数学证明与数学发现.pdf

1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 数学证明与数学发现 王 瑾 沈阳师范学院数学系 110031 贺 贤 孝 辽宁师范大学数学系 116029 近些年来 人们谈论比较多的是 通过观察 实验 归纳 类比等方法获得新的数学命题 正如 波利亚评论数学的二重性时所阐述的那样 在创 造过程中的数学看来却像一门实验性的归纳科 学 1 国内在中学数学教学中也开始研究 如何 教猜想 提倡 发现式 教学 许多中学数学教学 杂志刊登了大量这方面的文章 不容置疑 这是对 传统教学思想的冲击 对于提高学生的数学素质 培养学生具有一定的创造能力是十分必要的 但 是人们在如何获得数学发现的认识上还存在片面 性 例如文 2 中说到 在即将进入21世纪的今 天 人们进行研究创造 都仍然是经过观察 发现 问题 提出猜想而开始的 虽然数学是论证推理的 科学 可是只有论证推理 并不能使我们获得本质 上的新知识 与这种思想相关的是 人们常常将 数学演绎证明的作用仅限于证实猜想 我们认为 数学发现不仅仅来源于归纳和类比 也来自于数 学演绎 将数学演绎与数学发现割裂开来的思想 是错误的 为了更好地培养学生的创造能力 提高 他们的数学素质 有必要就数学演绎证明与数学 发现的关系作一番探讨 1 第五公设的演绎证明与非欧几何的产生 非欧几何作为与欧氏几何相对立的几何公理 体系 它的产生是从试证欧几里得第五公设开始 的 其间经历了两千年的漫长岁月 非欧几何学是由演绎推理证明得到数学新发 现的典型例子 非欧几何的公理体系完全脱离了 欧氏几何空间的束缚 远远超出了人们的经验认 识 是根本无法用观察 实验 归纳等手段所能达 到的 这充分说明 数学家们的创造工作一方面依 赖于观察 归纳 类比等手段 另一方面是在对演 绎推理与证明的深刻理解和分析中去发现新的数 学事实 开拓新的数学领域 不仅数学家们如此 作为普通的数学教师 在对数学问题的关注中 也 常常依靠数学证明来扩展对数学领域的认知 2 演绎证明与数学命题的推广 数学命题的推广是指对原有数学命题的条件 或结论进行改进 引出一个蕴涵原有命题的新命 题 数学命题推广的一种方式就是对原有命题的 演绎证明进行 去粗取精 去伪存真 由此及彼 由 表及里 的思维加工 使我们抓住证明的关键与 实质 以致受到启发 获得新的数学发现 实例1 若正实数a b c满足a b c 1 则有 1 3a2 1 3b2 1 3c2 6 数学通报 1995年8月号问题969 通常我们对这类特殊命题是将3个数推广到 n个数 于是推广命题的题设应是 若正实数a1 a2 an满足 a1 a2 an 1 但结论应是什么呢 这里涉及两个关键问题 1 不等式左边各根式中的字母系数 3 推广后是什 么 2 各平方根式中的 3 与不等式右边6中的 6 是何关系 对于 1 也许人们自然地联想到 3 可能是所给正实数的个数 若这样 推广后的 y1 y2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 2x 2y x y 因为AB的斜率 x y 等于PB的斜率12 y 5 x 所以12 y 5 x x y 整理得 x2 y2 5x 12y 0 最后 我们强调在概念 公式与定理 解题等 教学中 教师都要精心备课 精心设计 精心组织 以学生为主体 以暴露思维过程为核心 强化反 馈 针对实际 讲求实效 才能更有效地全面实施 数学教学目标 参考文献 叶澜 让课堂焕发生命活力 教育研究 1997 9 32000年 第10期 数学通报 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 图1 平方根式中各字母的系 数应取n 但对于问题 2 仅靠归纳 类比等 方式都难以回答 要解 决这个疑问 获得原命 题的推广 我们来探讨 式的证明 由于题中 平方根式具有明显的几 何意义 故采用数形结 合法加以证明 证明 如图1所 示 作Rt AD1E1 Rt D1D2E2 Rt D2BE3 使 各斜边AD1 D1D2 D2B都为1 直角边AE1 3a D1E2 3b D2E3 3c 再将有关线段延 长 设AE1与BE3的延长线交于C 连结AB 在 Rt ABC中 AC AE1 D1E2 D2E3 3a 3b 3c 3 a b c 3 BC D1E1 D2E2 BE3 1 3a2 1 3b2 1 3c2 又由AB AD1 D1D2 D2B 3 得BC AB2 AC2 32 3 2 6 即1 3a2 1 3b2 1 3c2 6 命题得证 从上述证明中 可以发现平方根式中的字母 系数 3 与正实数的个数无关 而是可以任意选 取的 故推广命题的题设为 若正实数a1 a2 an满足a1 a2 an 1 且k是任意正实数 于是扩大了我们原来推广的题设 而要想解 答疑问 2 还得仿照上面的证明 在新的推证中 去寻求答案 图2 在新的题设条件下 可推证如下 如图2所示 作Rt AD1E1 Rt D1D2E2 Rt Dn 1BEn使得各斜边AD1 D1D2 Dn 1B 都为1 直角边AE1 D1E2 Dn 1En分别为ka1 ka2 kan 并将有关线段延长 设AE1与BEn 的延长线交于C 连结AB 则在Rt ABC中 AC AE1 D1E2 Dn 1En ka1 ka2 kan k a1 a2 an k BC D1E1 D2E2 BEn 1 ka21 1 ka22 1 ka2n AB AD1 D1D2 Dn 1B n BC AB2 AC2 n2 k 2 n2 k 故1 ka21 1 ka22 1 ka2n n2 k 由上述证明不难看出 要使结论成立必须有 00且x y z 1 求证 42000年 第10期 数学通报 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved f x y z x x y y z z 3 3 这是1990年第8期 数学通报 刊载的一道征 解题 杂志在第9期给出以下证明 令a x b y c z 则 f x y z g a b c a a b b c c 1 a a 1 b b 1 c c 1 a 1 b 1 c 3 1 a 1 b 1 c 3 a b c 3 x y z 3 原式 3 1 a 1 b 1 c a b c 3 9 3 3 3 3 初看这一证明过程 巧妙地运用了换元法 比 较简洁 似乎无懈可击 但只要我们仔细分析会发 现 其中一段推理使用了 a b c 1 a 1 b 1 c 9 这是应用柯西不等式 a21 a22 a2nb21 b22 b2n a1b1 a2b2 anbn 2 的结果 式应是在 a 0 b 0 c 0的约束下才能成立的 而题设 中并没有这样的条件 也不能由已知推出这些条 件 这必然使我们对命题本身的正确性产生怀疑 如取 1 2 x 3 4 y z 1 8 符合题设 要求 式 右 边 3 3 3 而 式 左 边 f 3 4 1 8 1 8 7 6 则 式是不成立的 这说明 题设中所给的条件是有缺陷的 也使我们不禁产 生好奇 命题何时成立呢 这时用观察 归纳 类比 是不可能找到 症结 所在的 只能重新探索证 明 式之前的证明是符合逻辑的 不存在错误 故从 式开始分析 要证 1 a 1 b 1 c 3 3 3 等价于证 1 a 1 b 1 c 9 3 当 3 0时 在 式两边同乘以 3 可得到 3 1 a 1 b 1 c 9 由a b c 3 知 式又等价于 a b c 1 a 1 b 1 c 9 展开 整理得 b a a b c b b c a c c a 6 当且仅当a b c同号时 才有 b a a b 2 c b b c 2 a c c a 2 从而 式成立 于是原命题应修改为 设x y z 为实数 x y z 1 且 3 0 x y z同号 则 f x y z x x y y z z 3 3 上例表明 正如数学家罗素所说的 证明的 作用在于引起怀疑 只有对证明过程深入探索 和研究 才能暴露命题的缺陷 从而对命题进行修 正 获得新的发现 综上所述 要培养学生的创造性和独立思考 的能力 提高他们的数学素质 不但要注意应用波 利亚提出