初一数学竞赛系列讲座[1].doc

马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱：初一数学竞赛系列讲座应用题（一）（上）知识要点应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。列方程(组)解应用题的一般步骤是：(1) 弄清题意和题目中的数量关系，(2) 用字母表示题目中的一个未知数；(3) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(4) 根据这个相等关系列出方程；(5) 解这个方程，(6) 求出未知数的值；(7) 写出答案(包括单位名(8) 称)。3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度 时间=路程4、数字类问题数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2。例题精讲例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析 本题用方程来解简单自然。解 设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得(x+y)( +)=9+所以 x+y= (3)(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-所以 x-y= (4)由(3)、(4)得 x=所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。例2 公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。例3 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。解：如图，设小镇为D，傍晚汽车在E 休息 A D C E B由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD =DC 又由已知，EB=CE两式相加得：AD+ EB=DE因为DE=400千米，所以AD+ EB= 400=200千米，从而A、B两市相距400+200=600千米评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。例4 有编号为、的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1 v2 v3 v 0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：(1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；(2) 经过1小时，、号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为解：经过1小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：S i=(vi-v) 1+v 1= vi 1(i=1、2、3)第i号赛艇追上浮标的时间为：(小时)由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是 乙的运动速度是，丙的运动速度是设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有 甲比丙多运动一圈用时40秒，故有 可得到 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距离（）30（ ）10； 乙追上丙所用时间秒所以第110秒时，乙追上丙评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和 时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度差 时间。例6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数。解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7由题意得：3 x+x+ x+7=17，x=2这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926答：这个三位数是926评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。例7 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得解这个方程得：x=857, 999-x=142答：大数为857，小数为142。例8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为，过了1小时里程碑上的数字为，又行驶了1小时里程碑上的数字为，求每次看到的数字和卡车的速度。分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。解：依题意得：-=-，即+=2，所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B因为A、B取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出A、B。例9 在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为，试问擦去的数是什么数？分析：设出擦去的数，用平均值为来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。解：设写出了n个自然数1，2，n中擦去的是k，则由题意得：即因为n是自然数，且n-1必须是17的倍数，所以n=69于是由，可解得k=7，即擦去的数为7。评注：本题运用了放缩原理来得出n的范围，从而确定自然数n的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。巩固练习选择题1、甲、乙二人从M地同时出发去N地，甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走，另一半的时间以每小时b千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b千米的速度行走。若ab，则( )先到达N地。A、甲 B、乙 C、二人同时到达 D、不确定2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是( )A、24千米 B、12千米 C、48千米 D、40千米3、某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地。已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是( )A、2千米/时 B、4千米/时 C、5千米/时 D、6千米/时4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是( )A、43 B、34 C、25 D、525、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是( )A、1.5 B、1.9 C、3.25 D、4.3756、一个插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，如：72中间插入6后变成了762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍，这样的两位数有( ) (第六届祖冲之杯数学邀请赛试题)A、1个 B、4个 C、10个 D、超过10个填空题7、早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时60千米，8点32分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3倍。到了8点39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。则第一辆车是8点 分离开化肥厂的.8、甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地。甲走全程的平均速度是 千米/小时。(第六届迎春杯初赛试题)9、一船从重庆到上海要5昼夜，而从上海到重庆要7昼夜，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要 昼夜10、一个六位数的4倍是，则这个六位数是11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于29、23、21、19，则这四个数中最大的一个是12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，则这样的两位自然数的个数是解答题13、一列客车的速度是60千米/时，一列货车的速度是45千米/时，货车比客车长135米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是1分30秒，求各车的长度；如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？14、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔分钟相遇一次，若反向跑步则每隔40秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快)。15、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩托车行8小时，恰好也到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？(第四届华杯赛初赛试题)16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，问慢车每小时走多少千米？(第一届华杯赛决赛试题)17、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为5，求这个两位数。18、一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是它的数字和的m倍,求m的值。19、一个两位数的十位数字小于个位数字，当数字交换位置后所得的新的两位数与原数之和大于70而小于90，求这样的两位数。20、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必得一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求原来的三位数。（下）知识要点1、工程类问题 工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率工作时间=工作总量 解工程问题时常将工作总量当作整体“1”2、溶液类问题 溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。 溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。 溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。 溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是：2 例题精讲例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题)解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米，由条件可得： 解得如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为： 评注：本题设了三个未知数a、b、c，但只列出两个方程。实质上c是个辅助未知数，在解方程时把c视为常数，解出a，b(用c表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。例2 甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)解：设乙、丙二队合作了x天，丙队与甲队合作了y天。将工程A视为1，则工程B可视为1+25%=5/4，由题意得：，由此可解得x=15答：乙、丙二队合作了15天评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1。例3 牧场上的草长得一样地密，一样地快。70已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天。如果要吃96天，问牛数该是多少？解：设牧场上原来的草的问题是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，所以每头牛每天吃去分母得: 30(1+24x)=28(1+60x) 960x=2x=(头)96天吃完，牛应当是例4 某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过了200只。后来改进技术，每人一天又多做27个零件。这样他们4个人一天所做的零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件。问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件，由题意得 解得 15x17因为 x是整数，所以x=16，而(16+37)163.3故改进技术后的生产效率约是劳动竞赛前的3.3倍。评注：本题所列的是不等式组，不能列成方程。例5 某中学实验室需要含碘2%的碘酒，现有含碘15%的碘酒350克，问应加纯酒精多少克？分析：配比前后碘的含量相同。解：设稀释时需加纯酒精x克，则稀释后有碘酒(350+x)克，由题意得： (350+x)2%=35015%解之得 x=2275答：应加纯酒精2275克。评注：浓度配比问题的相等关系一般是配比前后未发生改变的量，或溶质量不变，或溶剂量不变。所列方程的一般形式是各分量=总量。例6在浓度为x%的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x解：设浓度为x%的盐水为a千克，加水b千克，则由题意得由(2)得 8 (a+b)=7 (a+2b) 即a=6b代入(1)得 6bx=140b 答：x为例7 从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？解：设重量为7千克的合金的含铜百分数为x，重量为3千克的合金的含铜百分数为y，切下的合金的重量是z千克，由题意得：(21-10z) x=(21-10z) y (21-10z) (x-y)=0xy 21-10z=0 z=2.1答：所切下的合金的重量是2.1千克.例8 甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水。求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数。分析：题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未知的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示。解：设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为x%、y%、z%第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出a克盐水，则有a x%+ a y%+ a z%=3a10%从甲和乙中按重量之比为2：3来取盐水时，设从甲中取盐水2m克，从乙中取盐水3m克，则有 2m x%+ 3m y%=(2m +3m)7%从乙和丙中按重量之比为3：2来取盐水时，设从乙中取盐水3n克，从丙中取盐水2n克，则有 3n y%+ 2n z%=(3n+2n)9%将上面三式消去辅助未知数得：答：甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为10%、5%、15%评注：本题中我们假设的未知数a、m、n不是题目所要求的，而是为了便于列方程而设的，这种设元方法叫做辅助未知数法，辅助未知数在求解过程中将被消去。例9组装甲、乙、丙3种产品，需用A、B、C3种零件。每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A和1个C。用库存的A、B、C3种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品、r件丙产品，则剩下2个A和1个B，C恰好用完。求证：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完。（1981年全国高中数学竞赛题）解：由已知，库存的A、B、C3种零件的个数分别为：A种2p+2r+2件，B种2p+q+1件，C种q+r件。假设生产甲x件，乙y件，丙z件恰好将3种零件都用完，则由题意得：(1)+(3)-(2)得：3z=3r+1 它的左边是3的倍数，而右边却是3的倍数加1，矛盾，不成立，所以不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完。评注：本题列出方程组后，没有解出x、y、z，而导出矛盾，而是巧妙地通过方程的加减得出矛盾式3z=3r+1，从而得出结论。所以有些数学问题应从整体上来把握解法。3 巩固练习选择题1、有酒精a升和水b升，将它们混合后取出x升，这x升混合液中含水( ) 升A、 B、 C、 D、2、一件工作，甲、乙、丙合作需7天半完成；甲、丙、戊合作需5天完成；甲、丙、丁合作需6天完成；乙、丁、戊合作需4天完成，那么这5人合作，( )天可以完成这件工作。A、3天 B、4天 C、5天 D、7天3、某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ）A、20 B、25 C、80 D、754、两个相同的瓶子中装满了酒精溶液，第一个瓶子里的酒精与水的体积之比为a:1，第一个瓶子为b:1，现将两瓶溶液全部混和在一起，则混和溶液中酒精与水的体积之比是( ) (安徽省初中数学联赛试题)A、 B、 C、 D、5、某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任务，现有U，V，W的时间分别为10秒，2分和15分，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比，则下面四种执行顺序中使三项任务相对等候时间之和最小的执行是（ ）。（A）U，V，W （B）V，W，U（C）W，U，V （D）U，W，V6、咖啡A与咖啡B按x:y(以重量计)的比例混合。A的原价为每千克50元，B的原价为每千克40元，如果A的价格增加10%，B的价格减少15%，那么混合咖啡的价格保持不变。则x:y为( )A、5：6 B、6：5 C、5：4 D、4：5填空题7、因工作需要，对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整，第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人。则各组原有人数为 8、A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干，8天可完工；若B、C、D、E四人一起干，6天可完工；若A、E二人干，12天可完工，则A一个人单独干 天可完工。 9、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排 人加工甲种部件， 人加工乙种部件， 人加工丙种部件。10、容积为V的容器盛酒精溶液，第一次倒出后，用水加满。第二次倒出后，再用水加满，这时它的浓度为20%，则原来酒精溶液的浓度为 11、若干克含盐4%的盐水蒸去一些水分后变成了含盐为10%的盐水，再加进300克含盐4%的盐水