新课标七年级数学竞赛讲座 第29讲 最值问题.docx

第二十九讲 最值问题 求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，是数学问题中的一种常见类型，又在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、路程最短、材料最省等，这些问题我们称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的基本知识与基本方法有：1穷举获取；2运用非负数的性质；3利用不等分析逼近求解；4使用几何公理、定理、性质等解这类问题时，既要说明最值可以达到，又要证明不可能比所求的值更大(或更小)，前者需构造一个恰当的例子，后者需要详细说理例题【例1】 设自然数x，y，m，n满足条件，则x+y+m+n的最小值是 (湖北省黄冈市竞赛题)思路点拨 把连等式拆开用，用一个字母的代数式表示另一个字母，利用隐含整除条件，分别求出x，y，m，n的最小值【例2】 设a、b、c满足a2+b2+c2=9，那么代数式(a一b)2+(bc)2+(c一a)2的最大值是( ) A27 B18 C15 D12 (全国初中数学联赛题)思路点拨 利用乘法公式，把代数式变形成与已知条件关联的式子，进而求出最大值【例3】 已知n、k均为自然数，且满足不等式，若对于某一给定的自然数n，只有惟一的一个自然数k使不等式成立，求所有符合要求的自然数中的最大数和最小数 (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 解关于k的不等式组，利用已知条件的约束，通过穷举求出n的最大数与最小数注：解含等式、不等式组成的混合组的基本思路是：用消元法转化为只合有一个未知数的不等式(组)，解不等式(组)来逼近这个未知数的值，进而解出相关问题【例4】某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示若汽车行驶的平均速度为80千米时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元，试指出此人从A城出发到B城的最短路线，并求出所需费用最少为多少元? (全国初中数学竞赛题)思路点拨 即要求出此人从A城出发到B城的最短时间，而从A城到B城有多条线路，故只需一一列举，比较就可得出结论【例5】 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品的所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩 电冰 箱工 时产值(干元)432问：每周生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单位)? (河南省竞赛题)思路点拨 设每周生产空调器、彩电、冰箱各x台、y台、z台，产值为s，可得到关于x、y、z的混合方程组，通过消元，建立一元不等式组，通过解不等式组，确定相应字母取值范围，进而求出x的最大值学力训练1多项式些x2+y2一6x+8y+7的最小值为 (江苏省竞赛题)2在式子中，用不同的x值代人，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值为 3如果把分数的分子、分母分别加上正整数a，b结果等于，那么a+b的最小值是 (第15届江苏省竞赛题)4当x 且y= 时，代数式x2一2y22x+8y一5有最大值，这个最大值是 5若a、b、c、d为整数，且b是正整数，满足b+cd，c+da，a+b=c，那么a+b+c+d的最大值是( ) A一1 B一5 C 0 D16多项式5x24xy+4y2+12x+25的最小值为( ) A4 B 5 C 16 D25 (“五羊杯”竞赛题)7已知，求的最大值和最小值8某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖l0个，三等奖15个学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：品 名小提琴运动服笛 子舞 鞋口 琴相 册笔记本钢 笔单价（元)12080242216654 (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品? (2)学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案?花费最多的一种方案需要多少钱? (江苏泰州市试题)9现有某物质73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问最省运费是多少元? (重庆市竞赛题)10设m，n是非零自然数，并且19n2一98nm0，则m+n的最小值是 (国家理科实验班招生试题)11设a1，a2，ak为k个互不相同的正整数，且a1+a2+ak1995，那么k的最大值是 12a、b、c是非负数，并且满足3a+2b+c5，2a+b3c=1，设m3a+b7c，设x为m的最小值，y为m的最大值，则xy (2003年北京市竞赛题)13甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A、B两市分别用粮1200吨、800吨，需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为6元吨、5元吨；由 乙库到A、B两市的运费分别是9元吨、6元吨，则总运费最少需 元 (北京市“迎春杯”竞赛题)14设a、b、c、d都是整数，且a3b，b5c，c7d，d30，则a的最大可能值是 ( )A3026 B3029 C3045 D3150 (“数学新蕾”竞赛题)15某种出租车的收费标准是：起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费)，超过3千米以后，每增加05千米，加收09元(不足05千米按05千米计)某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费194元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是( )千米 A12 B11 C10 D9 (重庆市竞赛题)16把一根lm长的金属线材，截成长为23cm和13cm的两种规格，用怎样的方案截取材料利用率最高?求出最高利用率（利用率，截口损耗不计） (江苏省竞赛题)17已知a1，a2，a2000的值都是+1或1，设S是这2002个数的两两乘积之和 (1)求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； (2)求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件 (“我爱数学”夏令营竞赛题)186盒火柴按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻2盒必须是以完全重合的面对接，最后得到的包装形状要是一个长方体已知火柴盒的长、宽、高尺寸分别是：a46mm，b36mm，c=16mm，请你给出一种能使表面积最小的打包方式，并画出其示意图19永强加工厂接到一批订单，为完成订单任务，需用a米长的材料440根，b米长的材料480根，可采购到的原料有三种，