第2章2.1.2.docx

21.2函数的表示方法明目标、知重点1.了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.2.掌握简单的分段函数，并能简单应用1函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法2分段函数(1)分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数叫做分段函数(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象情境导学语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？探究点一函数的表示方法思考1函数有哪几种常用的表示法？它们分别是如何定义的？答解析法、图象法、列表法(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系思考2函数的三种表示方法各有什么优点？答(1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值(2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质(3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值例1购买某种饮料x听，所需钱数为y元若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x1,2,3,4)的函数，并指出该函数的值域解(1)解析法：y2x，x1,2,3,4(2)列表法：x/听1234y/元2468(3)图象法：图象由点(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)组成，函数的值域是2,4,6,8反思与感悟本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示跟踪训练1某种笔记本的单价是5元，买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元试用函数的三种表示法表示函数yf(x)解这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5用解析法可将函数yf(x)表示为y5x，x1,2,3，4,5用列表法可将函数yf(x)表示为：笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数yf(x)表示为下图：探究点二换元法求函数的解析式思考已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？答通常用换元法即令g(x)t，反解出x，然后代入f(g(x)中求出f(t)，即求出了f(x)例2已知f(x21)x4x21，求f(x)解因为f(x21)x4x21(x21)2(x21)1，所以f(x)x2x1(x1)反思与感悟此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x代替“自变量”，即得所求函数解析式跟踪训练2已知f()3x，求f(x)的解析式解令t，则t0，且xt21，所以f(t)3(t21)2t2，即f(x)2x2(x0)探究点三待定系数法求函数解析式思考1若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？答若已知函数的类型，可用待定系数法求解思考2用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？答由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式例3设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x)，且f(x)0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，由f(x2)f(2x)可知，该函数图象关于直线x2对称，2，即b4a又图象过点(0,3)，c3由方程f(x)0的两实根平方和为10，得xx(x1x2)22x1x210.即b22ac10a2由解得a1，b4，c3.f(x)x24x3.反思与感悟我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)axb(a0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)(k0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设一般式：f(x)ax2bxc(a0)，顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，双根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)跟踪训练3已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0知c0.f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1，a(x1)2b(x1)ax2bxx1.即：ax2(2ab)xabax2(b1)x1.故2abb1且ab1，解得a，b，f(x)x2x.探究点四分段函数例4某市出租汽车收费标准如下：在3 km以内(含3 km)路程按起步价7元收费，超过3 km以外的路程按2.4 元/km收费试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式解设路程为x km时，收费额为y元，则由题意得：当x3时，y7；当x3时，按2.4 元/km所收费用为2.4(x3)，那么有y72.4(x3)于是，收费额关于路程的函数解析式为y即y反思与感悟(1)分段函数的定义：例2、例3中的函数具有共同特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数(2)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的解析式；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出跟踪训练4某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程s(km)表示为时间t(h)(从A地出发是开始)的函数，再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数解从A地到B地所需时间为2.5(h)，从B地到A地所需时间为3(h)，所以，当0t2.5时，s60t；当2.5t3.5时，s150；当3.50时，f()24，得2.4或2.2如果二次函数f(x)(xa)2b的图象关于直线x1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为_答案f(x)(x1)21解析由二次函数f(x)(xa)2b的图象关于直线x1对称，得解析式为y(x1)2b；又图象过点(0,0)，则0(01)2b，所以b1，所以解析式为f(x)(x1)21.3已知f(x)2x3，g(x2)f(x)，则g(x)_.答案2x1解析由已知得：g(x2)2x3，令tx2，则xt2，代入g(x2)2x3，则有g(t)2(t2)32t1.所以g(x)2x1.4已知f(x)是一次函数，且ff(x)4x1，求f(x)的解析式解设f(x)kxb(k0)，则ff(x)f(kxb)k(kxb)bk2xkbb4x1，则有或或f(x)2x或f(x)2x1.呈重点、现规律1求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)2求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据题目特点选用不同的方法求解3分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集一、基础过关1一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为_答案y(x0)解析由y100，得2xy100.y(x0)2函数f(x)则f()的值为_答案解析x1，f(3)32333，1，f()f()1()2.3已知f(x)则f(3)_.答案2解析36，f(3)f(32)f(5)f(52)f(7)752.4已知x0时，函数f(x)满足f(x)x2，则f(x)的表达式为_答案f(x)x22(x0)解析f(x)x2(x)22，f(x)x22(x0)5如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则fff(2)_.答案2解析由题意可知f(2)0，f(0)4，f(4)2.因此，有fff(2)ff(0)f(4)2.6若g(x1)2x2，g(x)4，则x的值为_答案4解析令x1t，则xt1，g(t)2(t1)22t4，g(x)2x4，令2x44，则x4.7(1)已知f(1)x2，求f(x)的解析式(2)已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)的解析式解(1)f(1)x2(1)21，且11, f(x)x21(x1)(2)2f(x)f()3x，把中的x换成，得2f()f(x).2得3f(x)6x，f(x)2x(x0)二、能力提升8如果f()，则当x0,1时，f(x)_.答案解析令t，则x，代入f()，则有f(t).9已知函数y使函数值为5的x的值是_答案2解析若x215，则x24，又x0，x2，若2x5，则x，与x0矛盾，故答案为2.10已知函数yf(x)满足f(x)2f()x，则f(x)的解析式为_答案f(x)(x0)解析f(x)2f()x，将x换成，得f()2f(x).由消去f()，得f(x)，即f(x)(x0)11已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式解设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.12.如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示APB的面积，求函数yf(x)的解析式解当点P在BC上运动，即0x4时，y4x2x；当点P在CD上运动，即4x8时，y448；当点P在DA上运动，即8x12时，y4(12x)242x.综上可知，f(x)三、探究与拓展13提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城