a3 sina 综上所述 当a0时 函数g x 在 0 和 a 上单调递增 在 0 a 上单调递减 函数既有极大值 又有极小值 极大值是g 0 a 极小值是g a a3 sina 方法归纳利用导数研究函数极值 最值的方法 1 若求极值 则先求方程f x 0的全部实根 再检验f x 在方程根的左右两侧值的符号 2 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0的根的大小或存在情况 从而求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 跟踪集训 2017北京 20 13分 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 解析 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 2 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 当x 时 h x 0 所以h x 在区间上单调递减 所以对任意x 有h x h 0 0 即f x 0 所以函数f x 在区间上单调递减 因此f x 在区间上的最大值为f 0 1 最小值为f 1 2017天津 10 5分 已知a r 设函数f x ax lnx的图象在点 1 f 1 处的切线为l 则l在y轴上的截距为 随堂检测 答案1 解析由题意可知f x a 所以f 1 a 1 因为f 1 a 所以切点坐标为 1 a 所以切线l的方程为y a a 1 x 1 即y a 1 x 1 令x 0 得y 1 即直线l在y轴上的截距为1 2 2017江西五市部分学校联考 已知函数f x lnx在 e 上有极值点 则实数m的取