（试题 试卷 真题）全国初中数学竞赛试题及答案（2001年）

2001 年全国初中数学联赛 一 选择题 每小题 7 分 共 42 分 1 a b c 为有理数 且等式成立 则62532 cba 2a 999b 1001c 的值是 A 1999 B 2000 C 2001 D 不能确定 2 若 且有 5a2 2001a 9 0 及 则的值是 1 ab0520019 2 bb b a A B C D 5 9 9 5 5 2001 9 2001 3 已知在 ABC 中 ACB 900 ABC 150 BC 1 则 AC 的长为 A B C D 32 32 30 23 4 如图 在 ABC 中 D 是边 AC 上的一点 下面四种情况中 ABD ACB 不一定成立的情况是 A B BDABBCAD ACADAB 2 C ABD ACB D BDACBCAB 5 在实数范围内 一元二次方程的根为 0 2 cbxax a acbb x 2 4 2 在 ABC 中 若 则 ABC 是锐角三角形 在 ABC 和 222 ABBCAC 中 a b c 分别为 ABC 的三边 分别为的三边 若 111 CBA 111 cba 111 CBA 则 ABC 的面积 S 大于的面积 以上三个命题中 111 ccbbaa 111 CBA 1 S 假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 6 某商场对顾客实行优惠 规定 如一次购物不超过 200 元 则不予折 扣 如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的 按标价给予九折优惠 如 一次购物超过 500 元的 其中 500 元按第 条给予优惠 超过 500 元的部分则 给予八折优惠 某人两次去购物 分别付款 168 元和 423 元 如果他只去一次 购物同样的商品 则应付款是 A 522 8 元 B 510 4 元 C 560 4 元 D 472 8 二 填空题 每小题 7 分 共 28 分 1 已知点 P 在直角坐标系中的坐标为 0 1 O 为坐标原点 QPO 1500 且 P 到 Q 的距离为 2 则 Q 的坐标为 2 已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P 则点 P 到两圆外公切线的 距离为 3 已知是正整数 并且 则 yx 120 23 22 xyxyxxy y22 yx 4 一个正整数 若分别加上 100 和 168 则可得到两个完全平方数 这个 正整数为 三 解答题 共 70 分 1 在直角坐标系中有三点 A 0 1 B 1 3 C 2 6 已知直线 上横坐标为 0 1 2 的点分别为 D E F 试求的值使得baxy ba AD2 BE2 CF2达到最大值 20 分 1 证明 若 取任意整数时 二次函数总取整数值 那么xcbxaxy 2 都是整数 cbaa 2 2 写出上述命题的逆命题 并判断真假 且证明你的结论 25 分 3 如图 D E 是 ABC 边 BC 上的两点 F 是 BC 延长线上的一点 DAE CAF 1 判断 ABD 的外接圆与 AEC 的外接圆的位置关系 并证 明你的结论 2 若 ABD 的外接圆的半径的 2 倍 BC 6 AB 4 求 BE 的 长 解答题 1 如图 EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形 两条对角线 EG 和 FH 所 夹的锐 角为 且 BEG 与 CFH 都是锐角 已知 EG k FH 四边形 EFGH 的面l 积为 S 1 求证 sin kl S2 2 试用来表示正方形的面积 Slk 2 求所有的正整数 a b c 使得关于 x 的方程 023 2 baxx A A B BC C D D E E F F G G H H O O 023 2 cbxx 的所有的根都是正整数 023 2 acxx 3 在锐角 ABC 中 AD BC D 为垂足 DE AC E 为垂足 DF AB F 为垂足 O 为 ABC 的外心 求证 1 AEF ABC 2 AO EF 4 如图 在四边形 ABCD