高考数学一轮复习 第十四章 点、线、面之间的位置关系 14.2 平行的判定与性质课件.ppt

高考数学 江苏省专用 14 2平行的判定与性质 1 2015江苏 16 14分 0 876 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 已知ac bc bc cc1 设ab1的中点为d b1c bc1 e 求证 1 de 平面aa1c1c 2 bc1 ab1 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 证明 1 由题意知 e为b1c的中点 又d为ab1的中点 因此de ac 又因为de 平面aa1c1c ac 平面aa1c1c 所以de 平面aa1c1c 2 因为棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 因为ac 平面abc 所以ac cc1 又因为ac bc cc1 平面bcc1b1 bc 平面bcc1b1 bc cc1 c 所以ac 平面bcc1b1 又因为bc1 平面bcc1b1 所以bc1 ac 因为bc cc1 所以矩形bcc1b1是正方形 因此bc1 b1c 因为ac b1c 平面b1ac ac b1c c 所以bc1 平面b1ac 又因为ab1 平面b1ac 所以bc1 ab1 2 2013江苏 16 14分 0 771 如图 在三棱锥s abc中 平面sab 平面sbc ab bc as ab 过a作af sb 垂足为f 点e g分别是棱sa sc的中点 求证 1 平面efg 平面abc 2 bc sa 证明 1 因为as ab af sb 垂足为f 所以f是sb的中点 又因为e是sa的中点 所以ef ab 因为ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 同理eg 平面abc 又ef eg e 所以平面efg 平面abc 2 因为平面sab 平面sbc 且交线为sb 又af 平面sab af sb 所以af 平面sbc 因为bc 平面sbc 所以af bc 又因为ab bc af ab a af ab 平面sab 所以bc 平面sab 因为sa 平面sab 所以bc sa 考点一线面平行的判定与性质1 2016课标全国 理 14 5分 是两个平面 m n是两条直线 有下列四个命题 如果m n m n 那么 如果m n 那么m n 如果 m 那么m 如果m n 那么m与 所成的角和n与 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编号 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析由m n m 可得n 或n在 内 当n 时 与 可能相交 也可能平行 故 错 易知 都正确 2 2014辽宁改编 4 5分 已知m n表示两条不同直线 表示平面 下列说法正确的是 若m n 则m n 若m n 则m n 若m m n 则n 若m m n 则n 答案 解析 中m n也可以相交或异面 中也可以n 中可以n 或n与 斜交或n 根据线面垂直的性质可知 正确 3 2015安徽改编 5 5分 已知m n是两条不同直线 是两个不同平面 则下列命题正确的是 1 若 垂直于同一平面 则 与 平行 2 若m n平行于同一平面 则m与n平行 3 若 则在 内与 平行的直线 4 若m n 则m与n垂直于同一平面 答案 4 解析若 垂直于同一个平面 则 可以都过 的同一条垂线 即 可以相交 故 1 错 若m n平行于同一个平面 则m与n可能平行 也可能相交 还可能异面 故 2 错 若 不平行 则 相交 设 l 在 内存在直线a 使a l 则a 故 3 错 从原命题的逆否命题进行判断 若m与n垂直于同一个平面 由线面垂直的性质定理知m n 故 4 正确 4 2017北京文 18 14分 如图 在三棱锥p abc中 pa ab pa bc ab bc pa ab bc 2 d为线段ac的中点 e为线段pc上一点 1 求证 pa bd 2 求证 平面bde 平面pac 3 当pa 平面bde时 求三棱锥e bcd的体积 解析本题考查线面垂直的判定和性质 面面垂直的判定及线面平行的性质 三棱锥的体积 考查空间想象能力 1 因为pa ab pa bc 所以pa 平面abc 又因为bd 平面abc 所以pa bd 2 因为ab bc d为ac中点 所以bd ac 由 1 知 pa bd 所以bd 平面pac 所以平面bde 平面pac 3 因为pa 平面bde 平面pac 平面bde de 所以pa de 因为d为ac的中点 所以de pa 1 bd dc 由 1 知 pa 平面abc 所以de 平面abc 所以三棱锥e bcd的体积v bd dc de 直击高考立体几何是高考的必考题型 对立体几何的考查主要有两个方面 一是空间位置关系的证明 二是体积或表面积的求解 5 2016课标全国 19 12分 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m为线段ad上一点 am 2md n为pc的中点 1 证明mn 平面pab 2 求四面体nbcm的体积 解析 1 证明 由已知得am ad 2 取bp的中点t 连接at tn 由n为pc中点知tn bc tn bc 2 3分 又ad bc 故tnam 故四边形amnt为平行四边形 于是mn at 因为at 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 6分 2 因为pa 平面abcd n为pc的中点 所以n到平面abcd的距离为pa 9分 取bc的中点e 连接ae 由ab ac 3得ae bc ae 由am bc得m到bc的距离为 故s bcm 4 2 所以四面体n bcm的体积vn bcm s bcm 12分 评析本题考查了线面平行的位置关系 考查了三棱锥的体积 考查了空间想象能力 线段的中点问题一般应用三角形的中位线求解 6 2014北京 17 14分 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直于底面 ab bc aa1 ac 2 bc 1 e f分别是a1c1 bc的中点 1 求证 平面abe 平面b1bcc1 2 求证 c1f 平面abe 3 求三棱锥e abc的体积 解析 1 证明 在三棱柱abc a1b1c1中 bb1 底面abc 所以bb1 ab 又因为ab bc 所以ab 平面b1bcc1 所以平面abe 平面b1bcc1 2 证明 取ab中点g 连接eg fg 因为g e f分别是ab a1c1 bc的中点 所以ec1 a1c1 fg ac 且fg ac 因为ac a1c1 且ac a1c1 所以fg ec1 且fg ec1 所以四边形fgec1为平行四边形 所以c1f eg 又因为eg 平面abe c1f 平面abe 所以c1f 平面abe 3 因为aa1 ac 2 bc 1 ab bc 所以ab 所以三棱锥e abc的体积v s abc aa1 1 2 评析本题考查直线与平面 平面与平面的位置关系及其判定定理与性质定理的应用 考查空间几何体的体积的计算 考查考生的空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 判定线面平行的关键是构造线线平行或面面平行 7 2014安徽 19 13分 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为8的正方形 四条侧棱长均为2 点g e f h分别是棱pb ab cd pc上共面的四点 平面gefh 平面abcd bc 平面gefh 1 证明 gh ef 2 若eb 2 求四边形gefh的面积 解析 1 证明 因为bc 平面gefh bc 平面pbc 且平面pbc 平面gefh gh 所以gh bc 同理可证ef bc 因此gh ef 2 连接ac bd交于点o bd交ef于点k 连接op gk 因为pa pc o是ac的中点 所以po ac 同理可得po bd 又bd ac o 且ac bd都在底面内 所以po 底面abcd 又因为平面gefh 平面abcd 且po 平面gefh 所以po 平面gefh 因为平面pbd 平面gefh gk 所以po gk 所以gk 底面abcd 从而gk ef 所以gk是梯形gefh的高 由ab 8 eb 2得eb ab kb db 1 4 从而kb db ob 即k为ob的中点 再由po gk得gk po 且g是pb的中点 所以gh bc 4 由已知可得ob 4 po 6 所以gk 3 易得ef bc 8 故四边形gefh的面积s gk 3 18 评析本题考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 同时考查空间想象能力和逻辑推理能力 解题时要有较强的分析问题 解决问题的能力 8 2015广东 18 14分 如图 三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直 pd pc 4 ab 6 bc 3 1 证明 bc 平面pda 2 证明 bc pd 3 求点c到平面pda的距离 解析 1 证明 因为四边形abcd是长方形 所以ad bc 又因为ad 平面pda bc 平面pda 所以bc 平面pda 2 证明 取cd的中点 记为e 连接pe 因为pd pc 所以pe dc 又因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd dc pe 平面pdc 所以pe 平面abcd 又bc 平面abcd 所以pe bc 因为四边形abcd为长方形 所以bc dc 又因为pe dc e 所以bc 平面pdc 而pd 平面pdc 所以bc pd 3 连接ac 由 2 知 bc pd 又因为ad bc 所以ad pd 所以s pda ad pd 3 4 6 在rt pde中 pe s adc ad dc 3 6 9 由 2 知 pe 平面abcd 则pe为三棱锥p adc的高 设点c到平面pda的距离为d 由vc pda vp adc 即d s pda pe s adc 亦即 6d 9 得d 故点c到平面pda的距离为 评析本题考查了线面平行 线线垂直的判定以及体积和距离的计算方法 考查了空间想象能力和逻辑推理能力 利用平面与平面垂直的性质定理是求解的关键 9 2016山东 18 12分 在如图所示的几何体中 d是ac的中点 ef db 1 已知ab bc ae ec 求证 ac fb 2 已知g h分别是ec和fb的中点 求证 gh 平面abc 证明 1 因为ef db 所以ef与db确定平面bdef 连接de 因为ae ec d为ac的中点 所以de ac 同理可得bd ac 又bd de d 所以ac 平面bdef 因为fb 平面bdef 所以ac fb 2 设fc的中点为i 连接gi hi 在 cef中 因为g是ce的中点 所以gi ef 又ef db 所以gi db 在 cfb中 因为h是fb的中点 所以hi bc 又hi gi i 所以平面ghi 平面abc 因为gh 平面ghi 所以gh 平面abc 评析本题主要考查线面垂直的判定与性质以及线面平行的判定与性质 考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力 同时考查转化与化归思想的应用 10 2015山东 18 12分 如图 三棱台def abc中 ab 2de g h分别为ac bc的中点 1 求证 bd 平面fgh 2 若cf bc ab bc 求证 平面bcd 平面egh 证明 1 证法一 连接dg cd 设cd gf m 连接mh 在三棱台def abc中 ab 2de g为ac的中点 可得df gc df gc 所以四边形dfcg为平行四边形 则m为cd的中点 又h为bc的中点 所以hm bd 又hm 平面fgh bd 平面fgh 所以bd 平面fgh 证法二 在三棱台def abc中 由bc 2ef h为bc的中点 可得bh ef bh ef 所以四边形hbef为平行四边形 可得be hf 在 abc中 g为ac的中点 h为bc的中点 所以gh ab 又gh hf h 所以平面fgh 平面abed 因为bd 平面abed 所以bd 平面fgh 2 连接he 因为g h分别为ac bc的中点 所以gh ab 由ab bc 得gh bc 又h为bc的中点 所以ef hc ef hc 因此四边形efch是平行四边形 所以cf he 又cf bc 所以he bc 又he gh 平面egh he gh h 所以bc 平面egh 又bc 平面bcd 所以平面bcd 平面egh 评析本题考查空间线面平行 面面垂直的判定等知识 考查推理论证能力及空间想象能力 考点二面面平行的判定与性质 2013陕西 18 12分 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd是正方形 o是底面中心 a1o 底面abcd ab aa1 1 证明 平面a1bd 平面cd1b1 2 求三棱柱abd a1b1d1的体积 解析 1 证明 由题设知 bb1dd1 四边形bb1d1d是平行四边形 bd b1d1 又bd 平面cd1b1 bd 平面cd1b1 a1d1b1c1bc 四边形a1bcd1是平行四边形 a1b d1c 又a1b 平面cd1b1 a1b 平面cd1b1 又 bd a1b b 平面a1bd 平面cd1b1 2 a1o 平面abcd a1o是三棱柱abd a1b1d1的高 又 ao ac 1 aa1 a1o 1 又 s abd 1 s abd a1o 1 评析本题主要考查直线与平面 平面与平面平行的判定以及体积的计算等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 1 2013江西理改编 8 5分 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且ab cd 正方体的六个面所在的平面与直线ce ef相交的平面个数分别记为m n 那么m n c组教师专用题组 答案8 解析如图 显然ce 平面abpq ce 平面a1b1p1q1 而ce与正方体的其余四个面所在平面均相交 m 4 ef 平面bpp1b1 且ef 平面aqq1a1 ef与正方体的其余四个面所在平面均相交 n 4 故m n 8 2 2014四川 18 12分 在如图所示的多面体中 四边形abb1a1和acc1a1都为矩形 1 若ac bc 证明 直线bc 平面acc1a1 2 设d e分别是线段bc cc1的中点 在线段ab上是否存在一点m 使直线de 平面a1mc 请证明你的结论 解析 1 证明 因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形 所以aa1 ab aa1 ac 因为ab ac为平面abc内两条相交直线 所以aa1 平面abc 因为直线bc 平面abc 所以aa1 bc 又ac bc aa1 ac为平面acc1a1内两条相交直线 所以bc 平面acc1a1 2 取线段ab的中点m 连接a1m mc a1c ac1 设o为a1c ac1的交点 由已知可知o为ac1的中点 连接md oe 则md oe分别为 abc acc1的中位线 所以md ac md ac oe ac oe ac 因此mdoe 连接om 从而四边形mdeo为平行四边形 则de mo 因为直线de 平面a1mc mo 平面a1mc 所以直线de 平面a1mc 即线段ab上存在一点m 线段ab的中点 使直线de 平面a1mc 评析本题主要考查空间线面平行和垂直的判定与性质等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 3 2014山东 18 12分 如图 四棱锥p abcd中 ap 平面pcd ad bc ab bc ad e f分别为线段ad pc的中点 1 求证 ap 平面bef 2 求证 be 平面pac 证明 1 设ac be o 连接of ec 由于e为ad的中点 ab bc ad ad bc 所以ae bc ae ab bc 因此四边形abce为菱形 所以o为ac的中点 又f为pc的中点 因此在 pac中 可得ap of 又of 平面bef ap 平面bef 所以ap 平面bef 2 由题意知ed bc ed bc 所以四边形bcde为平行四边形 因此be cd 又ap 平面pcd 所以ap cd 因此ap be 因为四边形abce为菱形 所以be ac 又ap ac a ap ac 平面pac 所以be 平面pac 一 填空题 每题5分 共15分 1 2016江苏扬州中学综合练习 8 设 为互不重合的平面 m n是互不重合的直线 给出下列四个命题 若m n n 则m 若m n m n 则 若 m n 则m n 若 m n n m 则n 其中正确命题的序号为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 60分钟分值 70分 答案 解析 也有可能m 故 不正确 与 也有可能相交 故 不正确 直线m与直线n也有可能异面 故 不正确 由面面垂直的性质知正确 2 2016江苏镇江一模 7 设b c表示两条直线 表示两个平面 现给出下列命题 若b c 则b c 若b b c 则c 若c 则c 若c c 则 其中正确的命题是 写出所有正确命题的序号 答案 解析 b和c可能异面 故 错 可能c 故 错 有可能c 或c 故 错 根据面面垂直的判定知 故 正确 3 2015南京 盐城二模 7 已知 表示不同的平面 m n表示不同的直线 给出下列命题 若m n m n 则 若 m n 则m n 若m n m n 则 若 m n 则m n 其中是真命题的是 填写所有真命题的序号 答案 解析 与 可能平行 也可能相交 所以该命题为假命题 m与n可能相交 异面或平行 所以该命题为假命题 显然正确 二 解答题 共55分 4 2017南京 盐城二模 16 如图 四棱锥p abcd中 ad 平面pab ap ab 1 求证 cd ap 2 若cd pd 求证 cd 平面pab 证明 1 因为ad 平面pab ap 平面pab 所以ad ap 又因为ap ab 且ab ad a ab 平面abcd ad 平面abcd 所以ap 平面abcd 因为cd 平面abcd 所以cd ap 2 因为cd ap cd pd 且pd ap p pd 平面pad ap 平面pad 所以cd 平面pad 因为ad 平面pab ab 平面pab 所以ab ad 又因为ap ab 且ap ad a ap 平面pad ad 平面pad 所以ab 平面pad 由 得cd ab 因为cd 平面pab ab 平面pab 所以cd 平面pab 5 2017江苏南京三模 如图 在三棱锥a bcd中 e f分别为棱bc cd上的点 且bd 平面aef 1 求证 ef 平面abd 2 若bd cd ae 平面bcd 求证 平面aef 平面acd 证明 1 因为bd 平面aef 且bd 平面bcd 平面aef 平面bcd ef 所以bd ef 因为bd 平面abd ef 平面abd 所以ef 平面abd 2 因为ae 平面bcd cd 平面bcd 所以ae cd 因为bd cd bd ef 所以cd ef 又ae ef e ae 平面aef ef 平面aef 所以cd 平面aef 又cd 平面acd 所以平面aef 平面acd 6 2016江苏苏北四市一模 16 如图 在四棱锥p abcd中 已知底面abcd为矩形 pa 平面pdc 点e为棱pd的中点 求证 1 pb 平面eac 2 平面pad 平面abcd 证明 1 连接bd与ac相交于点o 连接oe 因为四边形abcd为矩形 所以o为bd的中点 因为e为棱pd的中点 所以pb oe 因为pb 平面eac oe 平面eac 所以直线pb 平面eac 2 因为pa 平面pdc cd 平面pdc 所以pa cd 因为四边形abcd为矩形 所以ad cd 因为pa ad a pa ad 平面pad 所以cd 平面pad 因为cd 平面abcd 所以平面pad 平面abcd 7 2016江苏南京 盐城一模 16 如图 已知直三棱柱abc a1b1c1的侧面acc1a1是正方形 点o是侧面acc1a1的中心 acb m是棱bc的中点 1 求证 om 平面abb1a1 2 求证 平面abc1 平面a1bc 证明 1 在 a1bc中 易知o是a1c的中点 又m是bc的中点 所以om a1b 又om 平面abb1a1 a1b 平面abb1a1 所以om 平面abb1a1 2 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 底面abc 所以cc1 bc 又 acb 所以bc ac 因为cc1 ac 平面acc1a1 且cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 而ac1 平面acc1a1 所以bc ac1 又四边形acc1a1是正方形 所以a1c ac1 而bc a1c 平面a1bc 且bc a1c c 所以ac1 平面a1bc 又ac1 平面abc1 所以平面abc1 平面a1bc 8 2015江苏南通二模 15 如图 在四面体abcd中 平面bad 平面acd bad 90 m n q分别为棱ad bd ac的中点 1 求证 cd 平面mnq 2 求证 平面mnq 平面cad 证明 1 因为m q分别为棱ad ac的中点 所以mq cd 又cd 平面mnq mq 平面mnq 故cd 平面mnq 2 因为m n分别为棱ad bd的中点 所以mn ab 又 bad 90 故mn ad 又因为平面bad 平面cad 平面bad 平面cad ad 且mn 平面abd 所以mn 平面acd 又mn 平面mnq 所以平面mnq 平面cad 解答题 共60分 1 2017江苏淮阴中学第一学期期末 如图 在几何体abcde中 四边形abcd是正方形 正三角形bce的边长为2 de 2 f为线段cd的中点 g为线段ae的中点 1 求证 gf 平面bce 2 求证 平面abcd 平面bce b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 50分钟分值 60分 证明 1 取be的中点h 连接gh 所以gh为 abe的中位线 所以gh ab 且gh ab 易知cf ab 且cf ab 所以hgcf 所以四边形ghcf为平行四边形 所以gf hc 因为hc 平面bce gf 平面bce 所以gf 平面bce 2 由题意知dc ec 2 ed 2 所以dc2 ec2 ed2 所以dc ec 又因为四边形abcd是正方形 所以dc bc 又ec bc 平面bce ec bc c 所以dc 平面bce 又因为dc 平面abcd 所以平面abcd 平面bce 思路分析 1 构造平行四边形 利用线面平行的判定定理进行证明 2 利用勾股定理及正方形的性质证明线线垂直 进而得线面垂直 最后证明面面垂直 2 2017苏锡常镇四市教学情况调研 二 16 如图 在四面体abcd中 平面abc 平面acd e f g分别为ab ad ac的中点 ac bc acd 90 1 求证 ab 平面edc 2 若p为fg上任意一点 证明 ep 平面bcd 证明 1 因为平面abc 平面acd acd 90 即cd ac 又平面abc 平面acd ac cd 平面acd 所以cd 平面abc 又ab 平面abc 所以cd ab 因为ac bc e为ab的中点 所以ce ab 又ce cd c cd 平面edc ce 平面edc 所以ab 平面edc 2 连ef eg ep 因为e f分别为ab ad的中点 所以ef bd 又bd 平面bcd ef 平面bcd 所以ef 平面bcd 同理可证eg 平面bcd 又ef eg e ef 平面efg eg 平面efg 所以平面efg 平面bcd 又p为fg上任一点 且ep 平面efg 所以ep 平面bcd 思路分析 1 利用面面垂直的性质定理可以证明线面平行 2 p为线段fg上任意一点 结合面面