《直线与圆》常见考点及题型分析.doc

直线与圆常见考点及题型分析江苏如东高级中学 刘宏业1.热点透析解析几何涉及直线与圆和圆锥曲线两部分内容，是衔接初等数学和高等数学的纽带，是运用“数”研究“形”。（1）近几年高考的热点：第一部分是直线的方程。需要掌握直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（如点斜式、两点式和一般式等），两直线位置关系（平行、垂直）的判定和应用。第二部分是圆的方程。需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等。第三部分是直线和圆、圆与圆的位置关系。需要掌握直线与圆、圆与圆的位置关系中基本量的计算。（2）近几年常考的题型：主要是一道选择题或填空题，单独出解答题的概率不大，然而有可能作为解答题的背景或渗透在解答题的第（1）问中。2.热点题型分类精讲题型一：求直线的倾斜角或斜率例1.（2014，安徽）过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.解析：易知直线l的斜率存在，所以可设l：y1k(x)，即kxyk10.因为直线l圆x2y21有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离1，即k2k0，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围是.故选D评注：直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.题型二：求直线的方程例2.（2014，福建）已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30解析：由直线l与直线xy10垂直，可设直线l的方程为xym0.又直线l过圆x2(y3)24的圆心(0，3)，则m3，所以直线l的方程为xy30，故选D.评注：若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.题型三：求圆的方程例3.（2014，陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解析：由圆C的圆心与点(1，0)关于直线yx对称，得圆C的圆心为(0，1)又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.例4.（2014，山东）圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_解析：因为圆心在直线x2y0上，所以可设圆心坐标为(2b，b)又圆C与y轴的正半轴相切，所以b0，圆的半径是2b.由勾股定理可得b2()24b2，解得b1.又因为b0，所以b1，所以圆C的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C的标准方程是(x2)2(y1)24.评注：求圆的方程的两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数题型四：直线与圆的位置关系例5.（2014，江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：由题意可得，圆心为(2，1)，r2，圆心到直线的距离d ，所以弦长为22 .例6.（2014，浙江）已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A2 B4 C6 D8解析：圆的标准方程为(x1)2(y1)22a，r22a，则圆心(1，1)到直线xy20的距离为.由22()22a，得a4, 故选B.例7.（2014，湖北）直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.解析：依题意得，圆心O到两直线l1：yxa，l2：yxb的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即1sin 45，得 |a|b|1.故a2b22.例8.（2014，全国）直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_解：根据题意，OAPA，OA，OP，所以PA2 ，所以tanOPA，故tanAPB，即l1与l2的夹角的正切值等于.评注：解决圆与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，要用平面几何中有关圆的性质，养成勤画图的良好习惯.题型五：圆与圆的位置关系例9.（2014，湖南）若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19 C9 D11解析：依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|5.又r11，r2，由r1r215，解得m9. 故选 C题型六：求轨迹的方程例10.（2014，全国新课标卷）已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x，2y)由题设知CMMP0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2 ，O到直线l的距离为，故|PM|，所以POM的面积为.评注：解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.题型七：最值问题例11.（2014，北京）已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4解析：由图可知，圆C上存在点P使APB90，即圆C与以AB为直径的圆有公共点，所以1m1，即4m6.故选B例12.（2014，四川）设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A，2 B，2 C，4 D2，4 解析：由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210，即|PA|PB|AB|.又|PA|PB|2 ，所以|PA|PB|，2 ，故选B.例13.（2013，江西师大附中）已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点， 是圆心，那么四边形面积的最小值是( )AB C D解析：由题意，圆的圆心是C（1，1），半径为1，PA=PB。易知四边形面积,故PA最小时，四边形面积最小。由于,故PC最小时，PA最小。此时CP垂直直线， 四边形面积的最小值是.例14.（2014，江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：(1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60), C(170，0)，直线 BC 的斜率kBCtanBCO.又因为 ABBC, 所以直线AB的斜率kAB.设点 B 的坐标为(a，b)，则kBC， kAB，解得a80, b120，所以BC150.因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OMd m (0d60)由条件知， 直线BC的方程为y(x170)，即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时， r 最大， 即圆面积最大，所以当OM10 m时， 圆形保护区的面积最大评注：解决最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.与圆有关的最值问题的求法：(1)圆O外一点A到圆上一点的距离的最小值为|AO|r，最大值为|AO|r；(2)求axby(其中(x，y)为圆上点)的取值范围转化为直线与圆的位置关系；(3)求(其中(x，y)为圆上点)的最值，可转化为求直线的斜率；(4)求(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题专题专项训练（一）一、选择题（共6个小题,每小题6分，共36分）1若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B. C. D.2已知点A(1,3)，B(2，1)若直线l：yk(x2)1与线段AB相交，则k的取值范围是()Ak Bk2 Ck或k2 D2k3.若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是()Ax2y30 Bx2y50 C2xy40 D2xy04. 设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为()A1 B. C2 D.5. 设点P(x，y)是圆(x2)2y21上的任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A6 B25 C26 D366两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”已知直线l1：2xya0，l2：2xya210和圆：x2y22x40相切，则a的取值范围是()Aa7或a或a C3a或a7 Da7或a0)经过点(1，)(1)求圆C的方程；(2)是否存在经过点(1,1)的直线l，它与圆C相交于A，B两个不同点，且满足关系(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由13（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x5上圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r113；圆弧C2过点A(29，0)(1) 求圆弧C2所在圆的方程；(2) 曲线C上是否存在点P，满足PAPO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l：xmy140与曲线C交于E、F两点，当EF33时，求坐标原点O到直线l的距离答案：一、选择题：1、由l1l2知3a(a2)且2a6(a2)，2a218，求得a1，l1：xy60，l2：xy0，两条平行直线l1与l2间的距离为d.故选B.2、由已知直线l恒过定点P(2,1)，如右图若l与线AB相交，则kPAkkPB，kPA2，kPB，2k.故选D.3、结合圆的几何性质易知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y2(x1)，整理得x2y50. 故选B.4、依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x4y30的距离，即2，而四边形PACB的面积等于2SPAC2(|PA|AC|)|PA|AC|PA|，因此四边形PACB的面积的最小值是，故选D.5、设Q(5，4)，圆的圆心为C(2,0)易知(x5)2(y4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，4)的距离的平方，由于点P在圆(x2)2y21上，故所求的最大值是(|QC|1)236.故选D6、两条平行线与圆都相交时，由得a，两条直线都和圆相离时，由得a7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围3a或a7，故选C.二、填空题：7、直线axy10过定点C(0，1)，当直线处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，即应满足a或a，得a2或a1.8、由题意知：C1(0,0)，C3(3,4)，|C1C3|5，又r1r31，r2.又|C1C2|1，C2.圆C2的方程为2(y2)2.9、解法1：设所求直线方程为1(a0)， 1， a.又a2.Sab (b2)4248. 当且仅当b2，即b4时S最小此时a4，b4，故xy40为所求直线方程解法2：设所求直线方程为y2k(x2)，显然k0，由题意，S|2k2| 42(k)8.当且仅当k1时取等号，故xy40为所求直线方程10、依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：xy70和l2：xy50距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式得，|m7|m5|即m6，所以l的方程为xy60，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为3.三、解答题：11、(1) 若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意若直线l1斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即2，解得k.所求直线方程是x1或3x4y30.(2)解法1：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M. AMAN 6为定值故AMAN是定值，且为6.解法2：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得N.再由得(1k2)x2(2k28k6)xk28k210.x1x2，得M.以下同解法1.解法3：连结CA并延长交l2于点B，kAC2，kl2，CBl2.如图所示，AMCABN，则，可得AMANACAB26，是定值12、(1)由圆C：x2y2r2，再由点(1，)在圆C上，得r212()24，所以圆C的方程为x2y24.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y1k(x1)，联立消去y得：(1k2)x22k(k1)xk22k30，由韦达定理得x1x22，x1x21，y1y2k2x1x2k(k1)(x1x2)(k1)23，因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得xy4，xy4，由得，x0，y0，由于点M也在圆C上，则()2()24，整理得3x1x2y1y24，即x1x2y1y20，所以1(3)0，从而得，k22k10，即k1，因此，直线l的方程为y1x1，即xy20.若直线l的斜率不存在，则A(1，)，B(1，)，M(，)。()2()244，故点M不在圆上与题设矛盾。综上所知：k1，直线方程为xy20.13、(1) 由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2y2169.令x5，解得M(5，12)，N(5，12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2y228x290.(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PAPO，得(x29)2y230(x2y2)，即x2y22x290.由解得x70(舍去)；由解得x0(舍去)所以这样的点P不存在(3) 因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r113，r215，因为EF2r1，EF2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF15，即18，解得d2，所以点O到直线l的距离为.专题专项训练（二）一、选择题（共6个小题,每小题6分，共36分）1直线axy2a0与圆x2y29的位置关系是()A相离 B相切 C相交 D不确定2点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)213圆心在抛物线x22y(x0)上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是()Ax2y2x2y10 Bx2y22xy10Cx2y2x2y0 Dx2y22xy04已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是()A(，) B，) C，2) D，2)5在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10 C15 D206若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是()A12，12 B1，3 C1,12 D12，3二、填空题（共4个小题，每小题6分，共24分）7已知直线l：2x4y30，P为l上的动点，O为坐标原点若2，则点Q的轨迹方程是_8当过点P(1，2)的直线l被圆C：(x2)2(y1)25截得的弦最短时，直线l的方程为_9在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_10已知AC、BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_三、解答题（共40分）11（13分）自点A(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2y24x4y70相切求：(1) 光线l和反射光线所在的直线方程；(2) 光线自A到切点所经过的路程12（13分）如图，已知点A(1，0)与点B(1，0)，C是圆x2y21上的动点，连结BC并延长至D，使得CDBC，求AC与OD的交点P的轨迹方程13（14分）已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1) 求证：AOB的面积为定值；(2) 设直线2xy40与圆C交于点M、N，若|OM|ON|，求圆C的方程；(3) 在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：xy20和圆C的动点，求|PB|PQ|的最小值及此时点P的坐标答案：一、选择题：1、直线axy2a0a(x2)y0，即直线恒过点(2,0)，点(2,0)在圆内，所以直线与圆相交，故选C.2、设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以(2x4)2(2y2)24，即(x2)2(y1)21.故选A. 3、设圆心坐标为(x00)抛物线x22y的准线方程为y，由题意知，x0x01，所求圆的圆心坐标为，半径为1.所求圆的方程为(x1)21，化为一般式为x2y22xy0.故选D.4、当|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OAOB，AOB120，从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1，此时k；当k时，|，又直线与圆x2