（试题 试卷 真题）【解析版】北京市通州区2013年中考数学一模试卷

北京市通州区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上1（4分）（2013通州区一模）3的倒数是（）A3B3CD考点：倒数 .分析：直接根据倒数的定义进行解答即可解答：解：（3）（）=1，3的倒数是故选D点评：本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数2（4分）（2013通州区一模）在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的可能是（）ABCD考点：简单几何体的三视图 .专题：几何图形问题分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此找到主视图、左视图和俯视图形状都相同的图形即可解答：解：A、此圆台的三视图分别为梯形，梯形，圆环，不符合题意；B、三棱柱的三视图分别为长方形，长方形，三角形，不符合题意；C、正方体的三视图都是正方形，符合题意；D、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；故选C点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中3（4分）（2013通州区一模）2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多将17800用科学记数法表示应为（）A17.8103B1.78105C0.178105D1.78104考点：科学记数法表示较大的数 .分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解答：解：17800=1.78104，故选：D点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4（4分）（2013通州区一模）如图，A、B、C是O上的三个点，ABC=32，则AOC的度数是（）A32B64C16D58考点：圆周角定理 .分析：利用圆周角定理即可求解解答：解：AOC=2ABC=232=64故选B点评：本题考查了圆周角定理，理解定理是关键5（4分）（2013通州区一模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）ABCD考点：概率公式 .分析：让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率解答：解：P（红豆粽）=故选：B点评：本题考查了统计与概率中概率的求法用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比6（4分）（2013通州区一模）一个扇形的圆心角为90，半径为2，则这个扇形的面积是（）A6B4C2D考点：扇形面积的计算 .分析：利用扇形的面积公式即可求解解答：解：根据扇形的面积公式可得：扇形的面积=故选D点评：本题主要考查了扇形的面积公式的计算，正确理解公式是解题的关键7（4分）（2013通州区一模）某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：每天使用零花钱（单位：元）02345人数12412关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（）A平均数是2.5B中位数是3C众数是2D方差是4考点：方差；加权平均数；中位数；众数 .分析：根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案解答：解：这组数据的平均数是（01+22+34+41+52）10=3；这组数据共有10名同学，最中间的数是第5个和第6个数的平均数，则中位数是（3+3）2=3；3出现了4次，出现的次数最多，则众数是3；方差=（03）2+（23）2+（23）2+（33）2+（33）2+（33）2+（33）2+（43）2+（53）2+（53）2=2；故选B点评：此题考查了平均数、中位数、众数以及方差，一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据8（4分）（2013通州区一模）如图，在直角坐标系xoy中，已知A（0，1），B（，0），以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）ABCD考点：动点问题的函数图象 .专题：动点型分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，再求出菱形的高，以及菱形沿y轴方向滑落的速度和x轴方向滑落的速度，再分点A在x轴上方时，利用三角形的面积公式表示出s与t的函数关系式，点A在x轴下方，点C在x轴上方时，利用梯形的面积公式表示出s与t的函数关系式，点C在x轴下方时，利用菱形ABCD的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，列式整理得到s与t的函数关系式，从而判断出函数图象而得解解答：解：A（0，1），B（，0），OA=1，OB=，AB=2，tanBAO=，BAO=60，菱形ABCD的高为2=，菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，菱形沿y轴方向滑落的速度为1，沿x轴方向滑落的速度，点A在x轴上方时，落在x轴下方部分是三角形，面积S=2tt=t2，点A在x轴下方，点C在x轴上方时，落在x轴下方部分是梯形，面积S=t+（t1）1=t，点C在x轴下方时，x轴下方部分为菱形的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，S=2（62t）（62t）=2（3t）2，纵观各选项，只有A选项图形符合故选A点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，分三段得到x轴下方部分的图形并求出相应的函数关系式是解题的关键二、填空题（本题共16分，每小题4分）9（4分）（2013通州区一模）若分式的值为零，则x=2考点：分式的值为零的条件 .分析：分子等于零，分式的值是零解答：解：当分子x2=0，即x=2时，分式的值为零，故答案是：2点评：本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0这两个条件缺一不可10（4分）（2013通州区一模）分解因式：x32x2+x=x（x1）2考点：提公因式法与公式法的综合运用 .分析：先提取公因式x，再对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2解答：解：x32x2+x，=x（x22x+1），=x（x1）2点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键11（4分）（2013通州区一模）如图，ABCD，点E在AB上，且DC=DE，AEC=70，则D的度数是40考点：等腰三角形的性质；平行线的性质 .分析：根据两直线平行，内错角相等求出C，再根据等边对等角求出C=DEC，然后根据三角形内角和定理列式计算即可得解解答：解：ABCD，AEC=70，C=AEC=70，DC=DE，C=DEC=70，D=180CDEC=1807070=40故答案为：40点评：本题主要考查了等边对等角的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，是基础题12（4分）（2013通州区一模）定义一种对正整数n的“F运算”：当n为奇数时，结果为3n+1；当n为偶数时，结果为（其中k是使得为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取n=6，则：631056 ，若n=1，则第2次“F运算”的结果是1；若n=13，则第2013次“F运算”的结果是4考点：规律型：数字的变化类 .专题：新定义分析：计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可解答：解：若n=1，第一次结果为3n+1=4，第2次“F运算”的结果是：=1；若n=13，第1次结果为：3n+1=40，第2次“F运算”的结果是：=5，第3次结果为：3n+1=16，第4次结果为：=1，第5次结果为：4，第6次结果为：1，可以看出，从第三次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1，次数是奇数时，结果是4，而2013次是奇数，因此最后结果是4故答案为：1，4点评：本题主要考查了数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键三、解答题（本题共30分，每小题5分）13（5分）（2013通州区一模）计算：考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 .分析：题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解答：解：=2+1+2=3+点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算14（5分）（2013通州区一模）解不等式组：考点：解一元一次不等式组 .专题：计算题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再把各个不等式的解集的公共部分表示出来，就是不等式组的解集解答：解：解不等式，得x2，解不等式，得x1，不等式的解集为1x2点评：解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了15（5分）（2013通州区一模）已知：如图，AB=AC，AE=AD，点D、E分别在AB、AC上求证：B=C考点：全等三角形的判定与性质 .专题：证明题分析：由已知条件，利用SAS，证得ABEACD，再由全等三角形对应角相等，即可证得B=C解答：证明：在ABE和ACD中，BAE=CAD，又AB=AC，AE=AD，ABEACD；B=C点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，是一道较为简单的题目16（5分）（2013通州区一模）化简求值：，其中x3y=0，且y0考点：分式的化简求值 .分析：首先把括号内的分式进行通分，进行加法运算，然后把除法转化成乘法，进行乘法运算，然后把已知的式子变形为x=3y，代入化简以后的式子即可求解解答：解：原式=由x3y=0，得x=3y，原式=点评：本题考查了分式的混合运算，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算17（5分）（2013通州区一模）已知A（4，2），B（2，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向上平移n个单位长度，交y轴于点C，若SABC=12，求n的值考点：反比例函数与一次函数的交点问题 .分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可得出一次函数的解析式；（2）求出直线与y轴的交点坐标，关键三角形的面积公式求出ACD和BCD的面积，即可得出答案解答：解：（1）把A（4，2），B（2，4）分别代入y=kx+b和中，2=，解得：k=1，b=2，m=8，即反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y=x2；（2）设一次函数y=x2的图象与y轴的交点为D，则D（0，2），SABC=12，CD=4，n=4点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生运用知识点进行计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目18（5分）（2013通州区一模）列方程或方程组解应用题：根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路铺设600m后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？考点：分式方程的应用 .专题：工程问题分析：设原计划每天铺设公路x米，根据实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，以时间做为等量关系可列方程求解解答：解：设原计划每天铺设公路x米，根据题意，得（1分）（3分）去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400）解得x=300（4分）经检验，x=300是原方程的解且符合题意（5分）答：原计划每天铺设公路300米点评：本题考查理解题意能力，关键是以时间做为等量关系，列出方程求解四、解答题（本题共20分，每小题5分）19（5分）（2013通州区一模）某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩，并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）分组/分频数频率50x6010a60x70b70x800.280x90520.2690x1000.37合计1请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出频数分布表中a，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表 .分析：（1）先根据分数在80x90中的频数和频率，求出被抽查的学生总数，再根据频数除以总数就是频率，即可求出a，再用被抽查的学生总数乘以频率即可求出b，从而补全统计图；（2）用成绩在90分以上（不含90分）的学生的频率乘以全校总学生数，即可得出答案解答：解：（1）分数在80x90中的频数是52，频率是0.26，被抽查的学生总数是：520.26=200（名），a=0.05，b=200（10.050.20.260.37）=24，分数70x80的频数是：2000.2=40（名），补图如下：（2）根据题意得：0.371000=370（名），答：估计全校1000名学生中约有.70名获奖点评：此题考查了频数分布直方图，解题的关键是读懂统计图，从图中获得必要的信息，获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题20（5分）（2013通州区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=，DCE是等边三角形，DE交AB于点F，求BEF的周长考点：矩形的性质；等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形 .分析：方法一：过点E作EGCB，交CB的延长线于点G，利用题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求BEF的周长；方法二：过点E作EHCD交CD于点H，交AB于点G，利用矩形性质、勾股定理以及三角函数等知识结合题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求BEF的周长；方法三：过点B作BGCE，交CE于点G，利用矩形的知识、解直角三角形和三角函数等知识结合题干条件求出EF、FB和EB长度，进而求BEF的周长解答：解：解法一：矩形ABCD，DCE是等边三角形，ADF=ECB=30，ED=EC=3，在RtADF中，A=90，AD=，tanADF=，tan30=，AF=1，FB=ABAF=31=2，FD=2，；EF=EDDF=32=1，；过点E作EGCB，交CB的延长线于点G；在RtECG中，EGC=90，EC=3，ECG=30，EG=EC=，cosECG=，cos30=，GC=，GB=CGBC=，由勾股定理得，EB2=EG2+GB2，EB=（舍去负值）；BEF的周长=EF+FB+EB=3+解法二：矩形ABCD，DCE是等边三角形，EDC=ECD=60，ED=EC=3，过点E作EHCD交CD于点H，交AB于点G；点H是DC的中点，点G是AB的中点，FEG=30，GH=AD=，在RtEHD中，EHD=90，ED=3，sinEDH=，sin60=，EH=，EG=EHGH=在RtEGF中，EGF=90，EFG=60，sinEFG=，sin60=，EF=1；FG=EF=，点G是AB的中点，AB=3，GB=AB=，FB=FG+GB=2，由勾股定理得，EB2=EG2+GB2，EB=（舍去负值），BEF的周长=EF+FB+EB=3+解法三：矩形ABCD，DCE是等边三角形，ADF=ECB=30，ED=EC=3，在RtADF中，A=90，AD=，tanADF=，tan30=，AF=1，FB=ABAF=31=2，FD=2，EF=EDDF=32=1，过点B作BGCE，交CE于点G在RtBCG中，BGC=90，BC=，ECB=30，BG=BC=，cosBCG=，cos30=，GC=，GE=ECGC=3=，由勾股定理得，EB2=EG2+GB2，或BG是线段EC的垂直平分线，EB=（舍去负值）或BE=BC，BEF的周长=EF+FB+EB=3+点评：本题主要考查矩形性质、勾股定理以及解直角三角形的知识点，此题难度不大，本题的解答有三种解答方法，同学们根据自己实际情况选择自己喜欢的方法进行解答即可21（5分）（2013通州区一模）已知：如图，AB是O的直径，AC是弦过点A作BAC的角平分线，交O于点D，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E（1）求证：直线ED是O的切线；（2）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质 .分析：（1）连接OD，推出ODA=OAD=EAD，推出ODAE，推出ODDE，根据切线的判定推出即可；（2）连接CB，过点O作OGAC于点G，推出OGCB，得出，求出，设AG=3x，AO=5x，得出四边形EGOD是矩形，求出DO=5x，GE=5x，AE=8x，证AEFDFO，求出，即可得出答案解答：（1）证明：连接ODOD=OA，OAD=ODA，AD平分BAC，BAD=CAD，ODA=CAD，；AEOD，DEAE，EDDO，点D在O上，ED是O的切线； （2）解：连接CB，过点O作OGAC于点G，AB是O的直径，ACB=90，OGAC，OGCB，5AC=3AB，设AG=3x，AO=5x，DEAE，EDDO，四边形EGOD是矩形，EG=OD，AEOD，DO=5x，GE=5x，AE=8x，AEOD，EAD=FDO，AFE=DFOAEFDFO，点评：本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目比较好，有一定难度22（5分）（2013通州区一模）如图所示，在44的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成、两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“”或“”连接）：面积关系是；周长关系是考点：作图应用与设计作图 .专题：压轴题；网格型分析：（1）利用旋转和平移即可解决问题；（2）三角形的直角边=2，面积=222=2，周长=6+2；梯形的高=，周长=8，面积=（1+3）=2；矩形周长=4+2，面积=2，进行比较即可求出答案解答：解：（1）每画一个正确给（2）（6分）（2）S直角三角形=S等腰梯形=S矩形；（1分）l直角三角形l等腰梯形l矩形点评：这是一道操作题，一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程这种试题正是体现了平时教学中，动手实践、自主探索与合作交流这一学习的重要方式，通过这一方式的学习过程可以使学生获得一定的数学活动经验本题通过拼好有关图形后，还设计了两小题让学生来判断所拼图形的面积、周长关系，是对许多图类试题的考查功能的一种完善常见错误对题目的阅读理解困难，不明白作图的要求；作图不规范、不准确；数学符号表述不规范，出现自创符号，或随意省略下标的内容五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23（7分）（2013通州区一模）已知二次函数y=x22（k+1）x+4k的图象与x轴分别交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1（1）求k的取值范围；（2）设二次函数y=x22（k+1）x+4k的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数y=x22（k+1）x+4k的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积考点：二次函数综合题 .分析：（1）令y=0，即可得到关于x的一元二次方程x22（k+1）x+4k=0，通过解方程可以求得x=2k或x=2，则由题意得到关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）由已知条件易求M点坐标为（0，2），所以，把点M的坐标代入抛物线解析式可以求得k的值；（3）此题需要分类讨论：分以AM为边和以AM为对角线两种情况进行解答解答：解：（1）令y=0，则x22（k+1）x+4k=0，即（x2k）（x2）=0，解方程得：x=2k或x=2，则A（2k，0），B（2，0）由题意得，故可得：（2）OM=OB，B的坐标为：（2，0），M点坐标为：（0，2），把点M的坐标分别代入y=x22（k+1）x+4k中，可得：4k=2，解得：k=，故二次函数表达式为：y=x2x2（3）由（2）知k=，则A（1，0）如图1，当AM为边时，AN=MF，且ANMF由（2）知，二次函数表达式为：y=x2x2M点坐标为：（0，2），当y=2时，2=x2x2，解得x=1或x=0，点F的坐标为（1，2）或（0，2）（与点M重合，舍去），AN=MF=1，此时SAMFN=ANNM=12=2；如图2，当AM为对角线时，同理证得AN=MF=1，此时SAMFN=ANNM=12=2；如图3，当AM为边时，AE=EN，ME=FE设F（a，b），N（t，0），则，解得，或，此时，SAMFN=ANOM=（t+1）2=2+2=5+，或SAMFN=ANOM=（t+1）2=2+2=5；综上所述，符合条件的平行四边形的面积是：2，或点评：本题考查了二次函数综合题其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质以及二次函数图象的性质解答（3）题时，一定要分类讨论，防止漏解或错解另外，注意“数形结合”数学思想的应用24（7分）（2013通州区一模）已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小考点：解直角三角形；正方形的性质 .专题：计算题；压轴题分析：（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PB=PP+PB可求PB的最大值，此时APB=180APP=135解答：解：（1）如图，作AEPB于点E，APE中，APE=45，PA=，AE=PE=1，PB=4，BE=PBPE=3，在RtABE中，AEB=90，AB=解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，PD=PB，PA=PAPAP=90，APP=45，PPB=90PP=PA=2，PD=PB=；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G在RtAEG中，可得AG=，EG=，PG=PEEG=在RtPFG中，可得PF=P