高考数学一轮复习 2.7幂函数精品学案 .doc

2013版高考数学一轮复习精品学案：第二章 函数、导数及其应用2.7幂函数【高考新动向】一、考纲点击（1）了解幂函数的概念。（2）结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，的图象，了解它们的变化情况。二、热点提示（1）高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的频率较低.（2）常与函数的性质及二次函数、指数函数、对数函数等知识交汇命题.（3）题型多以选择题、填空题的形式出现，属低中档题.【考纲全景透析】1、幂函数的定义形如y=x（ar）的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、五种幂函数的图象比较注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，y=x-1方法：可画出x=x0；当x01时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x， y=x-1；当0x00，又因为此时因此幂函数图象上的点不会在第四象限；（2）由函数的定义可知，幂函数的图象最多出现在两个象限内。【热点难点全析】一、幂函数定义的应用1、相关链接（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：指数为常数；底数为自变量;幂系数为1.（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.（3）几个具体函数的定义正比例函数； 反比例函数；一次函数；二次函数；幂函数（）2、例题解析例1已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数.【方法诠释】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4).解析：(1)f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+)上的增函数，则m=-1.(3)若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得此时m2-m-10,故(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则此时m2-m-10,故例2已知y=(m2+2m-2)+(2n-3)是幂函数，求m、n的值.思路解析：本题是求实数m、n的值，由于已知幂函数的解析式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.解答：由题意得：，解得，所以，。二、幂函数的图象与性质（一）幂函数的图象及应用1、相关链接幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：（1）的正负：0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸；（3）=（其中，且互质）。当为偶数时，为偶函数，其图象关于轴对称；当都为奇数时，为奇函数，其图象关于原点对称；当为偶数，为奇数时，为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。(4)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。2、例题解析例1已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上定义试求函数h(x)的最大值以及单调区间.【方法诠释】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值解析：设幂函数为f(x)=x，因为点在f(x)的图象上，所以所以=2，即f(x)=x2；又设g(x)=x，点()在g(x)的图象上，所以(2)=，所以=2，即g(x)=x2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：则有：根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(，1)和(0，1)，单调递减区间是(1，0)和(1，+).注：解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.例2 已知函数求的单调区间；比较与的大小解答：（1）方法一：=1+，其图象可由幂函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图：所以该函数在上是减函数，在上是增函数。方法二：=1+，设在定义域内，则（2）图象关于直线对称，又。（二）幂函数的性质与应用1、相关链接比较幂值大小的类型及方法(1)当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系；(4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系.幂函数y=x的性质(1)定义域、值域及奇偶性,要视的具体值而定.(2)当0时，幂函数在(0，+)上是增函数，当0时，幂函数在(0，+)上是减函数.2、例题解析【例1】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.(2)已知幂函数y=x3m-9(mn*)的图象关于y轴对称，且在(0，+)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围.【解题指南】(1)前三个同指数的幂值用幂函数y=x0.2的单调性比较，而后两个同底数的幂值利用指数函数y=2x的单调性比较.(2)利用幂函数的性质，构建出m的不等式，并求出m的值，再根据其单调性，由关于a的已知不等式，构建a的不等式，从而求出a的范围.【规范解答】(1)因为函数y=x0.2在r上为增函数，且0.20.42,0.20.2 0.40.220.2,又函数y=2x在r上为增函数，且0.21.6,20.221.6,0.20.20.40.220.221.6.(2)函数在(0，+)上递减，3m-90，m3-2a0或0a+13-2a或a+103-2a，解得a-1或a的取值范围是a|a0，y0，函数f(x)满足f（xy）f（x）f（y）”的是（）幂函数（）对数函数（）指数函数（）余弦函数解析：本题考查幂的运算性质 【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点(2,2)，则幂函数的解析式为( )()y=2 ()y=()y= ()y=2.函数y=-x2的图象关于( )()y轴对称 ()直线y=-x对称()坐标原点对称 ()直线y=x对称3.已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是( )()(0，+) ()(1，+)()(0，1) ()(-,0)4.已知幂函数f(x)=xm的部分对应值如表，则不等式f(|x|)2的解集为( )x1f(x)1()x|0x ()x|0x4 ()x|x ()x|4x45.设函数f(x)=若f(a)1，则实数a的取值范围是( )()(-,-3)()(1，+)()(-3，1)()(-,-3)(1,+)6.(2012漳州模拟)设函数f(x)=x3,若0时，f(mcos)+f(1-m)0恒成立，则实数m的取值范围为( )()(-,1) ()(-, ) ()(-,0) ()(0,1)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012武汉模拟)设x(0,1)，幂函数y=xa的图象在直线y=x的上方，则实数a的取值范围是_.8.已知幂函数f(x)= ，若f(a+1)f(10-2a)，则a的取值范围是_.9.当0x1时，f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012宁德模拟)已知函数f(x)=xm-且f(4)= .(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：f(x)g(x);f(x)=g(x);f(x)g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)= (pz)在(0,+)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x)+(2q-1)f(x)+1.试问：是否存在实数q(q0)，使得g(x)在区间(-,-4上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选.设y=x,则由已知得，2=2,即=2,=,f(x)= .2.【解析】选.因为函数的定义域为x|x0，令y=f(x)= -x2,则f(-x)= -(-x)2=-x2=f(x),f(x)为偶函数，故选.3.【解析】选.因为00.71.30.70=1,1.30.71.30=1,00.71.31.30.7.又(0.71.3)m(1.30.7)m,函数y=xm在(0,+)上为增函数，故m0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选.由()m=，得m=，f(x)= ，f(|x|)=,又f(|x|)2，2，即|x|4,4x45.【解题指南】分a0,a0两种情况分类求解.【解析】选.当a0时，()a-71,即2-a23,a-3,-3a0.当a0时，1,0a1,综上可得:-3a1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x3为奇函数，且在r上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m与cos的不等式恒成立求解.【解析】选.因为f(x)=x3为奇函数且在r上为单调增函数，f(mcos)+f(1-m)0f(mcos)f(m-1)mcosm-1mcos-m+10恒成立，令g(cos)=mcos-m+1,又0,0cos1,则有：即解得：m1.7.【解析】由幂函数的图象知a(-,1).答案：(-,1)8.【解析】由于f(x)= 在(0，+)上为减函数且定义域为(0，+)，则由f(a+1)f(10-2a)得解得：3a5.答案：(3,5)9.【解题指南】在同一坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解.【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)g(x)h(x).答案:f(x)g(x)h(x)10.【解析】(1)因为f(4)= ,所以4m-=.所以m=1.(2)因为f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称,又f(-x)=-x- =-(x-)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(3)方法一：设x1x20，则f(x1)-f(x2)=x1-(x2-)=(x1-x2)(1+),因为x1x20,所以x1-x20,1+0.所以f(x1)f(x2).所以f(x)在(0,+)上为单调递增函数.方法二：f(x)=x-,f(x)=1+ 0在(0,+)上恒成立，f(x)在(0,+)上为单调递增函数.11.【解析】(1)设f(x)=x,点(2，4)在f(x)的图象上，4=2，=2，即f(x)=x2.设g(x)=x,点(，4)在g(x)的图象上，4=()，=-2，即g(x)=x-2.(2)f(x)-g(x)=x2-x-2=x2-= (*)当-1x1且x0时，(*)式小于零，即f(x)g(x)；当x=1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；当x1或x-1时，(*)式大于零，即f(x)g(x).因此，当x1或x-1时，f(x)g(x)；当x=1时，f(x)=g(x)；当-1x1且x0时，f(x)g(x).【误区警示】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域x|x0而失误.失误原因：将分式转化为关于x的不等式时，忽视了等价性而致误.【探究创新】【解析】(1)幂函数y=x在(0,+)上是增函数时,0,-p2+p+0,即p2-2p-30,解得-1p3，又pz,p=0,1,2.当p=0时，y=不是偶函数；当p=1时,f(x)=x2是偶函数；当p=2时,f(x)=不是偶函数，p=1，此时f(x)=x2.(2)由(1)得g