高中数学 323直线与平面的夹角同步练习 新人教B版选修21.doc

3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1已知平面内的角apb60，射线pc与pa、pb所成角均为135，则pc与平面所成角的余弦值是()ab.c.d答案b解析由三余弦公式知cos45coscos30，cos.2三棱锥pabc的底面是以ac为斜边的直角三角形，顶点p在底面的射影恰好是abc的外心，paab1，bc，则pb与底面abc所成角为()a60 b30 c45 d90答案b解析由ab1，bc，知ac，oa，又pa1，pqac，po，oboa，tan.应选b.3正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd所成角的正弦值是()a. b. c. d.答案c解析由计算得sin.故选c.4在三棱锥pabc中，abbc，abbcpa，点o、d分别是ac、pc的中点，op底面abc，则直线od与平面pbc所成角的正弦值为()a. b. c. d.答案d解析以o为原点，射线oa、ob、op为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，设aba，则op，(a,0，a)，可求得平面pbc的法向量为n(1，1，)，cos(，n)，设与面pbc的角为，则sin，故选d.5若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()a. b.c. d.答案d6如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案a7如图，正方体ac1中，bc1与对角面bb1d1d所成的角是()ac1bb1bc1bdcc1bd1dc1bo答案d解析由三垂线定理得，ob为bc1在平面bb1d1d上的射影故选d.8在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e为cc1的中点，则直线a1b与平面bde所成的角为()a. b.c. d.答案b解析以d为原点建立空间直角坐标系，平面bde的法向量n(1，1,2)，而(0，1,1)，cos，30.直线a1b与平面bde成60角9正方形纸片abcd，沿对角线ac折起，使点d在面abcd外 ，这时db与平面abc所成角一定不等于()a30 b45 c60 d90答案d解析当沿对角线ac折起时，bd在面abc上的射影始终在原对角线上，若bd面abc，则此时b、d重合为一点，这是不成立的，故选d.10已知等腰直角abc的一条直角边bc平行于平面，点a，斜边ab2，ab与平面所成的角为30，则ac与平面所成的角为()a30 b45 c60 d90答案b解析过b、c作bb于b，cc于c，则bbcc1，sin，45.故选b.二、填空题11正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，则ac1与平面bb1c1c的夹角的余弦值为_答案解析设三棱柱的棱长为1，以b为原点，建立坐标系如图，则c1(0,1,1)，a，又平面bb1c1c的一个法向量n(1,0,0)，设ac1与平面bb1c1c的夹角为.sin|cosn，|，cos.12正四棱锥sabcd中，o为顶点s在底面内的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_答案3013ab，aa， a是垂足，bb是的一条斜线段，b为斜足，若aa9，bb6，则直线bb与平面所成角的大小为_答案6014正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为aa1、a1d1的中点，则ef与面a1c1所成的角为_答案45三、解答题15如图所示，abcd是直角梯形，abc90，sa平面abcd，saabbc1，ad，求sc与平面abcd所成的角解析解法1：如图所示，设n是平面的法向量，ab是平面的一条斜线，a，则ab与平面所成的角为arccos；是平面abcd的法向量，设与的夹角为.，()1.|1，|，cos.arccos.从而cs与平面abcd所成的角为arccos.解法2：连结ac，显然sca即为sc与平面abcd所成的角计算得：ac，tansca，故sc与平面abcd所成角为arctan.16如图，在直三棱柱aboabo中，oo4，ob3，aob90.d是线段ab的中点，p是侧棱bb上的一点若opbd，试求：(1)op与底面aob所成的角的大小；(2)bd与侧面aooa所成的角的大小解析如图，以o为原点建立空间直角坐标系，由题意，有b(3,0,0)，d，设p(3,0，z)，则，(3,0，z)bdop，4z0，z.p.(1)bb平面aob，pob是op与底面aob所成的角tanpob，pobarctan.故op与底面aob所成角的大小是arctan.(2)(3,0,0)，且平面aooa，平面aooa的法向量为(3,0,0)又(3,0,0)，db3(2)0(4)0.又|3，|，cos， .bd与侧面aooa所成的角的大小为，arccos(或写成arcsin)17如图，正方体abcda1b1c1d1中，e是cc1的中点，求be与平面b1bd所成角的正弦值解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则b(2,2,0)，b1(2,2,2)，e(0,2,1)，(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1)设平面b1bd的法向量为n(x，y，z)，nbd，nbb1，令y1时，则n(1,1,0)，cos.即be与平面b1bd所成的角的正弦值为.18(2009北京)如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，paab，abc60，bca90，点d，e分别在棱pb，pc上，且debc.(1)求证：bc平面pac；(2)当d为pb的中点时，求ad与平面pac所成的角的大小；解析考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法解法一：(1)pa底面abc，pabc.又bca90，acbc.bc平面pac.(2)d为pb的中点，debc，debc.又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角pa底面abc，paab，又paab，abp为等腰直角三角形，adab.在rtabc中，abc60，bcab.在rtade中，sindae.ad与平面pac所成的角的大小为arcsin.解法二：(1)如图，以a为原点建立空间直角坐标系axyz.设paa，由已知可得a(0,0,0)，b，c，p(0,0，a)(1)(0,