高二数学联赛讲座-三角最值(教师版2).doc

高二数学联赛讲座-三角函数及其最值一、知识回顾本节公式中，s=1/2(a+b+c),r为内切圆半径，R为外接圆半径，为三角形面积.（一).三角形中的各种关系设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C1角与角关系：A+B+C = ，2边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b3边与角关系：1）正弦定理 2）余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA它们的变形形式有：a = 2R sinA，3）射影定理： abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBccosA面积公式：三角形内角定理的变形由ABC，知A（BC）可得出：sinAsin（BC），cosAcos（BC）而有：，（二）映射和函数的概念，函数的单调性二例题讲解1已知函数ysin2xacos2x的图像关于直线对称，则函数yasin2x-cos2x的图象关于下列各点中对称的是（）A（，0） B（，0）C（，0） D（，0） 分析 sin2xacos2x 这就是说将函数ysin2xacos2x的图像向右平移个单位就可以得到函数yasin2x-cos2x的图象，再由已知得函数yasin2x-cos2x的图象关于直线对称，即关于直线对称，记f (x)= asin2x-cos2x,则有，得，即，所以方程的解就是函数yasin2x-cos2x的图象的对称点的横坐标， 由，容易检验，只有选项B适合.评注 正弦曲线的对称轴一定通过曲线的最高点或最低点，其对称点就是函数的零点。2. 函数y =的图像是（） 分析 该函数的定义域为,淘汰选项C和D; 又由其图象知当x =0时，y=0，所以选A. 评注 检验法是解选择题，填空题常用的极为有效地方法.练习 求周长为l的直角三角形内切圆半径的最大值3 已知定义在实数R上的函数不恒为零，同时满足且当x0时，那么当时，一定有（ ）.A、B、C、D、 分析 令x = y =0,得f (0) = f(0)f(0), 又，所以f (0) =1; 再令y = - x , 得 f (0) = f (x)f(-x) =1, 又对一切恒成立，设x 0, 由已知得 f (- x) 1, 所以 0 0,则 得 ，又，所以的取值范围是2，65 函数的图象如图所示，其定义域为-4，4，那么不等式的解集为 。 分析 函数y = sinx 在区间或上取正值，在区间或上取负值， 在数轴上分别标出函数f (x), sinx在区间-4，4上的零点， 容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉sinx的零点，于是的解集为.6非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边，求的取值范围.解：由正弦定理 得BC是最长边，且三角形为非等边三角形 , 又 , 故 的取值范围为（已用）7 如图，已知在等边ABC中，AB3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设AOM(60120)，当分别为何值时，取得最大值和最小值解：由题意可知：OAM30，则AMO180（30）由正弦定理得：，又OA= 同理： 60120，2sin2故当60或120时，的最小值为；当90时，的最大值为2（已用）8在锐角中，角A、B、C成等差数列，（）证明：；（）试比较与的大小，并说明理由。分析（）证明 （）解 因为A、B、C成等差数列，所以B= 又= = A-C ，, 当A 所以 当AC时，A=，C= ， =1 ， 所以, 综合得 （已用）9设、为常数，：把平面上任意一点 （，）映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？证明(1)假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即 对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当时，可得常数a0，b0，使。由于为常数，设是常数.从而。（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆三课后练习1ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c ，满足，则ABC的三内角中最大的角为（ ）A90 B120 C135 D150 分析 由已知得，所以角C最大， ，选C2函数的最小正周期是（ ）ABCD 选D3已知定义在1，1上的函数的值域为2，0，则函数的值域为（ ）A1，1B3，1C2，0D不能确定 分析 ，选C4ABC中，的大小为（ ）ABC或D 分析 将上述两个式子平方后相加得 sin(A+B)=, 即 ，则C=或,若C=，则0A+B=, 所以0A3cosA,矛盾. 选A使不等式sin2xacosxa21cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是_(2002年联赛) 原不等式可化为：（cosx-(a-1)/2)）2a2+(a-1)2/4.-1cosx1,a0,a-1/20,当cosx=1时，函数y=(cosx-(a-1)/2)2有最大值(1-(a-1)/2)2，从而有(1-(a-1)/2)2a2+(a-1)2/4，整理得a2+a-20,a1或a-2.又a0,a-2.5已