浅谈中学数学的若干解题方法.doc

新乡学院2009级毕业论文新乡学院2009级毕业论文论文题目：浅谈中学数学若干解题方法姓 名 吕巧玲 学 号 200916023045 所在院系 数学与信息科学系 专业名称 数学教育 指导教师 庄乐森 指导教师职称 助教 2012 年 04 月 01 日 18目 录内容摘要 .1关 键 词 .1Abstract 1Key words 11. 配方法.21.1典例 .22. 换元法.3 2.1 典例.33. 因式分解法.4 3.1 典例.44. 判别式法与韦达定理.5 4.1 典例.65. 待定系数法.7 5.1 典例.76. 反证法.9 6.1 典例.97. 等（面或体）积法.11 7.1 典例.118. 构造法.12 8.1 典例.129. 几何变换法.15 9.1 典例.15参考文献 .16致谢 .17内容摘要：近年来，一些试题十分重视对于数学解题方法的考查，特别是突出考查 能力的试题，而且解答过程包含着重要的数学思想方法。因此，我们要有意识地去应用数学解题方法来分析问题和解决问题，方法的选择与应用很重要，解完题后要反思回顾和发散想象，有利于提高学生的解题水平。为了帮助学生掌握解题的方法, 本篇文章介绍了一些常用的数学解题方法，如配方法、因式分解法、换元法等。在每节内容中，先是对方法进行综合性的论述，再以例题的形式出现。关键词： 中学数学 解题方法 解题思想Abstract:In recent years,some questions attaches great importance to mathematical problem solving method of examination,especially check ability test,and the process of solution contains important mathematics thought method.Therefore,we should consciously applied mathematics method to analyze and solve problems,method selection and its application is very important to solve problem ,to review and divergence imagination, help to improve students problem solving level.In order to help the students to master the methods of solving problems, this article introduced some commonly used mathematical problem-solving method,such as method, factorization method, substitution method. In each section, first on the methods of comprehensive treatise, with examples of the form.Key words: mathematics in middle school the method of solving problems the idea of solving problem1配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”其中，配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。1.1典例例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。解：设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。长方体所求对角线长为：5所以选B。例2. 已知，则的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 0【分析】已知等式经配方成，求出，然后求出所求式的平方值，再开方求解，选C。2 换元法 换元法是数学中重要而且十分广泛的解题方法。我们通常把未知或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 2.1典例例3求函数()=+的极值。【分析】像这类问题，由这个问题的条件难以直接得出结论，因此需要引入一个新元代换问题中原来的元，即令，同时还要注意换元的取值范围。解：因为函数的定义域为:(-,0)(0,+)(1) 当（0，+）时，+2，设+=2+(0),则=+=+=当且仅当，即时取等号（2）当时，0,所以当。例4 ABC的三个内角A、B、C满足：，求的值。【分析】 由已知“”和“三角形内角和等于180”的性质，可得 ；由“”进行均值换元，则设，再代入可求,即。解：由ABC中已知，可得 ,由，设，代入已知等式得：2,解得：， 即：。3 因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3.1典例例5用分组分解法分解因式。（1）；（2）【分析】这两个因式都是先进行分组，再提取公因式。解： 例6分解因式。【分析】利用拆项进行分解，然后分组分解，再利用十字相乘法。 4 判别式法韦达定理一元二次方程根的判别式，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 4.1典例例7用判别式法求最值对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。已知函数，对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。解：对任意实数b，恒有两个相异的不动点对任意实数，两个不等实根，恒有两个不等实根对任意实数恒成立。 可以将看作关于b的二次函数，则对任意实数恒成立 故的取值范围是例8判别式法与韦达定理相结合的综合应用，对于一些有关二次曲线的问题，可以用判别式法与韦达定理如图1所示，抛物线的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两，求AMN面积最大时直线的方程，并求AMN的最大面积。 图1解：由题意，可设的方程为由方程组,消去 直线与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式,解得1,又50, 的范围为(5，0) 设M(),N()则=42， =, |MN|=4 点A到直线的距离为。,当且仅当时取等号 故直线的方程为，AMN的最大面积为 。5 待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。5.1典例例9如图2,设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是，求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据之值，问题就全部解决了。设后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为的值后列出第二个方程。ABBFFyxOA图2解：设椭圆长轴为,短轴为，焦距为，则 解得： 所求椭圆方程是：1也可有垂直关系推证出等腰RtBBF后，由其性质推证出等腰RtBOF，再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值。例10已知函数y的最大值为7，最小值为1，求此函数式。解:函数式变形：,由已知得 即： 不等式的解集为(-1,7)，则1、7是方程的两根，代入两根得： 解得：或 y或者y此题也可由解集(-1,7)而设,即，然后与不等式比较系数而得：，解出而求得函数式。6 反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论，即应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；都是/不都是；至少有n个/至多有（n-1）个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” 。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式” 、“至少”或“至多” 、“唯一” 、“无限”形式出现的命题具体、简单的命题；或者否定结论更明显。或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能变得很简单。6.1典例例11.若下列方程：至少有一个方程有实根。试求实数的取值范围。【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。解： 设三个方程均无实根，则有：,解得,即1。所以当1或时，三个方程至少有一个方程有实根。【注意】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（0）的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。例12. 如图3，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。 ABCSO图3证明：假设AC平面SOB 直线SO在平面SOB内， ACSO SO底面圆O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。 【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。7 等（面或体）积法平面（立体）几何中讲的面积（体积）公式以及由面积（体积）公式推出的与面积（体积）计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积（体积），而且用它来证明（计算）几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积（体积）关系来证明或计算几何题的方法，称为等（面或体）积法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明几何题，其困难在于添置辅助线。等（面或体）积法的特点是把已知和未知各量用面积（体积）公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用等（面或体）积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。7.1典例EODCBA例13.如图4,四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=.求点E到平面ACD的距离。 解：把点E到平面ACD的距离看作是三棱椎E-ACD的高,利用等体积法思想来求。 设点E到平面ACD的距离为，图4 【注】由于E是BC的中点，则E到平面ACD的距离也可以转化为点B到平面ACD的距离，即为点B到平面ACD距离的一半，再利用等体积法思想来求。另外，对于线面距离、面面距离都可以转化为点面距离来研究。8 构造法构造法即构造性解题方法，是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”，构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。这里所说的“元件“可以是：函数、数列、向量、曲线定义、几何图形、复数与命题等，甚至于构造类比问题转化，并得到解决。构造法在函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法的指导下，是解决某些数学问题的一种重要方法。常用的构造方法主要有类比构造、归纳构造、逆向构造、联想构造等。应用构造法解题的关键在于要有明确的方向，即为了什么目的而构造，要弄清条件的本质特点，以便于重新进行逻辑组合。在运用构造法时，还要注意：构造出的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征；构造出的数学模型所获得的结果，一定是原命题的解题目标，经过检验，对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃。8.1典例例14.构造函数若不等式的最小值为（ ）A、0 B、-2 C、 D、-3【分析】直接求值难以施行，若构造函数，借助函数在给定区间上单调递增，问题就可以很容易解决。解：例15.构造等差（等比）数列已知数列中求数列的通项公式【分析】将已知条件转化为，构造等差数列，由通项得，利用公式即可解：是以1为首项，2为公差的等差数列, 所以从上面的例子启发我们在解题过程中要善于观察，善于发现，不墨守成规，大胆去探求解题的最佳途径。我们常提的创新思维，是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构以及活泼的灵感是其基本特征。构造法正是从观察发现的过程中联想一类问题的性质，来研究另一类问题的思想方法。通过讲解一些例题，运用构造法来解题的技巧，在探求过程中使学生的思维由单一型转变为多角度，从而培养学生思维的广阔性。例16.构造图形华罗庚说：“数离形时少直观，形离数时难入微利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解的三边成等差数列，A，C两点的坐标分别是(一1，0)，(1，O)，求顶点B的轨迹。【分析】对这类题一般解法是利用距离公式求解，无疑是比较繁杂的，由成等差数列，联想到椭圆的定义，求解更简捷。解：设B点的坐标为(X，Y)成等差数列根据椭圆定义易知，点B的轨迹方程为又在同一条直线上，不能构成 综上所述，构造法是一种创造性的解题方法，重在“构造”，在数学解题教学中，若能启发学生从多角度进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，对学生的学习兴趣的提高是十分有利的。9 几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换，有一些看来很难甚于无法下手的习题，可以借助于几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中，将图形从相等静止下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称主要性质：（1）平移：在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。（2）旋转：在轴对称变换下，对应线