高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第25练 空间中的平行与垂直课件 文.ppt

第二篇熟练规范中档大题保高分 第25练空间中的平行与垂直 明考情高考中对直线和平面的平行 垂直关系交汇综合命题 多以棱柱 棱锥 棱台或简单组合体为载体进行考查 难度中档偏下 知考向1 空间中的平行关系 2 空间中的垂直关系 3 平行和垂直的综合应用 研透考点核心考点突破练 栏目索引 规范解答模板答题规范练 研透考点核心考点突破练 考点一空间中的平行关系 方法技巧 1 平行关系的基础是线线平行 比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系 利用平行四边形构造平行关系 2 证明过程中要严格遵循定理中的条件 注意推证的严谨性 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点n在bd上 点m在b1c上 且cm dn 求证 mn 平面aa1b1b 证明 1 2 3 4 证明如图所示 作me bc交bb1于点e 作nf ad交ab于点f 连接ef 则ef 平面aa1b1b me bc nf ad 在正方体abcd a1b1c1d1中 cm dn b1m nb 又bc ad me nf 1 2 3 4 1 2 3 4 又me bc ad nf 四边形mefn为平行四边形 mn ef 又ef 平面aa1b1b mn 平面aa1b1b mn 平面aa1b1b 2 2017 全国 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd 且 bap cdp 90 1 证明 平面pab 平面pad 1 2 3 4 证明 证明由已知 bap cdp 90 得ab pa cd pd 由于ab cd 故ab pd 从而ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 2 若pa pd ab dc apd 90 且四棱锥p abcd的体积为 求该四棱锥的侧面积 1 2 3 4 解答 解如图 在平面pad内作pe ad 垂足为e 由 1 知 ab 平面pad 故ab pe ab ad 所以pe 平面abcd 可得四棱锥p abcd的侧面积为 1 2 3 4 3 2017 龙岩市新罗区校级模拟 如图 o是圆锥底面圆的圆心 圆锥的轴截面pab为等腰直角三角形 c为底面圆周上一点 1 若弧bc的中点为d 求证 ac 平面pod 1 2 3 4 证明 证明方法一设bc od e d是弧bc的中点 e是bc的中点 又 o是ab的中点 ac oe 又 ac 平面pod oe 平面pod ac 平面pod 方法二 ab是底面圆的直径 ac bc 弧bc的中点为d od bc 又ac od共面 ac od 又ac 平面pod od 平面pod ac 平面pod 1 2 3 4 1 2 3 4 2 如果 pab的面积是9 求此圆锥的表面积 解答 解设圆锥底面半径为r 高为h 母线长为l 圆锥的轴截面pab为等腰直角三角形 4 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd 且ab 2cd 在棱ab上是否存在一点f 使平面c1cf 平面add1a1 若存在 求点f的位置 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 解答 解存在这样的点f 使平面c1cf 平面add1a1 此时点f为ab的中点 证明如下 ab cd ab 2cd af綊cd 四边形afcd是平行四边形 ad cf 又ad 平面add1a1 cf 平面add1a1 cf 平面add1a1 又cc1 dd1 cc1 平面add1a1 dd1 平面add1a1 cc1 平面add1a1 又cc1 cf 平面c1cf cc1 cf c 平面c1cf 平面add1a1 1 2 3 4 考点二空间中的垂直关系 方法技巧判定直线与平面垂直的常用方法 1 利用线面垂直定义 2 利用线面垂直的判定定理 一条直线与平面内两条相交直线都垂直 则这条直线与平面垂直 3 利用线面垂直的性质 两平行线中的一条垂直于平面 则另一条也垂直于这个平面 4 利用面面垂直的性质定理 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 5 如图所示 已知ab 平面acd de 平面acd acd为等边三角形 ad de 2ab f为cd的中点 求证 1 af 平面bce 5 6 7 8 证明 证明如图 取ce的中点g 连接fg bg 5 6 7 8 ab 平面acd de 平面acd ab de gf ab 四边形gfab为平行四边形 af bg af 平面bce bg 平面bce af 平面bce 2 平面bce 平面cde 证明 acd为等边三角形 f为cd的中点 af cd de 平面acd af 平面acd de af 又cd de d 故af 平面cde bg af bg 平面cde bg 平面bce 平面bce 平面cde 5 6 7 8 证明 6 2017 全国 如图 在四面体abcd中 abc是正三角形 ad cd 1 证明 ac bd 5 6 7 8 证明如图 取ac的中点o 连接do bo 因为ad cd 所以ac do 又由于 abc是正三角形 所以ac bo 又do ob o 所以ac 平面dob 故ac bd 证明 5 6 7 8 解答 2 已知 acd是直角三角形 ab bd 若e为棱bd上与d不重合的点 且ae ec 求四面体abce与四面体acde的体积比 解连接eo 由 1 及题设知 adc 90 所以do ao 在rt aob中 bo2 ao2 ab2 又ab bd 所以bo2 do2 bo2 ao2 ab2 bd2 故 dob 90 即四面体abce与四面体acde的体积之比为1 1 5 6 7 8 7 2017 南京一模 如图 在六面体abcde中 平面dbc 平面abc ae 平面abc 1 求证 ae 平面dbc 证明过点d作do bc o为垂足 平面dbc 平面abc 平面dbc 平面abc bc do 平面dbc do 平面abc 又ae 平面abc 则ae do 又ae 平面dbc do 平面dbc 故ae 平面dbc 5 6 7 8 证明 2 若ab bc bd cd 求证 ad dc 证明由 1 知 do 平面abc ab 平面abc do ab 又ab bc 且do bc o do bc 平面dbc ab 平面dbc dc 平面dbc ab dc 又bd cd ab db b ab db 平面abd 则dc 平面abd 又ad 平面abd 故可得ad dc 5 6 7 8 证明 8 已知四棱锥s abcd的底面abcd为正方形 顶点s在底面abcd上的射影为其中心o 高为 设e f分别为ab sc的中点 且se 2 m为cd边上的点 1 求证 ef 平面sad 证明取sb的中点p 连接pf pe f为sc的中点 pf bc 又底面abcd为正方形 bc ad 即pf ad 又pe sa 平面pfe 平面sad ef 平面pfe ef 平面sad 5 6 7 8 证明 解答 5 6 7 8 2 试确定点m的位置 使得平面efm 底面abcd 解连接ac ac的中点即为点o 连接so 由题意知so 平面abcd 取oc的中点h 连接fh 则fh so fh 平面abcd 平面efh 平面abcd 连接eh并延长 则eh与dc的交点即为m点 oe 1 ab 2 ae 1 5 6 7 8 考点三平行和垂直的综合应用 方法技巧空间平行 垂直关系证明的主要思想是转化 即通过判定 性质定理将线线 线面 面面之间的平行 垂直关系相互转化 9 10 11 12 9 如图 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ad的中点 求证 1 直线ef 平面pcd 证明在 pad中 e f分别为ap ad的中点 ef pd 又 ef 平面pcd pd 平面pcd 直线ef 平面pcd 证明 2 平面bef 平面pad 证明如图 连接bd ab ad bad 60 adb为正三角形 f是ad的中点 bf ad 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bf 平面abcd bf 平面pad 又 bf 平面bef 平面bef 平面pad 9 10 11 12 证明 10 2017 山东 由四棱柱abcd a1b1c1d1截去三棱锥c1 b1cd1后得到的几何体如图所示 四边形abcd为正方形 o为ac与bd的交点 e为ad的中点 a1e 平面abcd 1 证明 a1o 平面b1cd1 证明取b1d1的中点o1 连接co1 a1o1 由于abcd a1b1c1d1是四棱柱 所以a1o1 oc a1o1 oc 因此四边形a1oco1为平行四边形 所以a1o o1c 又o1c 平面b1cd1 a1o 平面b1cd1 所以a1o 平面b1cd1 9 10 11 12 证明 2 设m是od的中点 证明 平面a1em 平面b1cd1 证明因为ac bd e m分别为ad和od的中点 所以em bd 又a1e 平面abcd bd 平面abcd 所以a1e bd 因为b1d1 bd 所以em b1d1 a1e b1d1 又a1e em 平面a1em a1e em e 所以b1d1 平面a1em 又b1d1 平面b1cd1 所以平面a1em 平面b1cd1 9 10 11 12 证明 9 10 11 12 11 2017 汉中二模 如图 在棱长均为4的三棱柱abc a1b1c1中 d d1分别是bc和b1c1的中点 1 求证 a1d1 平面ab1d 证明 证明连接dd1 在三棱柱abc a1b1c1中 d d1分别是bc和b1c1的中点 b1d1 bd 且b1d1 bd 四边形b1bdd1为平行四边形 bb1 dd1 且bb1 dd1 又 aa1 bb1 aa1 bb1 aa1 dd1 aa1 dd1 四边形aa1d1d为平行四边形 a1d1 ad 又 a1d1 平面ab1d ad 平面ab1d a1d1 平面ab1d 9 10 11 12 2 若平面abc 平面bcc1b1 b1bc 60 求三棱锥b1 abc的体积 解在 abc中 边长均为4 则ab ac d为bc的中点 ad bc 平面abc 平面b1c1cb 交线为bc ad 平面abc ad 平面b1c1cb 即ad是三棱锥a b1bc的高 在 b1bc中 b1b bc 4 b1bc 60 9 10 11 12 解答 12 如图 在四棱锥s abcd中 平面sad 平面abcd 四边形abcd为正方形 且p为ad的中点 q为sb的中点 1 求证 cd 平面sad 9 10 11 12 证明 证明 四边形abcd为正方形 cd ad 又 平面sad 平面abcd 且平面sad 平面abcd ad cd 平面abcd cd 平面sad 2 求证 pq 平面scd 证明取sc的中点r 连接qr dr 在 sbc中 q为sb的中点 r为sc的中点 qr pd且qr pd 则四边形pdrq为平行四边形 pq dr 又pq 平面scd dr 平面scd pq 平面scd 9 10 11 12 证明 3 若sa sd m为bc的中点 在棱sc上是否存在点n 使得平面dmn 平面abcd 并证明你的结论 9 10 11 12 解答 解存在点n为sc的中点 使得平面dmn 平面abcd 连接pc dm交于点o 连接pm sp nm nd no pd cm 且pd cm 四边形pmcd为平行四边形 po co 又 n为sc的中点 no sp 易知sp ad 平面sad 平面abcd 平面sad 平面abcd ad 且sp ad sp 平面abcd no 平面abcd 又 no 平面dmn 平面dmn 平面abcd 9 10 11 12 规范解答模板答题规范练 例 12分 如图 四棱锥p abcd的底面为正方形 侧面pad 底面abcd pa ad 点e f h分别为ab pc bc的中点 1 求证 ef 平面pad 2 求证 平面pah 平面def 模板体验 审题路线图 规范解答 评分标准 证明 1 取pd的中点m 连接fm am 在 pcd中 f m分别为pc pd的中点 ae fm且ae fm 则四边形aefm为平行四边形 am ef 4分又 ef 平面pad am 平面pad ef 平面pad 6分 2 侧面pad 底面abcd pa ad 侧面pad 底面abcd ad pa 底面abcd de 底面abcd de pa e h分别为正方形abcd边ab bc的中点 rt abh rt dae 则 bah ade bah aed 90 则de ah 8分 pa 平面pah ah 平面pah pa ah a de 平面pah 10分 de 平面def 平面pah 平面def 12分 构建答题模板 第一步 找线线 通过三角形或四边形的中位线 平行四边形 等腰三角形的中线或线面 面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直 第二步 找线面 通过线线垂直或平行 利用判定定理 找线面垂直或平行 也可由面面关系的性质找线面垂直或平行 第三步 找面面 通过面面关系的判定定理 寻找面面垂直或平行 第四步 写步骤 严格按照定理中的条件规范书写解题步骤 1 如图 在空间四面体abcd中 若e f g h分别是ab bd cd ac的中点 1 求证 四边形efgh是平行四边形 规范演练 证明 在空间四面体abcd中 e f g h分别是ab bd cd ac的中点 ef綊gh 四边形efgh是平行四边形 1 2 3 4 5 证明 2 求证 bc 平面efgh 证明 e h分别是ab ac的中点 eh bc eh 平面efgh bc 平面efgh bc 平面efgh 1 2 3 4 5 证明 2 2017 北京 如图 在三棱锥p abc中 pa ab pa bc ab bc pa ab bc 2 d为线段ac的中点 e为线段pc上一点 1 求证 pa bd 证明因为pa ab pa bc 所以pa 平面abc 又因为bd 平面abc 所以pa bd 1 2 3 4 5 证明 2 求证 平面bde 平面pac 证明因为ab bc d是ac的中点 所以bd ac 由 1 知 pa bd 所以bd 平面pac 所以平面bde 平面pac 1 2 3 4 5 证明 3 当pa 平面bde时 求三棱锥e bcd的体积 解因为pa 平面bde 平面pac 平面bde de 所以pa de 因为d为ac的中点 1 2 3 4 5 解答 由 1 知 pa 平面abc 所以de 平面abc 1 2 3 4 5 解答 3 2017 北京海淀区模拟 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为1的正方形 侧棱pa 底面abcd 且pa 2 e是侧棱pa上的动点 1 求四棱锥p abcd的体积 解 pa 底面abcd pa为此四棱锥底面上的高 1 2 3 4 5 2 如果e是pa的中点 求证 pc 平面bde 证明连接ac交bd于点o 连接oe 四边形abcd是正方形 ao oc 又 ae ep oe pc 又 pc 平面bde oe 平面bde pc 平面bde 证明 3 是否不论点e在侧棱pa的任何位置 都有bd ce 证明你的结论 解不论点e在侧棱pa的任何位置 都有bd ce 证明 四边形abcd是正方形 bd ac pa 底面abcd bd 平面abcd pa bd 又 pa ac a bd 平面pac