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拉普拉斯反变换 部分分式展开法 小组成员 1 一 部分分式展开法 象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比 即s的一个有理分式 式中m和n为正整数 且n m 2 分解定理 把F s 分解成若干简单项之和 而这些简单项可以在拉氏变换表中找到 这种方法称为部分分式展开法 或称为分解定理 用部分分式展开有理分式F s 时 需要把有理分式化为真分式 若n m 则 3 若n m 则为真分式 真分式用部分分式展开 需要对分母多项式作因式分解 求出D s 0的根 D s 0的根可以是单根共轭复根重根三种情况 4 二 D s 0具有单根的情况 如果D s 0有n个单根 设n个单根分别是p1 p2 pn 于是F s 可以展开为 将上式两边都乘以 s p1 得 令s p1 得 K1 s p1 F s s p1 5 确定待定系数的公式为 Ki s pi F s s pi 同理可求得K2 K3 Kn 6 例 求F s 的原函数 解 D s 0的根为 p1 0 p2 2 p3 5 0 1 0 5 7 0 6 K1 0 1 K3 0 6 K2 0 5 综上可知 0 6e 5t f t 0 1 0 5e 2t 8 三 D s 0的具有共轭复根的情况 p1 a j p2 a j K1 s a j F s s a j K2 s a j F s s a j 9 例 求F s 的原函数 解 D s 0的根为 p1 1 j2 p2 1 j2 0 5 j0 5 先变形s2 2s 5 0s2 2s 1 4 0 s 1 2 4 0 10 p1 1 j2 p2 1 j2 0 5 j0 5 欧拉公式 11 四 D s 0具有重根的情况 D s 应含 s p1 n的因式 现设D s 中含有 s p1 3的因式 p1为D s 0的三重根 其余为单根 F s 可分解为 12 K11 s p1 3F s s p1 上式两边都乘以 s p1 3 则K11被单独分离出来 1 K11的求法 13 上式两边对s求导 则K12被分离出来 2 K12的求法 14 3 K13的求法 用同样的方法可得 f t 15 4 D s 0具有q阶重根 其余为单根的分解式 式中 K11 s p1 qF s s p1 16 例 求F s 的原函数 解 D s 0的根为 p1 1为三重根 p2 0为二重根 首先以 s 1 3乘以F s 得 K11 s p1 3F
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