高中数学 324二面角及其度量同步练习 新人教B版选修21.doc

3.2.4二面角及其度量一、选择题1如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()a相等b互补c相等或互补 d不能确定答案c解析二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补2已知平面内有一个以ab为直径的圆，pa，点c在圆周上(异于点a，b)，点d、e分别是点a在pc、pb上的射影，则()aade是二面角apcb的平面角baed是二面角apbc的平面角cdae是二面角bpac的平面角dacb是二面角apcb的平面角答案b解析由二面角定义及三垂线定理知选b.3如图所示，m，n是直角梯形abcd两腰的中点，deab于e，现将ade沿de折起，使二面角adeb为45，此时点a在平面bcde内的射影恰为点b，则m，n的连线与ae所成的角的大小为()a45b90c135d180答案b解析建系如图所示，由题意知abe为等腰直角三角形，设cd1，则be1，ab1，ae，设bcde2a，则e(0,0,0)，a(1,0,1)，n(1，a,0)，d(0,2a,0)，m(，a，)，所以(，0，)，(1,0，1)，所以(，0，)(1,0，1)0.故，从而mn与ae所成的角为90.4如图所示，在边长为a 的正abc中，adbc，沿ad将abc折起，若折起后b、c两点间距离为a，则二面角badc的大小为()a30 b45 c60 d90答案c5将正方形abcd沿对角线折成直二面角，则二面角abcd的平面角的余弦值是()a. b. c. d.答案c6正四棱锥pabcd的两相对侧面pab与pcd互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为()a. b. c. d.答案d7在矩形abcd中，ab3，ad4，pa平面abcd，pa，那么二面角abdp的度数是()a30 b45 c60 d75答案a8如图所示，已知点p为菱形abcd外一点，且pa面abcd，paadac，点f为pc中点，则二面角cbfd的正切值为()a. b. c. d.答案d解析如右图所示，连接ac，acbdo，连接of，以o为原点，ob，oc，of所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系oxyz，设paadac1，则bd，b，f，c，d(，0,0)，结合图形可知，且为面bof的一个法向量，由，(，0，)，可求得面bcf的一个法向量n(1，)cosn，sinn，tann，.9已知abcd是正方形，e是ab的中点，将dae和cbe分别沿de、ce折起，使ae与be重合，a、b两点重合后记为点p，那么二面角pcde的大小为()a30 b45 c60 d90答案a解析取cd中点f，由二面角定义知pfe为其平面角，设pea，则ef2a，sin，二面角pcde为30.10二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150 b45 c60 d120答案c解析由条件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，即，120，二面角的大小为60，故选c.二、填空题11如图所示，将边长为a的正三角形abc，沿bc边上的高线ad将abc折起，若折起后b、c间距离为，则二面角badc的大小为_答案6012若p是abc所在平面外一点，且pbc和abc都是边长为2的正三角形，pa，那么二面角pbca的大小为_答案9013正方体abcda1b1c1d1中，截面a1bd和截面c1bd所成的二面角大小的余弦值为_答案14在正方体ac1中，e、f分别是b1c1、c1d1的中点，若截面efdb与侧面bcc1b1所成的锐二面角为，则cos_.答案三、解答题15如图，四棱锥pabcd中，pb底面abcd，cdpd，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc，abadpb3.点e在棱pa上，且pe2ea.求二面角abed的大小解析以b为原点，以bc、ba、bp分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设平面ebd的一个法向量为n1(x，y,1)，因为(0,2,1)，(3,3,0)，由得所以于是n1.又因为平面abe的一个法向量为n2(1,0,0)，所以，cosn1，n2.所以，二面角abed的大小为arccos.16如图所示，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，p是棱cc1上的一点，cpm，试确定m，使直线ap与平面bdd1b1所成角的正弦值为.解析如图，以d为原点，da，dc，dd1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，p(0,1，m)，c(0,1,0)，d(0,0,0)(1,1，m)，(1,1,0)，又0，0，是平面bdd1b1的一个法向量设ap与平面bdd1b1所成的角为，则sincos，m.17(2009上海)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，aa1bcab2，abbc，求二面角b1a1cc1的大小解析如图，建立空间直角坐标系则a(2,0,0)，c(0,2,0)，a1(2,0,2)，b1(0,0,2)，c1(0,2,2)，设ac的中点为m，bmac，bmcc1，bm平面a1c1c，即(1,1,0)是平面a1c1c的一个法向量设平面a1b1c的一个法向量是n(x，y，z)，(2,2，2)，(2,0,0)，n2x0，n2x2y2z0，令z1，解得x0，y1.n(0,1,1)，设法向量n与的夹角为，二面角b1a1cc1的大小为，显然为锐角cos|cos|，解得，二面角b1a1cc1的大小为.18(2007陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，pa4，ad2，ab2，bc6.(1)求证：bd平面pac；(2)求二面角apcd的大小解析(1)如图，建立坐标系，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2，6,0)，d(0,2,0)，p(0,0,4)，(0,0,4)，(2，6,0)，(2，