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文档简介

牟合方盖 刘徽是我国数学史上一位非常伟大的数学家。他的杰作九章算术注和海岛算经，可算是我国最宝贵的数学遗产之一。遗憾的是，关于这位伟大数学家的籍贯、履历和生卒年代，我们所知甚少，祇知道他是魏晋时代的人，即大约生存于公元三世纪。刘徽在他的九章算术注中，提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一个叫牟合方盖的立体的体积。所谓牟合方盖，就是指由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。（见图一。）由于这立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞，所以就称它为牟合方盖。（见图二。）在这个立体里面，可以内切一个半径和原本圆柱体一样大小的球体，刘徽并指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为:4，（见图三，）所以牟合方盖的体积与球体体积之比亦应为:4。可惜的是，刘徽并没有求出牟合方盖的体积，所以亦不知道球体体积的计算公式。（图一）（图二）（图三）二百年后，刘徽的愿望终于由祖晅所完成。祖晅是南北朝时代大数学家祖冲之的儿子。同刘徽一样，除了少量的史料外，我们对祖氏父子二人的认识甚少，就连他们的著作缀术亦早已失传，非常可惜。祖晅的方法是将原本的牟合方盖分为八分之一，如图四。设OP=h，过P点作平面PQRS平行于OABC。又设内切球体的半径为r，则OS=OQ=r。故此，PS=PQ= ，正方形PQRS的面积是r2-h2。（图四）如果将图四的立体放在一个边长为r的正立方体之内，如图五，不难证明图中阴影部分的面积等于h2。这个面积亦相等于图六中，一个倒立的正立方锥体的横切面的面积。所以，有理由相信，将图四中八分一个牟方合盖的体积，加上图六中的锥体体积，应该等于图五的正立方体体积，由此可知八分一个牟方合盖的体积=r3-1/3r3=2/3r3，而整个牟立方盖的体积为82/3r3。再跟据刘徽的想法，球体体积则为82/3r31/4=4/3r3。（图五）（图六）牟合方盖的制作方法：牟合方盖是一个那么重要的立体，那么牟合方盖的样子到底是怎样的呢？制作这立体的方法如下。图七是一个八分一的牟合方盖。明显，OABC为一正方形，OCD和OAD为两个四分一圆，并设OA为r。要成功地制作出这立体，就必须要知道曲面ABD和CBD的形状。（图七）留意，将曲面ABD摊平后，BAD为一直角。如果AOQ=t，则弧线AQ长rt。又，从OPQ可知PQ=rcost。因为PQRS亦为一正方形，所以QR亦等于rcost。利用AQ和QR的关系，就可以绘画出曲面ABD和CBD的
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