高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题二 集合、常用逻辑用语 第3讲 导数及其应用第1课时 利用导数研究函数的基本问题课件 理.ppt

第1课时利用导数研究函数的基本问题 考情分析 总纲目录 第1课时利用导数研究函数的基本问题考点一导数的运算及几何意义1 导数公式 1 sinx cosx 2 cosx sinx 3 ax axlna a 0 4 logax a 0 且a 1 2 导数的几何意义函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 曲线f x 在点p处的切线的斜率k f x0 相应的切线方程为y f x0 f x0 x x0 典型例题 1 已知f x x3 2xf 3 lnx 则f 3 a b c 9d 9 2 2016课标全国 15 5分 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 答案 1 b 2 y 2x 1 解析 1 f x x2 2f 3 所以f 3 32 2f 3 2f 3 解得f 3 2 令x 0 则 x0 则f x 3 x 0 f 1 2 在点 1 3 处的切线方程为y 3 2 x 1 即y 2x 1 方法归纳曲线y f x 的切线方程的三种类型及求解方法 1 已知切点p x0 y0 求切线方程求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率k 求切线方程 设切点p x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求切线方程设切点p x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 再由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 跟踪集训1 已知函数f x cosx 则f f a b c d 答案c f x cosx f x cosx sinx f f 1 2 2017广州综合测试 一 设函数f x x3 ax2 若曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程为x y 0 则点p的坐标为 a 0 0 b 1 1 c 1 1 d 1 1 或 1 1 答案d由题意知 f x 3x2 2ax 所以曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率为f x0 3 2ax0 又切线方程为x y 0 所以x0 0 且解得或当时 点p的坐标为 1 1 当时 点p的坐标为 1 1 故选d 考点二利用导数研究函数的单调性命题点1 判断函数的单调性 2 求函数的单调区间 3 根据函数的单调性求参数的取值范围 导数与函数单调性的关系 1 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有f x 0时 f x 为常数函数 函数不具有单调性 典型例题 2017浙江 20改编 已知函数f x x e x 1 求f x 的导函数 2 求f x 的单调区间 解析 1 x 1 e x e x f x e x x e x 2 令f x 0 解得x 1或x 当x变化时 f x f x 的情况如下 f x 的增区间为 减区间为 方法归纳根据函数y f x 在 a b 上的单调性求参数范围的方法 1 若函数y f x 在 a b 上单调递增 转化为f x 0在 a b 上恒成立 2 若函数y f x 在 a b 上单调递减 转化为f x 0在 a b 上恒成立 3 若函数y f x 在 a b 上单调 转化为f x 在 a b 上不变号 即f x 0恒成立或f x 0恒成立 4 若函数y f x 在 a b 上不单调 转化为f x 在 a b 上有变号零点 跟踪集训1 2017张掖第一次诊断考试 若函数f x x2 x 1在区间上单调递减 则实数a的取值范围是 答案 解析由已知得f x x2 ax 1 函数f x 在区间上单调递减 f x 0在区间上恒成立 即解得a 实数a的取值范围为 2 已知函数f x ax3 x2 a r 在x 处取得极值 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 解析 1 对f x 求导得f x 3ax2 2x 因为f x 在x 处取得极值 所以f 0 即3a 2 0 解得a 2 由 1 得g x ex 故g x ex ex ex 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 当x 4时 g x 0 故g x 为减函数 当 40 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知 g x 在 4 和 1 0 上为减函数 在 4 1 和 0 上为增函数 考点三利用导数研究函数的极值 最值 问题可导函数的极值与最值 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 典型例题 2017北京 19 13分 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 解析 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 2 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 当x 时 h x 0 所以h x 在区间上单调递减 所以对任意x 有h x h 0 0 即f x 0 所以函数f x 在区间上单调递减 因此f x 在区间上的最大值为f 0 1 最小值为f 方法归纳利用导数研究函数极值 最值的方法 1 若求极值 则先求方程f x 0的全部实根 再检验f x 在方程根的左右两侧值的符号 2 若已知极值存在情况 则转化为已知方程f x 0的根的存在情况 从而求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 的最值时 在得到极值的基础上 比较区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值 从而得到函数的最值 跟踪集训1 2017课标全国 11 5分 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 a 1b 2e 3c 5e 3d 1 答案a由题意可得f x ex 1 x2 a 2 x a 1 x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递减 f x 极小值 f 1 1 故选a 2 2017湖南五校联考 已知函数f x lnx ax2 x a r 1 当a 0时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 令g x f x ax 1 求函数g x 的极值 解析 1 当a 0时 f x lnx x 则f 1 1 切点为 1 1 又f x 1 切线斜率k f 1 2 故切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 2 g x f x ax 1 lnx ax2 1 a x 1 则g x ax 1 a 当a 0时 x 0 g x 0 g x 在 0 上是增函数 函数g x 无极值点 当a 0时 g x 令g x 0 得x 当x 时 g x 0 当x 时 g x 0时 函数g x 有极大值 lna 无极小值 1 函数f x x 的极值情况是 a 当x 1时 取极小值2 但无极大值b 当x 1时 取极大值 2 但无极小值c 当x 1时 取极小值 2 当x 1时 取极大值2d 当x 1时 取极大值 2 当x 1时 取极小值2 随堂检测 答案d求导得f x 1 令f x 0 得x 1 函数f x 在区间 1 和 1 上单调递增 在 1 0 和 0 1 上单调递减 所以当x 1时 取极大值 2 当x 1时 取极小值2 2 2017成都第二次诊断性检测 若曲线y f x lnx ax2 a为常数 不存在斜率为负数的切线 则实数a的取值范围是 a b c 0 d 0 答案df x 2ax x 0 根据题意有f x 0 x 0 恒成立 所以2ax2 1 0 x 0 恒成立 即2a x 0 恒成立 所以a 0 故实数a的取值范围为 0 故选d 3 已知函数f x x2 2ax lnx 若f x 在区间上是增函数 则实数a的取值范围为 答案 解析由题意知f x x 2a 0在上恒成立 即2a x 在上恒成立 当x 时 2a 即a 4 2017贵阳检测 已知函数f x lnx 1 求f x 的单调区间 2 求函数f x 在上的最大值和最小值 其中e是自然对数的底数 解析 1 f