高考数学 易错点点睛与高考突破 专题01 集合与简易逻辑.doc

2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题01 集合与简易逻辑难点1 集合的运算 1设i是全集，非空集合p、q满足pqi，若含p、q的一个运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_；如果推广到三个，即pqri，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_.(只要求写出一个表达式)2设a=(x，y)|y2-x-1=0，b=(x，y)|4x2+2x-2y+5=0，c=(x，y)|y=kx+b，是否存在k、bn，使得(ab)c=，证明此结论难点2 逻辑在集合中的运用1.已知不等式： |x+3|2x|；;2x2+mx-10 若同时满足、的x也满足，求m的取值范围； 若满足的x至少满足、中的一个，求m的取值范围 难点3 集合的工具性 1已知an是等差数列，d为公差且不为零，a1和d均为实数，它的前n项和为sn，设集合a=(an，)|nn*,b=(x,y)|x2-y2=1，x，yr，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明(1)若以集合a中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)ab中至多有一个元素； (3)当a10时，一定有ab2设m是满足下列两个条件的函数f(x)的集合：f(x)的定义域是-1，1；若x1，x2-1，1，则|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|试问：(1)定义在-1，1上的函数g(x)=x2+3x+2005是否属于集合m?并说明理由；(2)定义在-1，1上的函数h(x)=4sinx+2006是否属于集合m?并说明理由3向50名学生调查对a、b两事件的态度，有如下结果：赞成a的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成b的比赞成a的多3人，其余的不赞成；另外，对a、b都不赞成的学生数比对a、b都赞成的学生数的三分之一多1人问对a、b都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?【解析】画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系【答案】赞成a的人数为50=30，赞成b的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为u，赞成事件a的学生全体为集合a；赞成事件b的学生全体为集合b.设对事件a、b都赞成的学生人数为x，则对a、b都不赞成的学生人数为+1，赞成a而不赞成b的人数为30-x，赞成b而不赞成a的人数为33-x依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50，解得x=21所以对a、b都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人难点4 真假命题的判断1已知p、q为命题，命题“(p或q)”为假命题，则 ( )a.p真且q真 b.p假且q假c.p，q中至少有一真 d.p，q中至少有一假2已知p：|1-2，q：x2-2x+1-m20(m0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 m9，实数m的取值范围是9，+难点5 充要条件的应用1设符合命题p的所有元素组成集合a，符合命题q的所有元素组成集合b，已知q的充分不必要条件是p，则集合a、b的关系是 ( )aab ba bcb a da=b200)若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【题后反思】解此类题的关键是利用等价命题进行命题的等价转化，例如：如果p是q的充分不必要条件，那么綈p是綈q的必要不充分条件同理，如果p是q的必要不充分条件，那么綈p是綈q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么綈p是綈q的充要条件【变式】已知集合m，ny|y4x2x1，ur，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是()a. b.c. d解析：由10，即0，解得x0或x1，故函数y 的定义域为(，0)1，)，【易错点点睛】易错点1 集合的概念与性质 1(2013模拟题精选)设全集u=r，集合m=x|x1，p=x|x21，则下列关系中正确的是 ( ) a.m=p bpm c.mp dcup=【错误答案】 d【错解分析】 忽视集合p中，x-1部分【正确解答】 c x21 x1或x-1故mp 2(2013模拟题精选)设p、q为两个非空实数集合，定义集合p+q=a+b|ap，bq，若p0，2，5，q=1，2，6，则p+q中元素的个数是（ ） a9 b8 c7 d63(2013模拟题精选)设f(n)=2n+1(nn)，p=l，2，3，4，5，q=3，4，5，6，7,记=nn|f(n) p，=nn|f(n) 则(cn) (cn)等于 ( ) a0，3 b1，7 c3，4，5 d1，2，6，7【错误答案】 d pcnq=6，7qcnp=1，2故选d【错解分析】 未理解集合 的意义.【正确解答】 b =1，3，5=3，5，7cn=1. cn=7故选b 4设a、b、i均为非空集合，且满足abi，则下列各式中错误的是 ( ) a（cia）b=i b(cia) (cib)=i ca(cib)= d(cia)(cib)= cib【特别提醒】 1解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xp，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质p；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题2注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如ab，则有a=或a 两种可能，此时应分类讨论【变式探究】 1 全集u=r，集合m=1，2，3，4，集合n=，则m(cun)等于 ( ) a4 b3，4 c2，3，4 d 1，2，3，4答案：b 解析：由n=cun=2.设m=x|x4a，ar，n=y|y=3x，xr，则 ( )amn= bm=nc. mn d. mn 答案：b 解析：m=3.已知集合a=0，2，3，b=x|x=ab,a、ba且ab，则b的子集的个数是 ( )a4 b8 c16 d15 答案：解析：它的子集的个数为22=4。4.设集合m=(x，y)|x=(y+3)|y-1|+(y+3)，-y3，若(a，b)m，且对m中的其他元素(c，d)，总有ca，则a=_.解析：依题可知，本题等价于求函数不胜数x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在当1y3时，x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2-易错点 2 集合与不等式1(2013模拟题精选)集合a=，b=x|x-b|a，若“a=1”是“ab”的充分条件，则b的取值范围是 ( )a-2b2 b-2b2c-3b-1 d-2b2【错误答案】 a 当a=l时，a=x|-1x1且b=x|b-1xb+1ab.b-11且b+1-1.故-2b2只有a符合3(2013模拟题精选)已知f(x)=(xr)在区间-1，1上为增函数(1)求实数a的值所组成的集合a；(2)设关于x的方程f(x)=的两根为x1,x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aa及t-1,1恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【特别提醒】讨论参数a的范围时，对各种情况得出的参数a的范围，要分清是“或”还是“且”的关系，是“或”只能求并集，是“且”则求交集.【变式探究】1 设x表示不超过x的最大整数，则不等式x2-5x+60的解集为 ( ) a(2，3) b2，3c2，4 d2，4 答案：c 解析：由x2-5x+60,解得2x 3,由x的定义知2x4所选c.2 已知不等式|x-m|1时，则超过2个元素，注意区间端点【正确解答】 由s(a，a+1)的元素不超过两个,周期1又有a使s(a，a+1)含两个元素，周期12故(，2)2(2013模拟题精选)设函数f(x)=-(xr)，区间m=a,b(ab)，集合n=y|y=f(x)，xm，则使m=n成立的实数对(a，b)有 ( )a.0个 b1个c.2个 d无数多个【错误答案】 (1)由2-0，得x-1或x1a=x|x0，得(x-a-1)(x-2a)0a2a，b=(2a，a+1)【特别提醒】集合与不等式、集合与函数、集合与方程等，都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意知识的融会贯通.有时要用到分类讨论，数形结合的思想.【变式探究】1 已知集合a=x|(a2-a)x+1=0，xr，b=x|ax2-x+1=0，xr,若ab=，则a的值为 ( ) a0 b1 c0或1 d0或4 易错点4 简易逻辑 1(2013模拟题精选)对任意实数a、b、c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a0，设p：函数y=cx在r上单调递减；q：不等式x+|x-2c|1的解集为r，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围【特别提醒】1在判断一个结论是否正确时，若正面不好判断，可以先假设它不成立，再推出矛盾，这就是正难则反2求解范围的题目，要正确使用逻辑连结词，“且”对应的是集合的交集，“或”对应的是集合的并集【变式探究】 1 已知条件p：|x+1|2，条件q：5x-6x2，则p是q的 ( )a.充要条件 b充分但不必要条件c.必要但不充分条件 d.既非充分也非必要条件 答案：解析：p:x1,q:2x3,则q是p的充分但不必要条件，故p是q的充分但不必要条件。2 已知命题p：函数log05(x2+2x+a)的值域为r，命题q：函数y=-(5-2a)x是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ) aa1 ba2c1a2 da1或a23.已知在x的不等式0x2-46x-13a的解集中，有且只有两个整数，求实数a的取值范围 易错点5 充要条件1(2013模拟题精选)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( )a.充分必要条件 b充分而不必要条件c.必要而不充分条件 d既不充分也不必要条件【错误答案】 a【错解分析】 当两直线垂直时，a1a2+b1b2=0，m2-4+3m(m+2)=0，即m=或m=-2；故不是充分必要条件【正确解答】 b 当m=时两直线垂直两直线垂直时m=或m=-2，故选b 2(2013模拟题精选)设定义域为r的函数f(x)=，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( ) ab0 bb0且c0 cb0的解集相同；命题q：，则命题p是命题g的 ( )a.充分但不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【特别提醒】 (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等 (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质 (4)从集合观点看，若ab，则a是b的充分条件，b是a的必要条件；若a=b，则a、b互为充要条依.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性) 【变式探究】 1 设ab、是非零向量，则使ab=|a|b|成立的一个必要非充分条件是 ( )aa=b babcab da=b(0)答案： 解析：由ab=|a| |b|可得ab;但ab, ab=|a| |b|, 故使ab=|a| |b| 成立的一个必要充分条件是：ab.故选.2若条件甲：平面内任一直线平行于平面，条件乙：平面平面，则条件甲是条件乙的 ( )a充分不必要条件b必要不充分条件c. 充要条件d既不充分又不必要条件 答案：c 解析：甲乙可以互推。选.3.已知函数f(x)=ax+b(0x0是f(x)0在0，1上恒成立的 ( )a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既非充分又非必要条件 2设集合my|y|cos2xsin2x|，xr，n，则mn为()a(0,1) b(0,1 c0,1) d0,1解析由题意得my|y|cos 2x|0,1，nx|xi|x|x210，则方程x2xm0有实根”的逆否命题为：“若方程x2xm0无实根，则m0”b“x1”是“x23x20”的充分不必要条件c命题“若xy0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy0，则x，y都不为零”d对于命题p：xr，使得x2x10的解集为a，又