第三十二章命题与证明.doc

第三十二章命题与证明（二） 一、教学目标1经历证明等腰三角形、平行四边形、等腰梯形的性质定理和判定定理以及三角形中位线定理的过程2进一步体会证明的意义，掌握用综合法证明的基本方式，能够证明等腰三角形、平行四边形（矩形、菱形、正方形）、等腰梯形的性质定理和判定定理以及三角形中位线定理3通过实例体会反证法的含义4进一步发展演绎推理能力，能够清晰地、有条理地表达自己的观点并理解他人的见解，感受公理化思想5通过探索证明的不同思路和解决一些实际问题，激发对证明的兴趣和掌握用综合法证明的信心二、教学内容1本章的内容及其地位和作用本章的主要内容有：等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明，平行四边形、矩形、菱形，正方形的性质定理和判定定理及其证明，等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明，三角形中位线定理及其证明，反证法本章是在第二十四章证明（一）的基础上，对三角形、等腰三角形、平行四边形（矩形、菱形、正方形）、等腰梯形通过合情推理获得的结论，以定理的形式给出，并进行证明这是证明（一）的继续和发展，也是前面探索活动的自然延续和必然发展它对于进一步发展学生的推理能力，特别是演绎推理能力，培养学生独立思考和质疑的良好习惯、有条理地表达自己的观点有着重要作用2本章内容在设计上突出了以下特点（1）定理证明的呈现不是直接进行证明，而是给出定理后，以“一起探究”“大家谈谈”的方式让学生进行操作、探究，再进行合作交流，从而形成证明的思路这样有利于学生对定理和证明的理解（2）证明的定理都是前面探索得到的结论，学生已经有所了解，因此，教科书的重点放在探索定理的证明思路上探索定理的证明思路后，过程的表述一般不是直接给出，而是先由学生尝试写出，然后再进行交流这样有利于学生清晰而有条理地表达自己的观点，理解并接受他人的观点（3）在探索定理的证明思路时，注意引导学生探索证明的不同思路，并进行适当地比较和讨论，以便学生形成明确的证明思路，开阔视野，发展初步的演绎推理能力三、教学活动1注意探索证明思路定理的证明思路，应以自主探究、合作交流、教师点拨引导的方式进行探索，探索的角度应根据具体问题，既可以从结论的获得过程入手探索，把要证明的问题转化为已证明问题；也可以从结论出发寻求结论成立的条件，直到找到结论成立的条件是已知条件、定义、公理或已证明的定理为止（即分析法）；还可以从已知条件一步步推理，得出结论在探索证明思路的过程中，要留出充足的时间和空间，放手让学生去主动探究，教师不要直接给出证明过程或证明思路，不能以讲解代替学生的活动2由学生尝试完成定理的证明过程定理的证明过程是用综合法证明的过程，是培养学生清晰地、有条理地表达自己的观点的过程，因此，要让学生亲身经历思路的整理过程、语言的组织过程和解决问题的表达过程，在这样的过程中去体会演绎推理的价值和趣味，从而理解和掌握用综合法证明3注意转化思想的运用在本章的内容中，有些命题的证明是通过把复杂问题转化为简单问题、新问题转化为已证明问题来实现的，如证明线段或角的相等转化为证明两个三角形全等或等腰三角形在教学中应对转化思想予以足够的重视，要有意识地进行渗透、总结和提炼，使转化思想逐渐成为解决问题的一种自觉意识4把握证明的要求以演绎推理为主要形式的定理证明，要求用4条基本事实（6条公理）证明40条左右的结论，会证明与定理难度相当的命题，不追求证明命题的数量、证明的技巧和证明的难度因此，证明的难度应严格控制在教学要求之内，不要拔高四、课时安排32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 2课时32.2平行四边形的性质定理和判定定理及其证明 3课时32.3矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 2课时32.4等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明 l课时回顾与反思 1课时合计 9课时五、评价1知识与技能的评价应关注学生能否证明这些定理，是否理解了证明的过程，能否表达证明的过程不要过分关注证明命属的数量和证明的技巧2数学思考的评价应关注学生能否根据已知条件进行步步有据地推理，得出结论；能否把自己的推理过程有条理地，清晰地表达出来，能否正确地理解并接受他人的观点；能否从不同角度探索证明的思路不要关注难度较大的证明和烦琐冗长的证明应关注学生能否根据已知条件寻求证明的思路，从而解决问题；能否积极尝试从不同角度去思考和解决问题；在遇到困难时，能否与他人合作交流，并从中受益等3情感与态度的评价应关注学生面对一个命题，能否以积极的态度寻求证明思路，能否从探索的活动中获得良好的体验，是否形成了实事求是的态度以及进行质疑的习惯32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 教材说明本节的重点是探索定理的证明思路，定理证明不是直接进行证明，而是给出定理后，让学生一起探究，主动参与探索，然后进行合作交流，从而形成证明的思路。并且引导学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，使学生形成明确的证明思路，开阔视野，发展初步的演绎推理能力。其中第二课时的引课通过设疑，引起悬念，激发学生的求知欲望，创设教学情境，提高学生的学习兴趣，既体现数学的实用性，又很自然地引入本节课题重点：等腰三角形的有关性质定理和判定定理。难点：能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。教学目标知识与技能：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力；体会在证明过程中所动用的归纳等思想方法。情感态度价值观：通过观察、讨论、交流，培养探索精神，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，体会到知识的产生来源于生活。32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 教学建议第一课时：本节课是用综合法证明等腰三角形的性质定理及其两个推论（等腰三角形的三线合一、等边三角形的性质），性质定理证明中添加辅助线是个难点，因此，教学活动建议如下：1回顾等腰三角形的性质，给出定理，由学生写出已知、求证。2引导学生回忆“等腰三角形的两个底角相等（即B=C）”这一结论的探索过程，必要时，可以再操作一次剪等腰三角形的过程；再按照“一起探究”中问题的引导，画出对称轴，找到全等的两个三角形，从而形成证明的思路。在说明被对称轴分成的两个三角形全等的理由时，合情推理只是提供了事实（结论）和思路，而演绎推理才能够严格地说明（或证明）结论的正确性，所以不能以“重合”的现象为理由，应看符合哪条三角形全等的公理，这就要看学生是怎样画出的对称轴，或者说学生作的对称轴是三角形的哪条线段，这样辅助线也就很自然地作出了。说明两个三角形全等后，还要检验一下B=C是不是全等三角形的对应角。3在大家谈谈的活动中，首先应评价小亮的证明过程，在评价交流中肯定自己的证明或接纳他人的意见。其次，对“作角平分线AD”和“作中线AD”等证明方法应予以肯定和鼓励。第三，对于“你还能推出AD是ABC底边上的中线和顶角平分线吗”，可以提出“由RtABDRtACD，你还能得到哪些角相等或边相等”“线段AD有哪些特征”等问题，经思考获得结论，以避免受不同证法的干扰，影响对“推论”的理解。4对于“做一做”的活动，应强调证明的前提是“等腰三角形的两个底角相等（等角对等边）”，以感受演绎体系，理解推论的意义。5例题应让学生尝试完成，合作交流后再规范证明的过程。第二课时：本节课有两个内容：一是证明等腰三角形的判定定理及它的两个推论，二是证明直角三角形的一个性质定理。为此教学活动建议如下：1给出定理后，由学生尝试完成定理的证明并进行交流。对寻求到其他证明方法的应予以鼓励。2“大家谈谈”的活动，是由演绎推理得出推论的过程，首先应强调推理的根据是定义、公理和已证明的定理，即“等角对等边”可以作为推理的根据。其次，应用演绎推理的基本方式来说明，即每一步推理都要有根据，不要简单处理，一带而过。3“观察与思考”的活动，虽是对已学内容的回顾，但它不光是观察发现结论的过程，更重要的是探索证明思路的过程，应让学生亲自观察并获得体验。4对于“一起探究”的活动，应引导学生把这个问题转化为前面的问题，可以按照教科书中问题的引导来探索证明的思路，也可以提出“我们前边是怎样发现BD与AB的数量关系的，能否把这个图形转化为前面的图形”，要求学生试一试，以引导学生探索。证明结束后，可以对证明的思路进行小结，从中提炼这种解决问题的策略转化的思想方法。32.1等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明 教学设计教学设计思想本节的重点是探索定理的证明思路，定理证明不是直接进行证明，而是给出定理后，让学生一起探究，主动参与探索，然后进行合作交流，从而形成证明的思路。并且引导学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，使学生形成明确的证明思路，开阔视野，发展初步的演绎推理能力。其中第二课时的引课通过设疑，引起悬念，激发学生的求知欲望，创设教学情境，提高学生的学习兴趣，既体现数学的实用性，又很自然地引入本节课题教学目标知识与技能：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力；体会在证明过程中所动用的归纳等思想方法。情感态度价值观：通过观察、讨论、交流，培养探索精神，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，体会到知识的产生来源于生活。教学重难点重点：等腰三角形的有关性质定理和判定定理。难点：能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。教学方法观察法教学媒体多媒体，剪刀，纸片，三角尺课时安排2课时教学过程设计第一课时一、复习1什么是等腰三角形？2你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来。3试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？（等腰三角形的部分性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。）二、一起探究定理：等腰三角形的两个底角相等。这一定理可以简单叙述为：等边对等角。小组讨论：如何证明该定理呢，你有怎样的思路？同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法已知：如图，在ABC中，ABAC。求证：BC证明：取BC的中点D，连接AD。在RtABC和RtACD中，ABAC，ADAD，ABCACD （HL）B=C (全等三角形的对应边角相等)师：他的证明方法正确吗？你还有不同的证明方法吗？三、想一想在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。推论1 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。四、做一做提出问题：等边三角形有哪些美妙的性质呢？推论2 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。请同学们自己证明这个推论。例 已知：如图，在ABC中，AB=AC，D，E是BC边上的两点，且BD=CE。求证：AD=AE学生活动：独自完成然后合作交流，老师规范每种证法的证明过程。证明：AB=ACB=C在ABD和ACE中，AB=AC，B=C，BD=CEABDACEAD=AE五、练习证明：等腰三角形两腰上的中线相等。六、小结等腰三角形的性质等边三角形的性质通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理。七、板书设计等腰三角形的性质定理及证明定理 推论1 推论2 例题 练习证明： 证明：第二课时一、情景引入某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点插一小旗作标志)沿南偏东60方向走一段距离到C处时，测得ACB为30，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定定理及证明”。二、做一做探索：由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容在ABC中，若B=C，则AB= AC吗？师生共同操作：作一个两个角相等的三角形(教师在黑板上做，学生在一张白纸上做)，然后观察两等角所对的边有什么关系？定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）学生思考证明思路，由学生说出一种证法(教师扳书)，教师进一步鼓励学生讨论证明此题的其他方法，形成对定理的深刻印象(教师对学生的回答给予评价)引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据。三、大家谈谈探索问题在ABC中，A=B=C，ABC是等边三角形吗？为什么？一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的思路吗？（把你的思路与同伴进行交流。）推论1 三个角相等的三角形是等边三角形推论2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形三、一起探究做一做：用两个含30角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）学生在拼摆的基础上继续探索，得出结论。并在探索的过程中得到证明的思路。证明：在ABC中，ACB=90，A=30，则B=60延长BC至D，使CD=BC，连接 AD在ABC和ADC中BC =DC，ACB=ACD=90，AC=ACABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的对应边相等)ABD是等边三角形 BC=BD=AB得到的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。四、练习课本P136 练习1，2五、小结通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）六、作业课本P137 习题1，2，3，4七、板书设计等腰三角形的判定定理及证明推论1 定理 练习推论2 证明：证明：32.2平行四边形的性质定理和判定定理及其证明 教材说明这节包括平行四边形性质定理的证明、判定定理的证明、三角形中位线定理的证明三个课时。在教学时要注重探索证明思路，以自主探究、合作交流、教师点拨引导的方式进行探索。在探索证明思路的过程中，要留出充足的时间和空间，放手让学生主动探究，老师不要直接给出证明过程或证明思路，不能以讲解代替学生的活动。有些定理证明方法很多，关键在于如何添加辅助线，可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。重点：探索平行四边形、三角形中位线相关定理的证明。难点：平行四边形、三角形中位线定理的证明及应用。教学目标知识与技能：1能够运用综合法证明平行四边形的性质定理、判定定理及相关结论；2能够证明三角形中位线定理及相关命题；过程与方法：1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力；2体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。情感态度价值观：通过讨论与交流，观察与探索，培养合作意识和探索精神，体会知识的产生来源于生活实际，激起学习欲望。32.2平行四边形的性质定理和判定定理及其证明 教学建议第一课时：本节课是证明平行四边形的三个性质，需从复杂图形中分解出全等三角形并进行证明，因此教学活动建议如下：1引导学生回顾平行四边形的性质及其探索过程，启发证明思路。2对于“一起探究”的活动，可以引导学生自己发现全等的三角形，再找出推理的根据；也可以按照探究的问题1给出的全等三角形进行证明。寻找证明的理由时，可以这样思考：要证明ABD和CDB全等，有一条公共边BD，令两边是要证明的，所以只能再找出两对角相等，而由平行四边形的定义“两组对边分别平行”便可以得到。在寻找AOB和COD全等的根据时，可以这样考虑：三内角对应相等，还需一对边相等，而AB=CD是已经证明的。在探究活动中，学生可能发现ADC和CBA全等、AOD和COB全等并能说出推理的根据，对此也应予以肯定和鼓励。3对于例题的教学，可由学生尝试证明，然后再对证明过程进行规范。根据教学的实际，还可对例题结论进行概括，以增进学生对平行四边形性质的理解，即过平行四边形对角线交点（或对称中心）的直线把原来相对的三角形分成了四个三角形，其中，相对的两个三角形全等。第二课时：本节课重点是证明平行四边形的三个判定定理，关键是添加辅助线构造全等三角形。1证明平行四边形判定定理的思路探索，不再是以原来探索的过程为线索，而是采用“分析法”证明的思路，既有要证明的结论出发，一步步寻求结论成立的条件，直到这个条件是题设为止。这也就是常说的“执果索引”，在分析证明时常常使用这种方法。2按照“一起探究”中的问题引导，以自主探究、合作交流的学习方式探索证明的思路。要使学生认识到，判定一个四边形是平行四边形的根据只有平行四边形的定义，而已知ABCD，只要证明ADBC就可以了。根据判定两直线平行的公理，需要证明AD与BC的同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，图中虽有同旁内角，但无法证明同忙内角互补，因而只需构造同位角或内错角，而同位角也无法证明相等，所以只有构造内错角。因此，连接AC或BD，辅助线就自然而然地形成了。3“做一做”的活动也可以设计成一系列的问题，让学生在“问题”的引导下探索证明思路，再进行证明。如问题1可设计为：满足什么条件的四边形是平行四边形（两组对边分别平行或一组对边平行且相等的四边形）？已具备哪些条件？还需要证出哪些结论（ABCD或ADBC）？怎样证明两条直线平行（同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补）？如果选择同位角相等，可提出“图中有没有同位角”“怎样才能构造同位角”，如果选择同旁内角互补来证明，可提出“怎样证明这两个角互补”。4例2的证法较多，可以放手让学生去探索，再进行交流，以培养学生证明的兴趣，使学生树立用综合法证明的信心。第三课时：本节课是证明三角形中位线的性质定理。对学生来说，一个定理有两个结论的证明，有一定难度，为此教学活动如下：1“试着做做”（1），可通过回顾第二十章探索的结论或动手量一量得出。“试着做做”（2）的探索三角形中位线定理的证明思路可以从以下三个角度引导探索：（1）从原来探索三角形中位线性质的角度来考虑，回顾第二十四章探索三角形中位线性质的过程，从中受到启发，作ADE的全等三角形ECF。根据三角形的判定公理，延长DE到F，使EF=DE；过点C作CFAB，交DE延长线与点F。（2）从DEBC的角度来考虑。证明同位角相等（或内错角相等、同旁内角互补）没有思路，能否构造以BC，DE（或其所在线段）为对边的平行四边形，作法同（1）。（3）从DE=BC的角度。要证明一条线段等于另一条线段的两倍，可以把较短的线段延长为原来的两倍，再证明这条线段和较长线段相等，作法同（1）。2例3应先让学生探索证明的思路，再进行合作交流，并写出证明过程。鼓励学生从不同角度证明这个命题。32.2平行四边形的性质定理和判定定理及其证明 教学设计教学设计思想这节包括平行四边形性质定理的证明、判定定理的证明、三角形中位线定理的证明三个课时。在教学时要注重探索证明思路，以自主探究、合作交流、教师点拨引导的方式进行探索。在探索证明思路的过程中，要留出充足的时间和空间，放手让学生主动探究，老师不要直接给出证明过程或证明思路，不能以讲解代替学生的活动。有些定理证明方法很多，关键在于如何添加辅助线，可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力。教学目标知识与技能：1能够运用综合法证明平行四边形的性质定理、判定定理及相关结论；2能够证明三角形中位线定理及相关命题；过程与方法：1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力；2体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。情感态度价值观：通过讨论与交流，观察与探索，培养合作意识和探索精神，体会知识的产生来源于生活实际，激起学习欲望。教学重难点重点：探索平行四边形、三角形中位线相关定理的证明难点：平行四边形、三角形中位线定理的证明及应用教学方法探索归纳法教学媒体多媒体课时安排3课时教学过程设计第一课时一、复习1什么是平行四边形？请你画出平行四边形2平行四边形有哪些性质？平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。定理1平行四边形的对边相等定理2平行四边形的对角相等。定理3 平行四边形的对角线互相平分你能证明平行四边形的这些性质吗？二、一起探究探究1：如何证明定理1，定理2小组讨论，共同探究平行四边形性质的证明方法。在ABD和CDB中，ABCD，ADBC1=2，3=4又BD=DBABDCDBAB=CD，AD=CB，BAD=DCB探究2：如何证明的三个性质？自主探究，然后相互交流不同的证法法1证明：OABOCD法2证明：OADOCB三、做一做例题 在中，O为对角线AC，BD的交点，直线EF过点O，交AD与点E，交BC与点F。求证：OE=OF，AE=CF，DE=BF证明：四边形ABCD是平行四边形AO=CO，AD=CBADCB1=2在AOE和COF中，1=2，AO=CO，AOE=COFAOECOFOE=OF，AE=CFDE=AD-AE=CB-CF=BF。四、练习已知：如图，在中，E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF求证：AE=CF五、小结总结平行四边形的性质，我们今天证明所用到的方法。板书设计平行四边形的性质定理证明定理1 定理3 例题 练习定理2 证明证明第二课时一、复习提问：我们一起回忆一下平行四边形的识别办法都有哪些？怎样证明这些命题呢？二、一起探究探究1 首先我们一起来证定理1：一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。请同学一起说出已知和求证。已知：在四边形ABCD中，ABCD。且AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形思考：1. 已知ABCD，根据平行四边形的定义，你认为再证处什么结论，就能确定四边形ABCD是平行四边形？（自主探索：ADBC）2根据平行四边形的判定定理由哪两个角相等就能保证ADBC？怎样构造两个全等三角形来达到目的呢？小组讨论，探索证明方法，老师规范步骤。证明：连结AC。ABCD1=2AB=CD，AC=CAABCCDA3=4ADBC四边形ABCD是平行四边形探究2 证明 定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形请同学写出已知、求证学生合作交流，共同探讨证明过程。探究3证明 定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形三、做一做例题 已知：在中，E，F是对角线BD上的点，且BE=DF求证：四边形AECF是平行四边形证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CD，ABCDABE=CDF又BE=DFABECDFAE=CF同理可证 AF=CE四边形AECF是平行四边形四、练习证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形五、小结同学们这节课的收获是什么？六、板书设计平行四边形的判定定理证明定理1 定理2 定理3 例题 练习证明 证明 证明 第三课时一、引入如图，在ABC中，点D，E分别为边AB和AC的中点。写出DE与BC的位置关系和数量关系。学生独自探索，回顾以前所学的三角形中位线定理，得出：DEBC，DE=BC下面我们来一起探究如何证明上述位置和数量关系。二、试着做做首先让学生一起说出已知求证。已知：DE是ABC的中位线求证：DEBC，DE=BC。小组讨论，说出证明方法然后教师总结如下图所示（l）延长DE到F，使，连结CF，由可得ADFC（2）延长DE到F，使，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得ADFC（3）过点C作，与DE延长线交于F，通过证可得ADFC上面通过三种不同方法得出ADFC，再由A、B、D共线得BDFC，所以四边形DBCF是平行四边形，DFBC，又因DE，所以DE.（证明过程略）三、大家谈谈三角形中位线定理是借助那些公理、定理得到证明的？学生进一步理顺证明思路，巩固定理证明。例3 课本P144 略四、练习课本P145五、小结三角形中位线定理及证明思路。六、板书设计三角形中位线的证明中位线定理 证明思路 例题证明： 其他方法32.3矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 教材说明本节矩形与菱形性质定理、判定定理的证明过程是用综合法证明的过程，是培养学生清晰地、有条理地表达自己的观点的过程，因此，学生要亲自经历思路的整理过程、语言的组织过程和解决问题的表达过程，在这样的过程中去体会演绎推理的价值和趣味，从而理解和掌握用综合法证明。重点：矩形、菱形的性质定理和判定定理的证明方法。难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用。教学目标知识与技能：1能够证明矩形、菱形的性质定理和判定定理；2能运用矩形、菱形的性质和判定进行有关的计算和证明。过程与方法：探索矩形、菱形的性质和识别方法，动手操作，学会观察分析、培养主动探究习惯。情感态度价值观：通过实践与探索，动手折叠剪纸等联系现实生活应用，培养学生的探究精神，创新能力及分析问题、解决问题、应用问题的能力。32.3矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 教学建议第一课时：“做一做”是证明“矩形的四个角都是直角”的性质，这在“四边形”一章已用简单说理的形式探索的岛国，在这里主要是规范格式，通过演绎推理来证明这条性质，所以，在学生做的过程中，重点是认定演绎过程中条件是不是前面学过的定理或已经证明过的结论。“一起探究”的活动是以“分析法”的形式探索证明性质定理2的思路，可按照教科书提供的系列问题由学生以自主探索、合作交流的方式来完成。还可把问题再设计得具体一些：证明两条线段相等，都有哪些方法？要利用两个三角形全等来证明AC=BD，AC和BD分别在哪两个三角形中？RtABC和RtDCB全等吗？RtABC和BAD全等吗？写出证明过程。“观察与思考”是在证明了“矩形的对角线相等”的基础上，经过对矩形的观察推出OB和AC的数量关系。应该说明，这里的“观察与思考”不是原来意义上的直观观察，而是一种深层次的思考演绎推理。另外，为了能准确地概括出结论，应从这个复杂的图形中分解出简单图形，即从这个局形中分解出简单图形，即从这个局形中分解出RtABC。“做一做”的活动，是探索并证明矩形的判定定理的过程。可以按照提供的问题，去探索证明的思路，也可以让学按照分析的思路和结论“如何证明一个平行四边形是矩形”“如何证明ABC是直角”去探索证明的思路。第二课时：本节课是证明菱形的两个性质定理和判定定理。对于“做一做”的活动，利用菱形的定义和平行四边形的性质即可得到证明。可有学生独立完成证明。对于“菱形的对角线互相处置，并且每条对角线平分一组对角”，要证明的结论较多，可先考虑部分结论，即从研究ABC入手，以自主探索、合作交流的方式，在“一起探索”中的问题引导下探索到证明思路。也可以用“分析法”进行探索，还可以利用线段垂直平分线性质定理的逆定理和三角形全等来证明。对于例题，应先探索其证明思路和证明的方法，由教师和学生以研讨、交流的方式共同完成证明。32.3矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 教学设计教学设计思想本节矩形与菱形性质定理、判定定理的证明过程是用综合法证明的过程，是培养学生清晰地、有条理地表达自己的观点的过程，因此，学生要亲自经历思路的整理过程、语言的组织过程和解决问题的表达过程，在这样的过程中去体会演绎推理的价值和趣味，从而理解和掌握用综合法证明。教学目标知识与技能：1能够证明矩形、菱形的性质定理和判定定理；2能运用矩形、菱形的性质和判定进行有关的计算和证明。过程与方法：探索矩形、菱形的性质和识别方法，动手操作，学会观察分析、培养主动探究习惯。情感态度价值观：通过实践与探索，动手折叠剪纸等联系现实生活应用，培养学生的探究精神，创新能力及分析问题、解决问题、应用问题的能力。教学重难点重点：矩形、菱形的性质定理和判定定理的证明方法难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用教学方法分析启发法教学媒体多媒体课时安排2课时教学过程设计一、引入新课什么是矩形？老师用教具演示如图，从平行四边形到矩形的演变过程，回顾矩形的概念。从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质。边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）角：四个角是直角（性质定理 1）对角钱：矩形的对角线相等（性质定理2）这节课我们就一起来研究这些性质定理和判定定理的证明。二、一起探究首先请同学写出定理2的已知、求证已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线。求证：AC=BD请同学们思考，证明两条线段相等，都有哪些方法？学生举手回答。这道题我们可以利用两个三角形全等的性质，那么AC，BD分别在哪个直角三角形中呢？请同学按照这个思路试着写出证明过程。证明：四边形ABCD是矩形AB=DC，ABC=DCB=90，BC=CBRtABCRtDCBAC=BD三、观察与思考如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O观察上图，思考下列问题：1OA和OB相等吗？为什么？2OB和AC有什么数量关系？3由此你能得出什么结论呢？推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。四、做一做请同学们回忆一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？判定定理1对角线相等的平行四边形是矩形判定定理2有三个角是直角的四边形是矩形下面我们一起来证明判定定理1已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形分析：1由已知条件，能说明ABCDCB吗？2如果ABC=DCB，那么能说明ABC=90吗？3请把证明过程完整地写出来证明：略五、练习试证明矩形的另一个判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形六、小结这节课我们巩固了矩形的性质定理和判定定理，并掌握了它们的证明，你学到哪些数学方法？七、板书设计矩形的性质定理和判定定理及其证明性质定理1 推论 练习定理2 判定定理1证明： 证明：第二课时一、引入什么是菱形？有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。给出菱形图片或画出菱形，让学生观察回忆菱形的性质二、做一做定理1 菱形的四条边都相等如图：四边形ABCD是平行四边形，如果AB=CD，那么你如何说明四边形ABCD的四条边都相等？学生活动：利用菱形的定义和平行四边形的性质证明，独自完成。三、一起探究菱形还有另一个性质，定理2菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角怎样证明这个定理呢？同学们先写出已知和求证。已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O求证：ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC分析：1由已知条件能推出ABD是等腰三角形吗？为什么？2如果证得ABD是等腰三角形，结合已知条件，能推出ACBD，且AC平分BAD吗？学生活动：小组讨论，合作交流，写出证明过程证明：四边形ABCD是菱形 AB=AD，且BO=OD ACBD，AC平分BAD同理，可证得AC平分BCD，BD平分ABC和ADC四、做一做证明菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形学生活动：利用三角形全等独自证明定理例 已知：如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，DEAC，交AB与点E，DFAB，交AC于点F，求证：AEF=DEF证明：DEAC，DFAB四边形AEDF是平行四边形ADE=FADAD是ABC的角平分线EAD=FADADE=EADED=AE四边形AEDF是菱形AEF=DEF五、练习试证明菱形的另一判定定理：四条边都相等的四边形是菱形六、作业课后习题1，2，3，4七、板书设计菱形的性质定理和判定定理及其证明性质定理1 性质定理2 判定定理 例题 练习 证明 证明32.4等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明 教材说明本节课证明梯形的性质定理用到了许多方法，学生通过自主探究、合作交流的学习方式进行充分探索，体会转化的思想，使转化思想逐渐成为解决问题的一种自觉意识。然后通过观察感受反证法也是证明问题的一种方法，体会反证法证明问题的基本思想。重点：探索等腰梯形性质定理的证明方法，体会转化的思想。难点：对反证法的理解。教学目标知识与技能：会证明等腰梯形的性质定理和判定定理，体会转化在解决问题中的作用。过程与方法：1同过具体实例，体会反证法的含义；2通过探索等腰梯形的有关概念、性质和判定方法的过程，理解等腰梯形的定义及基本性质；通过观察发现，初步感悟数形结合的思想方法。情感态度价值观：通过讨论交流、观察探究、培养合作意识和探索精神。32.4等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明 教学建议本节课上两部分内容，一是证明等腰梯形的性质定理和判定定理，二是体会反证法的含义。1等腰三角形性质定理的证明，应放手让学生以自主探究、合作交流的学习方式进行充分探索。从“如何证明两角相等”的问题入手，按照“一起探究”中的问题进行分析，直到找到证明的思路。教师做适当的引导和点拨，由学生写出证明的过程。2等腰梯形判定定理的证明过程，实际上是性质定理的逆过程，有了上面的证明，学生可通过自主探究完成。3结合本节课中等腰梯形的性质定理和判定定理的证明，由学生小结以下证明线段相等、角相等的方法，以积累证明的经验。4对于用反证法证明等腰三角形的判定定理，可由教师给出证明的过程，再概括出证明的思路。让学生通过这个例子知道反证法也是证明问题的一中方法，体会用反证法证明问题的基本思路。必要时，可再举一例进一步感受一下反证法就可以了，不要求学生会用反证法证明问题，不要补充反证法证明问题的练习和作业。32.4等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明 教学设计教学设计思想本节课证明梯形的性质定理用到了许多方法，学生通过自主探究、合作交流的学习方式进行充分探索，体会转化的思想，使转化思想逐渐成为解决问题的一种自觉意识。然后通过观察感受反证法也是证明问题的一种方法，体会反证法证明问题的基本思想。教学目标知识与技能：会证明等腰梯形的性质定理和判定定理，体会转化在解决问题中的作用。过程与方法：1同过具体实例，体会反证法的含义；2通过探索等腰梯形的有关概念、性质和判定方法的过程，理解等腰梯形的定义及基本性质；通过观察发现，初步感悟数形结合的思想方法。情感态度价值观：通过讨论交流、观察探究、培养合作意识和探索精神。教学重难点重点：探索等腰梯形性质定理的证明方法，体会转化的思想难点：对反证法的理解教学方法合作探究法教学媒体多媒体课时安排1课时教学过程设计一、复习1什么是梯形？2什么是等腰梯形？等腰梯形有什么性质？定理：等腰梯形在同一底上的两角相等怎么证明它呢？二、一起探究请同学们写出这个性质定理的已知和求证。已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC求证：B=C学生活动：自主探究，合作交流，思考下列问题，然后独自写出证明过程1已知AB=DC，要证明B=C，有哪些方法？2如果借助“等边对等角”来证明，就需要把AB（或DC）进行平移，使它们与另一条腰组成等腰三角形。怎样平移？3如果用全等三角形来证明，就应作出一对全等三角形。怎样作出呢？证明：过点D作DEAB，交BC于点E，如图ADBC，DEABB=1，且四边形ABED是平行四边形AB=DEAB=DCDC=DE1=CB=C三、做一做其他同学是这么证明的么？谁能说说不同的证明思路？学生积极思考，说出其他思路，老师补充，一起写出证明方法。法2 思路：构造两个全等的三角形。如图，作AEBC，DFBC，垂足分别为E，F，然后证明RtABERtDCF。法3 证明：过点A作AEDC，交BC与点E，则AEB=CB=CB=AEBAB=AEADBC，AEDC四边形AECD是平行四边形AE=DCAB=DC因此我们可知解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决三、观察与思考老师给出法4法4 如图，假设ABDC，延长BA，CD，相交于点EADBCEAD=B，EDA=CB=CEAD=EDAEA=ED又B=CEB=ECABDCEBABECDCEAED这与上面证明出的EA=ED矛盾所以AB=DC法4与前面的证明有什么不同？这种方法不是从已知条件出发，利用学过的定义、公理和已证过的定理直接证明命题，而是先假设结论不成立，再从这个假设出发，推出矛盾的结果，从而证明命题成立。这种证明命题的方法叫做反证法。四、练习1已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=45，AD=1.8cm，BC=6cm。求这个梯形的面积。2证明：等腰梯形的对角线相等五、小结1总结证明角相等的方法都有哪些？2本节课你学到了哪些方法？六、板书设计等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明定理 证法2 证法4 练习证法1 证法3 反证法回顾与反思 教材说明从内容上讲本章是证明（一）继续，是在证明（一）的基础上，进一步依据学过的公理和定理，证明曾经探索、发现的平行四边形及特殊平行四边形的性质定理及判定定理，并能灵活的运用这些相关的结论解决一些相关的问题。这两章可看成为一个局部的公理化体系，即由给定的六条公理出发，通过逻辑推理证明，得到有关三角形和特殊四边形等基本图形的性质。回顾时设立了几个问题，对“命题与证明”进行系统回顾，并复习本章的几个重点要掌握和体会的内容及方法。教学时，鼓励学生带着这些问题，回顾所学内容。在对问题进行回答时，教师关注学生对问题的理解，并能开展小组交流和讨论，使学生在反思和交流的基础上对所学内容在思想方法上有一定的提升。然后要求学生独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容，并回顾学习本章的收获、存在的问题和需要改进的地方，教师也可以据此了解每一个学生的学习状况，并适时调整教学。重点：进一步掌握综合法的证明方法难点：对学生证明思路、证明方法的培养与引导教学目标知识与技能：能清晰地、有条理地表达自己的观点，并进行交流。会证明一些简单命题，发展演绎推理能力。过程与方法：通过回顾本章内容，反思