2011年—2012学年上学期抽象函数专题讲座.doc

2011年2012学年上学期抽象函数专题讲座 高一年级数学 王丕勇抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。一.抽象函数定义域1已知的定义域，求的定义域其解法是：若的定义域为，则在中，从中解得的取值范围即为的定义域例1.已知函数的定义域为，求的定义域解：的定义域为，故函数的定义域为2、已知的定义域，求的定义域其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域例2已知函数的定义域为，求函数的定义域解：由，得令，则，故的定义域为二.抽象函数表达式与函数值1. 换元法.例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)解:令t=1+ x2 原式即为：2.待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,则f(2001)=_.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,三、抽象函数的模型构造1、线性函数型抽象函数f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）例6、已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，求在区间2，1上的值域。解：设，则，当时，即，为增函数在条件中，令yx，则，再令xy0，则， ，故，为奇函数，又，的值域为4，2。2、指数函数型的抽象函数 f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）例7定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数解：（1）在中，令得：因为，所以，（2）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件可化为：由于，所以为比较的大小，只需考虑的正负即可在中，令，则得 时， 当时，又，所以，综上，可知，对于任意，均有 函数在R上单调递减（3）如3、对数函数型的抽象函数f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例8、已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有，当且仅当时，成立，（1）设，求证；（2）设，若，试比较与的大小；（3）解关于的不等式证明：（1），（2），即当且仅当时，成立，当时，（3）令代入得，关于的不等式为，由（2）可知函数在定义域上是减函数，由得，当时，此时成立；当时，此时成立；当，此时成立。4、幂函数型的抽象函数 -，；例9.已知定义在上的函数f(x)对任何x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1时,有f(x)f(x2),故f(x)在R+上为减函数.(3)由（2）知函数在定义域内是单调递减的不等式f()即为学生练习：一填空题1. 若的定义域为，则的定义域为 2.若函数的定义域为,则函数的定义域为 3、函数f(x)的定义域为，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 4（1）已知是一次函数，且满足， = ；（2）已知，= ；答案：（1） （2）（或）。5.已知是定义在R上的偶函数,且在是增函数,则不等式的解集是_.解:由已知O 1 2 3 xy.6.已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_；7._ 20008设f (x)是定义在R上的函数。对任意x1，x2，都有f (x1x2)f (x1)f (x2)，且f(1)a0的值为_ 解： 由知：0，x0，1 ，f (1)a0，二、解答题9、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式的解.解：先证明函数f（x）在R上是增函数；再求出f（1）3；最后脱去函数符号.得10.设定义在R上的函数f(x),满足当x0时,f(x)1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先证f(x)0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0时f(x)1,所以f(0)=1.f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)0任取x1,x2R且x10,f(x2-x1)1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10.所以xR时,f(x)为增函数. 解得:x|1x0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调增函数;(3)若且,求证:. (1)解: 对任意,有0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调增函数.(3) 由（1）（2）知，而12.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；解:（1）由已知对于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函数.（2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知f(x)在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函