立体几何中平行与垂直的证明3.doc

垂直与平行的问题例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求证 MN平面BCE 证法一 作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，则MPAB，NQAB MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE 证法二 如图过M作MHAB于H，则MHBC，连结NH，由BF=AC，FN=AM，得 NH/AF/BE由MH/BC, NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE 例2在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC (1)若D是BC的中点，求证 ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由 (1)证明 AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1 (2)证明 延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C截面MBC1侧面BB1C1C (3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性 过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AM，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=AA1，AM=MA1 例3 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直 (1)求证 AB1C1D1；(2)求证 AB1面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角 (1)证明 A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，C1D1A1B1于D1，又平面A1ABB1平面A1B1C1，C1D1平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，AB1C1D1 (2)证明 连结D1D，D是AB中点，DD1CC1，C1D1CD，由(1)得CDAB1，又C1D1平面A1ABB1，C1BAB1，由三垂线定理得BD1AB1，又A1DD1B，AB1A1D而CDA1D=D，AB1平面A1CD (3)解 由(2)AB1平面A1CD于O，连结CO1得ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，AB1=3，AC=A1C1=2，AO=1，sinOCA=，OCA= 学生巩固练习 1 在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )A B C D 2 在直二面角l中，直线a,直线b,a、b与l斜交，则( )A a不和b垂直，但可能abB a可能和b垂直，也可能abC a不和b垂直，a也不和b平行D a不和b平行，但可能ab3 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZXY”为真命题的是_(填序号) X、Y、Z是直线 X、Y是直线，Z是平面 Z是直线，X、Y是平面 X、Y、Z是平面4 设a,b是异面直线，下列命题正确的是_ 过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直过a一定可以作一个平面与b垂直过a一定可以作一个平面与b平行5 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 (1)求证 CDPD;(2)求证 EF平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？6 如图，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H (1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由 (2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明 7 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BFFC=13 (1)若M为AB中点，求证 BB1平面EFM；(2)求证 EFBC；(3)求二面角A1B1DC1的大小 8 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60, (1)证明 C1CBD；(2)假定CD=2，CC1=，记面C1BD为,面CBD为,求二面角BD的平面角的余弦值；(3)当的值为多少时，可使A1C面C1BD？参考答案1 解析 如图，设A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1HAO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1,可得A1H= 答案 C2 解析 如图，在l上任取一点P，过P分别在、内作aa,bb,在a上任取一点A，过A作ACl，垂足为C，则AC,过C作CBb交b于B，连AB，由三垂线定理知ABb，APB为直角三角形,故APB为锐角 答案 C3 解析 是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例 答案 4 5 证明 (1)PA底面ABCD，AD是PD在平面ABCD内的射影，CD平面ABCD且CDAD，CDPD (2)取CD中点G，连EG、FG，E、F分别是AB、PC的中点，EGAD，FGPD平面EFG平面PAD，故EF平面PAD(3）解 当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF面PCD证明 G为CD中点，则EGCD,由(1)知FGCD，故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP由RtPAERtCBE,得PE=CE又F是PC的中点，EFPC，由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF即EFCD，故EF平面PCD 6 (1)证明 AD/面EFGH,面ACD面EFGHHG，,AD面ACD AD/HG.同理EFFG，EFGH是平行四边形ABCD是正三棱锥，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四边形EFGH是矩形 (2)作CPAD于P点，连结BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH 面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=a,AP=a 7 (1)证明 连结EM、MF，M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM (2)证明 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 ANBC，又BFFC=13，F是BN的中点，故MFAN，MFBC，而BCBB1，BB1ME MEBC，由于MFME=M，BC平面EFM，又EF平面EFM，BCEF (3)解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1QB1D，故A1QD为二面角A1B1DC的平面角，易得A1QO=arctan 8 (1)证明 连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD又BCC1=DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1B=C1DDO=OB，C1OBD，但ACBD，ACC1O=OBD平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD (2)解 由(1)知ACBD，C1OBD，C1OC是二面角BD的平面角 在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60，C1B2=22+()222cos60= OCB=30,OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C 作C1HOC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，cosC1OC=(3)解 由(1)知BD平面AC1，A1O平面AC1，BDA1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面C1BD 高中数学专题复习讲座 关于求空间的角的问题例1在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求证 四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角 (1)证明 如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形 BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形 AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形 (2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos 另法（向量法） 如图建立坐标系，则故AC与DE所成角为arccos (3)解 ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos 另法（向量法） ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，如图建立坐标系，则，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (4)解 如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心 作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin 另法（向量法） 如图建立坐标系，则，所以面ABCD的法向量为 下面求面BEDF的法向量 设，由 故面BEDF与面ABCD所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120 求 (1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值 BD1与AC所成角的余弦值为 例3如图，为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角 (1)求证 MN分别与、所成角相等；(2)求MN与所成角 (1)证明 作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA 在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA 在RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)结论成立 (2)解 设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，CN=asin= aPN不合理，舍去 sin=,MN与所成角为30 另法（向量法） 如图设的法向量为，的法向量为，模均为1，由题意，设，则，且所以或所以，MN分别与、所成角相等 学生巩固练习 1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A B C D 2 设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A 30B 45C 60D 753 已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_ 4 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_ 5 已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证 二面角BPCD为直二面角 6 设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求 (1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小 7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角 (1)求证 平面ABD平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小 参考答案1 解析 (特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角 答案 D2 解析 作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45 答案 B3 解析 在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB= 答案 4 解析 设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60 答案 605 (1)解 因为PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90,由勾股定理得PB= PC= (2)解 如图，过点C作CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角 CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC与BD所成角的余弦值为 (3）证明 设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GFBCAD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG为矩形，DFFG 在PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，DFPC从而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD为直二面角 另法（向量法） (略)6 解 (1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90 (3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2 另法（向量法） (略)7 (1)证明 取BC中点E，连结AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD 又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD 平面ABD平面ACD (2)解 在面BCD内，过D作DFBC，过E作EFDF，交DF于F，由三垂线定理知AFDF，ADF为AD与BC所成的角 设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m即AD与BC所成的角为arctan(3)解 AE面BCD，过E作EGBD于G，连结AG，由三垂线定理知AGBD，AGE为二面角ABDC的平面角EBG=30，BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2 即二面角ABDC的大小为arctan2 另法（向量法） (略)高中数学专题复习讲座 关于求空间距离的问题例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求 (1)EF的长；(2)折起后EOF的大小 解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz, 设正方形ABCD边长为a,则A(0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0) EOF=120例2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离 解法一 如图，在正方体AC1中，A1C1AC,A1C1平面AB1C，A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离 连结B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D平面AB1C平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C平面BB1D1D=B1O作O1GB1O于G，则O1G平面AB1CO1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离 在RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为 解法二 如图，在A1C上任取一点M，作MNAB1于N，作MRA1B1于R，连结RN，平面A1B1C1D1平面A1ABB1，MR平面A1ABB1，MRAB1AB1RN，设A1R=x,则RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=(0x1当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为 解法三（向量法）如图建立坐标系，则设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且则从而有 例3如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点 求 (1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离 解 (1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b, AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为 (2)解法一 平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离 在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距离为解法二 设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh= 学生巩固练习 1 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )A B 1 C D 2 三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A B C 2.6 D 2.43 如左图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_ 4 如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_ 5 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图 (1)求证 平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离 6 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求 (1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积 7 如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F (1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等 8 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且PA=a (1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为 参考答案1 解析 过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBCBM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=答案 A2 解析 交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6答案 C3 解析 以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a答案 a4 解析 显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD=30,过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD FG为EF与平面ABCD的距离，即FG= 答案 5 (1)证明 由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1(2)解 设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离 易求A1C1=5，A1B=2，BC1=