易拉罐的优化设计.doc

易拉罐的优化设计孟苓辉（北京交通大学 数学系 信息与计算科学 0702班）摘要： 我们对日程生活中常用的易拉罐测量不难发现，大多数易拉罐都是同样的尺寸和设计，容积都在355ml左右，不难发现易拉罐的设计有一定的规律，其实这里面也蕴藏着数学的最优化思想。不考虑其它因素，仅就易拉罐形状和尺寸变化，考虑其基本用料最省的数学结论，这样对实际易拉罐的设计有一定参考意义，所以我们的目的是在一定的体积条件下，运用最优化思想使我们所用的材料最省，即求表面积最小时易拉罐的各个参数大小。先通过测量实际355ml易拉罐的各部分数据，以该数据为参考，我们分别假设易拉罐为一个正圆柱体，通过数学极值思想算出大体数据，再考虑实际，假设易拉罐是由一个正圆台和一个正圆柱组成，再通过数值分析及空间几何的知识列出优化模型，再通过数学软件求解进行优化求解，得出结论。最后从其他角度（美学、经济学）方面对易拉罐设计进行了大胆的创新设想，并对模型进行改进求解，综合分析进行最优设计。关键词： 易拉罐；最优设计；数学模型；数学软件；极值Optimized Design of Cans Shape and SizeLing hui MengAbstract: Our schedule of life measurement commonly used in cans is not difficult to find that most of the cans are the same size and design are in 355ml volume is about the design of cans is not difficult to find a certain pattern, in fact, it is also hidden inside the mathematics of the most Optimization of thinking. Without considering other factors, just from the shape and size of cans change, considering the basic materials of the province of the mathematical conclusion, so that the design of the actual cans have a certain reference value, so our aim is to a certain size conditions, the use of optimization thinking so that the materials we use most provinces, namely, the surface area seeking the most hours of the various parameters of the size of cans. First by measuring the actual 355ml cans of the various parts of data to the data as a reference, we assume that cans were positive for a cylinder, through mathematics in general the data calculated extreme ideology, and then consider the actual, assuming cans is a perfect circle desk and a positive cylindrical form, and through numerical analysis and knowledge of space geometry optimization model are listed, and then optimized by solving mathematical software solving, draw a conclusion. Finally from the other perspective (aesthetic, economic) aspects of the design of the cans bold innovative ideas, and improve the model solution, a comprehensive analysis of optimal designKeywords: cans; optimal design; mathematical model; mathematical software; extra在现在的饮料市场，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这是不是偶然呢？显然，这不是一个偶然的，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就让我们一起来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，我们应该完成以下的任务：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；先设易拉罐是一个正圆柱体,然后建立模型求解，对易拉罐的参数有个整体把握，求出半径和高之比，等等。再设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，建立模型求解，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。1、 问题的提出 随着科技的发展与社会的进步，工业竞争也日趋激烈，我国每年生产上百亿个易拉罐，生产同样容积的易拉罐，我们要使我们的成本用料最少，这样我们才能在竞争中占据优势，使我国在激烈的国际竞争中立于不败之地，为此，我们对易拉罐在形状和尺寸上进行最优化设计，经过思考提出一下问题：1) 先对形状设计分析，通过模型求解说明为什么选择圆柱体是最优设计。2) 取一个容积为355毫升的易拉罐，测量验证模型所需的数据；3) 设易拉罐是一个正圆柱体。确定它的最优设计。其结果是否可以合理地说测量的易拉罐的形状和尺寸。4) 从实际角度出发，设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。确定它的最优设计。其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。5) 利用对所测量的易拉罐的思考和想象，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 6) 进一步从其他角度去分析改进，使易拉罐的设计更符合消费者的观念和需求，使易拉罐生产者和消费者达到双赢的目的。 2、基本假设 1）本文研究易拉罐在体积一定的条件下，求使所用面积最小的最优化问题，不考虑所用具体材料，也不考虑易拉罐的制造工艺过程。2）第一步先假设易拉罐形状为正圆柱体，通过拉格朗日极值法算得最优化数据，第二步则从实际考虑易拉罐形状为正圆台与正圆柱体的结合。3）问题中假设易拉罐的形状为严格的几何形状，除顶盖比较厚之外，罐的其他部位的材料厚度是相同的。4）易拉罐的厚度均匀的，且远小于它的高度和半径。5）实际测量允许有一定的误差。3、符号说明1）假设易拉罐为正圆柱体时的符号 h：易拉罐的高；r：易拉罐的上下底半径；d：易拉罐金属板的厚度；V：易拉罐的体积；D：易拉罐上下底直径。2）假设易拉罐为正圆柱体与正圆台的的结合时的符号说明 R：易拉罐的正圆柱体半径（也是正圆台下底半径）；h：易拉罐正圆台的高；V1：易拉罐正圆柱体容积；V：易拉罐正圆台的容积；h1:易拉罐正圆柱体高；r：易拉罐正圆台上底半径。4、模型的建立与求解 4.1形状设计分析： 为什么生活中的易拉罐都是圆柱形的呢？下面我们选取集合中最常见的正方体、球体、圆柱体为研究对象，当体积一定时，判断以上哪种最省材料。 1) 正方体： 2）球体： 3）圆柱体（h=2r）： 显而易见:当体积一定时，由以上结论可知： 但在实际生产中为什么不采用球体呢，通过查阅相关资料和参观实际，得出以下几点： （1）球体外包括的体积太大；（2）不便于携带和摆放；（3）制造困难，而采用圆柱体，包括占有的空间体积较小，便于携带，制造相对简单，因此生产商多选用圆柱体。 4.2第一个模型的建立通过查阅相关资料，获得355ml易拉罐的各种数据如表1.355毫升可口可乐上圆台上底59盖厚0.30下底65上圆台侧后0.17高度12正圆柱直径65壁厚0.10高度104下圆台上底50底厚0.30下底65下圆台测厚0.30高度8在本问题的研究中，假设易拉罐是一个正圆柱体，见下图，并假设易拉罐侧面和底面厚度相同，由上面的数据观察，假设顶部的厚度是侧面厚度的3倍，那么易拉罐的最优设计就是使每个易拉罐用料最少，也就是在体积一定的易拉罐中，使正圆柱体的表面积最小。所以一个易拉罐所需材料为：S=侧面的材料+底面的材料+底部的材料，即假设易拉罐的体积V一定，则所需材料为对该模型求解，有是s(r)的最小值点。此时，易拉罐的直径：D=2r=2易拉罐的高上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。即，为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的高与直径之比为2：1是最优设计，次结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸，如我们所测的355毫升的可口可乐易拉罐如青岛啤酒、百事可乐等它们的比例都如此。又如，180毫升的雀巢咖啡高10.5mm，直径54mm（比例为2：1.02）通过这个假设的理想模型，我们得知易拉罐的高与直径的比大体是2：1，可以为后面的研究提供一定的参考与依据。4.3 第二个模型的建立：下面我们假设易拉罐上面是正圆台，下面是正圆柱体，如下图，在（1）中，正圆柱体易拉罐用料最省的形状和尺寸的最优设计是h=2D，已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的圆柱部分确定，所以我们这里可以由此简化问题为研究正圆台部分的优化设计。 我们不妨以常见的355ml易拉罐为例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm，于是测算出V=35ml。于是问题转化为，已知易拉罐上部正圆台体积V一定，底半径R一定时，其上底半径r和高h为何值正圆台的表面积最小，见下图： 求正圆台的面积模型： 正圆台面积=顶盖面积+圆台侧面积 根据圆台体积公式有，即，将h带入面积公式S，有利用Mathematic对S求导，并令导数为0，求得当S取最小值时，得r=1.467,h=1.93时，正圆台表面积最小值s=45.074.4 两个模型的结论通过上面的两个模型，我们可以得出结论： 常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状和尺寸变化用料最少的优化设计标准是： 总高度与底直径之比为2：1 正圆台的高与上底直径之比约为2：3，相应的易拉罐上下底直径之比为2r:2R=1:25、模型的分析与改进 5.1模型分析上述模型不考虑其他因素，仅就易拉罐形状和尺寸变化，考虑其基本用料最省的数学结论，对实际易拉罐的设计有一定参考意义。但上述结果与现今实际易拉罐的尺寸有出入，以355ml百事可乐易拉罐为例，其r=2.9cm,h=1.2cm，我们分析这种差异的原因是易拉罐的实际设计必须要考虑形状和尺寸之外的其他各种因素。 1）加工工艺。可口可乐等铝制易拉罐是“两片”构成(即正圆柱体侧面及底为一部分，上密封盖为一部分，分别简称为“罐体”和“封盖”)。将铝材罐体缩口形成上部圆台部分，为了使“封口盖”能扣紧“罐体”。圆台侧面的坡度(斜率)有一定要求，即为了封口盖的工艺要求，易拉罐上部侧面的(坡度)不能过小。因为若r较小，较小，即圆台侧面坡度小，则从圆罐上口“缩口”成圆台形时，此加工也增加难度(如容易起皱)。 2）外形美观。按上述数学优化计算，易拉罐上下底直径之比1：2，虽然材料省，但上底开口小，形状就不美观。按“黄金分割比例”我们设想，对于正圆柱体易拉罐的高与直径之比取1：04，例如椰汁易拉罐高132mm，直径52mm，其比例恰好为1：04。从外观上看，这种易拉罐更显得条形、别致。3）考虑焊口工作量大小，我们尽可能使焊口工作量最小，这样使生产者成本更低。4）从消费者的手感考虑，易拉罐要能够握住，半周长小于手长且越小越容易被更多的人握住，高大于手宽。5.2模型改进通过对模型的分析我们设计新型易拉罐需满足一下原则：节省材料原则，焊接口工作量最小原则，美观原则，把握方便原则，同时最优设计应该使所用铝合金体积W小于现在所用易拉罐的体积。第一目标：（材料最少） 第二目标：（焊接口工作量最小） 第三目标：（越接近0.618越美观） 第四目标：（越小越易被人握住） 单独以各个目标为目标函数，用LINGO8.0变成求解得，结果如下表所示： 不同原则下的易拉罐尺寸（长度：cm;面积：，体积：） 各目标最小值各目标最大值第一目标2.4922.6223.6747.4810.6400.5904.6355.067第二目标1.8783.2363.6098.3460.0000.36488.08793.787第三目标2.7612.6223.8904.2242.1712.31500.0309第四目标3.0743.2343.24410.6230.1130.0083.2444.052以上是四种不同目标下的易拉罐设计，各生产商自身的特点（目标主次），选用适合的易拉罐设计，比如某饮料厂的消费者更偏于儿童，则就可选择目标四的设计，总之，综合考虑各原则的易拉罐，根据自身特点，选择适合自己的设计方案。6、模型的评价与总结 对2）中，我们是对易拉罐查阅相关资料，并根据有关手册，得到各种体积的易拉罐各数据，得到厚度比，然后假设一个简单的模型，对该模型求解，得到大致的直径与高度的比例，对3）中，我们作了更加进一步的考虑，将问题转化为正圆柱体部分一定考虑正圆台的尺寸优化设计，这种简化有依据，有合理性，但得出的数学结果与易拉罐实际数据有明显差别。得出常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状和尺寸变化用料最少的优化设计标准是： 1）总高度与底直径之比为2：1 2）正圆台的高与上底直径之比约为2