广东省中山一中等七校高考数学模拟试卷 文（含解析）.doc

广东省中山一中等七校2015届 高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集u=r，集合a=x|2x1，b=x|4x1，则ab等于（）a（0，1）b（1，+）c（4，1）d（，4）2（5分）已知i为虚数单位，复数z=i（2i）的模|z|=（）a1bcd33（5分）在等差数列an中，已知a1+a7=10，则a3+a5=（）a7b8c9d104（5分）、是两个非零向量，0是与的夹角为锐角的（）条件a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件5（5分）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）a5和1.6b85和1.6c85和0.4d5和0.46（5分）如果直线l、m与平面、满足：l=，l，m和m，那么必有（）a且lmb且mcm且lmd且7（5分）如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）abcd8（5分）定义一种运算符号“”，两个实数a，b的“ab”运算原理如图所示，若输人a=2cos，b=2，则输出p=（）a2b0c2d49（5分）在长为12cm的线段ab上任取一点c现作一矩形，邻边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）abcd10（5分）如图，p（x0，f（x0）是函数y=f（x）图象上一点，曲线y=f（x）在点p处的切线交x轴于点a，pbx轴，垂足为b若pab的面积为，则 f（x0）与f（x0）满足关系式（）af（x0）=f（x0）bf（x0）=f（x0）2cf（x0）=f（x0）df（x0）2=f（x0）二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分，其中1415题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分11（5分）已知函数f（x）=，则ff（）的值是12（5分）若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是13（5分）已知cos=，cos（）=，且0，则cos=【坐标系与参数方程】14（5分）在极坐标系中，圆=4cos的圆心到直线=（r）的距离是【几何证明选讲】15如图，点b在o上，m为直径ac上一点，bm的延长线交o于n，bna=45，若o的半径为2，oa=om，则mn的长为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知向量=（sinx，cisx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=（）求函数f（x）单调增区间；（）若x，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值17（12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，点o是对角线ac与bd的交点，m是pd的中点，ab=2，bad=60（1）求证：om平面pab；（2）求证：平面pbd平面pac；（3）当四棱锥pabcd的体积等于时，求pb的长19（14分）已知等差数列an的公差为1，且a2+a7+a12=6，（1）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（2）将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为tn，若存在mn*，使对任意nn*总有sntm+恒成立，求实数的取值范围20（14分）已知抛物线y2=4x，过点m（0，2）的直线l与抛物线交于a、b两点，且直线l与x交于点c（1）求证：|ma|，|mc|、|mb|成等比数列；（2）设，试问+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由21（14分）设函数f（x）=a2x2（a0），g（x）=blnx（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线xy3=0距离的最小值为，求a的值；（2）关于x的不等式（x1）2f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）kx+m和g（x）kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”设，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由广东省中山一中等七校2015届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集u=r，集合a=x|2x1，b=x|4x1，则ab等于（）a（0，1）b（1，+）c（4，1）d（，4）考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出a中不等式的解集确定出a，找出a与b的交集即可解答：解：由a中的不等式变形得：2x1=20，解得：x0，即a=（0，+），b=（4，1），ab=（0，1）故选：a点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知i为虚数单位，复数z=i（2i）的模|z|=（）a1bcd3考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论解答：解：z=i（2i）=2i+1，|z|=，故选：c点评：本题主要考查复数的有关概念的计算，比较基础3（5分）在等差数列an中，已知a1+a7=10，则a3+a5=（）a7b8c9d10考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：在等差数列an中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值解答：解：在等差数列an中，a1+a7=10，a3+a5=a1+2d+a1+4d=a1+（a1+6d）=a1+a7=10故选：d点评：本题考查等差数列的两项和的求法，是基础题，解题要注意等差数列的性质的灵活运用4（5分）、是两个非零向量，0是与的夹角为锐角的（）条件a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：证明题分析：先看当 0时，能否推出与的夹角是否为锐角，再看当与的夹角为锐角时，0是否一定成立，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断解答：解：当 0时，与的夹角可能为锐角，也可能为零角，故充分性不成立当与的夹角为锐角时，0一定成立，故必要性成立综上，0是与的夹角为锐角的必要而不充分条件，故选b点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，两个向量的数量积的概念、两个向量的数量积与两个向量的夹角的关系5（5分）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）a5和1.6b85和1.6c85和0.4d5和0.4考点：茎叶图；众数、中位数、平均数 专题：图表型分析：根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可解答：解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8485）2+（8785）2=1.6故选b点评：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题6（5分）如果直线l、m与平面、满足：l=，l，m和m，那么必有（）a且lmb且mcm且lmd且考点：空间中直线与平面之间的位置关系 分析：m和m，l=，l然后推出lm，得到结果解答：解：m和m，l=，llm，故选a点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，基础题7（5分）如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，根据侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，根据正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，分别计算棱柱和三棱锥的体积，作差求解解答：解：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，由侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，三棱柱的体积为=2，由正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，三棱锥的体积为111=，几何体的体积v=22=故选a点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量8（5分）定义一种运算符号“”，两个实数a，b的“ab”运算原理如图所示，若输人a=2cos，b=2，则输出p=（）a2b0c2d4考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：算法的功能是求p=的值，利用三角诱导公式求得a、b的值，代入计算可得答案解答：解：由程序框图知，算法的功能是求p=的值，a=2cos=2cos=1b=2，p=2（1+1）=4故选：d点评：本题考查了选择结构的程序框图，判断算法的功能是关键9（5分）在长为12cm的线段ab上任取一点c现作一矩形，邻边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：设ac=x，则bc=12x，由矩形的面积s=x（12x）20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求解答：解：设ac=x，则bc=12x（0x12）矩形的面积s=x（12x）20x212x+2002x10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率p=故选c点评：本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题10（5分）如图，p（x0，f（x0）是函数y=f（x）图象上一点，曲线y=f（x）在点p处的切线交x轴于点a，pbx轴，垂足为b若pab的面积为，则 f（x0）与f（x0）满足关系式（）af（x0）=f（x0）bf（x0）=f（x0）2cf（x0）=f（x0）df（x0）2=f（x0）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义：f（x0）为曲线y=f（x）在x=x0处切线的斜率，写出切线方程，令y=0，求出a点的坐标，分别求出ab，pb长，运用三角形的面积公式，化简即可解答：解：设a的坐标为（a，0），由导数的几何意义得：f（x0）为曲线y=f（x）在x=x0处切线的斜率，故p点处的切线方程为yf（x0）=f（x0）（xx0），令y=0，则0f（x0）=f（x0）（xx0），即x=x0，即a=x0，又pab的面积为，abpb=，即（x0a）f（x0）=1，f（x0）=1即f（x0）=f（x0）2，故选b点评：本题是导数的一个应用：求切线方程，关键是先确定切点，其次是切线的斜率，同时考查基本的运算化简能力，是一道基础题二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分，其中1415题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分11（5分）已知函数f（x）=，则ff（）的值是考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值 分析：先求，故代入x0时的解析式；求出=2，再求值即可解答：解：，故答案为：点评：本题考查分段函数的求值问题，属基本题求f（f（a）形式的值，要由内而外12（5分）若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（4，2）考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点b（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，目标函数的斜率大于x+y=2的斜率且小于直线2xy=1的斜率即12，解得4k2，即实数k的取值范围为（4，2），故答案为：（4，2）点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键13（5分）已知cos=，cos（）=，且0，则cos=考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题；三角函数的求值分析：通过、的范围，求出的范围，然后求出sin，sin（）的值，即可求解cos解答：解：因为cos=，cos（）=，且0，0所以sin=，（0，），sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧，考查计算能力【坐标系与参数方程】14（5分）在极坐标系中，圆=4cos的圆心到直线=（r）的距离是1考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：先将极坐标方程化为普通方程，可求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出答案解答：解：圆=4cos，2=4cos，化为普通方程为x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4，圆心的坐标为（2，0）直线=（r），直线的方程为y=x，即xy=0圆心（2，0）到直线xy=0的距离=1故答案为：1点评：正确化极坐标方程为普通方程及会利用点到直线的距离公式是解题的关键【几何证明选讲】15如图，点b在o上，m为直径ac上一点，bm的延长线交o于n，bna=45，若o的半径为2，oa=om，则mn的长为2考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：根据圆心角aob和圆周角anb对应着相同的一段弧，得到角aob是一个直角，根据所给的半径的长度和oa，om之间的关系，求出om的长和bm的长，根据圆的相交弦定理做出结果解答：解：bna=45，圆心角aob和圆周角anb对应着相同的一段弧，aob=90，o的半径为2，oa=om，om=2，在直角三角形中bm=4，根据圆内两条相交弦定理有4mn=（2+2）（22），mn=2，故答案为：2点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查圆的相交弦定理和直角三角形的勾股定理，本题是一个非常好的题目，考查的知识点比较全面，没有易错点三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知向量=（sinx，cisx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=（）求函数f（x）单调增区间；（）若x，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（）利用向量的数量积求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求出单调区间；（）由三角函数的图象与性质，结合区间x，求函数f（x）的最值以及对应x的值解答：解：（）=当，kz，即，kz，即，kz时，函数f（x）单调递增，函数f（x）的单调递增区间是，（kz）；（）f（x）=sin（2x+）+，当时，当时，f（x）取得最小值0，此时2x+=，当时，f（x）取得最大值，此时2x+=，点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题17（12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率考点：用样本的频率分布估计总体分布；分层抽样方法；等可能事件的概率 专题：应用题分析：（1）利用独立性检验的基本思想，只要在每个年龄段计算它们节能意识强的概率，若差距较大说明与年龄有关，也可利用|adbc|的值的大小来直观判断；（2）先利用统计数据计算在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率，再由总体乘以概率即可得总体中年龄大于50岁的有多少人；（3）先确定抽样比，即每层中应抽取，故再抽到的5人中，一人年龄小于50，4人年龄大于50，从中取两个，求恰有1人年龄在20至50岁的概率为古典概型，利用古典概型的概率计算公式，分别利用列举法计数即可得所求概率解答：解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为年龄大于50岁的约有（人）（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的（人），年龄大于50岁的51=4人，记这5人分别为a，b1，b2，b3，b4从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a，b1），（a，b2），（a，b3），（a，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4），设a表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则a中的基本事件有4种：（a，b1），（a，b2），（a，b3），（a，b4）故所求概率为点评：本题主要考查了独立性检验的基本思想，对统计数据的理解和应用，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，分层抽样的定义和运用，属基础题18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，点o是对角线ac与bd的交点，m是pd的中点，ab=2，bad=60（1）求证：om平面pab；（2）求证：平面pbd平面pac；（3）当四棱锥pabcd的体积等于时，求pb的长考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明bd平面pac，即可证明平面pbd平面pac；（3）利用四棱锥pabcd的体积等于时，求出四棱锥pabcd的高为pa，利用paab，即可求pb的长解答：（1）证明：在pbd中，o、m分别是bd、pd的中点，om是pbd的中位线，ompb，（1分）om平面pab，pb平面pab，（3分）om平面pab（4分）（2）证明：底面abcd是菱形，bdac，（5分）pa平面abcd，bd平面abcd，bdpa（6分）ac平面pac，pa平面pac，acpa=a，bd平面pac，（8分）bd平面pbd，平面pbd平面pac（10分）（3）解：底面abcd是菱形，ab=2，bad=60，菱形abcd的面积为，（11分）四棱锥pabcd的高为pa，得（12分）pa平面abcd，ab平面abcd，paab（13分）在rtpab中，（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力19（14分）已知等差数列an的公差为1，且a2+a7+a12=6，（1）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（2）将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为tn，若存在mn*，使对任意nn*总有sntm+恒成立，求实数的取值范围考点：等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合 专题：计算题分析：（1）先利用a2+a7+a12=6以及等差数列的性质，求出a7=2，再把公差代入即可求出首项，以及通项公式和前n项和sn；（2）先由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得tm，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及sntm+恒成立，即可求实数的取值范围解答：解：（1）由a2+a7+a12=6得a7=2，所以a1=4（4分）an=5n，从而（6分）（2）由题意知b1=4，b2=2，b3=1（18分）设等比数列bn的公比为q，则，随m递减，tm为递增数列，得4tm8（10分）又，故（sn）max=s4=s5=10，（11分）若存在mn*，使对任意nn*总有sntm+则108+，得2（14分）点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，以及数列与函数的综合问题，属于基础知识的大综合20（14分）已知抛物线y2=4x，过点m（0，2）的直线l与抛物线交于a、b两点，且直线l与x交于点c（1）求证：|ma|，|mc|、|mb|成等比数列；（2）设，试问+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；等比关系的确定 专题：计算题；证明题分析：（1）设直线l的方程为：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|ma|，|mc|、|mb|成等比数列，从而解决问题（2）由，得，从而利用x1，x2，及k来表示，最后结合（1）中根系数的关系即得故+为定值解答：解：（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k0），联立方程可得得：k2x2+（4k4）x+4=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则，而，|mc|2=|ma|mb|0，即|ma|，|mc|、|mb|成等比数列（7分）（2）由，得，即得：，则由（