关于小学数学教学中的几个问题.doc

关于小学数学教学中的几个问题亚东二小刘忠雪学者在世外桃源，不知有汉无论魏晋，专家伫立在峰顶云端，雄视全球莫测高深，只有我们这些一线教师，耕耘在三尺讲台，栉风沐雨义不容辞。所以，实际教学中遇到的一些问题，学者可以嗤之以鼻，专家可以视而不见，而我们一线教师却不能充耳不闻，不得不直面现实，不得不积极思考，不得不想方设法给学生一个万全之策，这大概也算我们在专业化道路上的必修课吧。最近，我查阅了一些资料，对前段时间收集的几个只有我们一线小学教师才感兴趣的问题进行了思考和整理，现提供给各位同行，希望拙见能对同行的教学工作有所裨益。一、最小的一位数是几？四年级的老师经常碰到这个问题，专家们说这是个无价值的数学问题，我也说这是个无聊透顶的问题，但对我们来说，这意味着12分，对学生来说，这是一道试题，我们可以不出这样的试题，但别人会出，学生也会问。大家争论得最多的答案是0和1，我还听到一个有趣的答案，“-9”。-9当然是巧妙的回避，它超越了现在小学数学的教学内容，不能用来给学生解释。那么最小的一位数到底是0还是1呢？我很想给大家一个完美的解释，但这个问题解释起来比我们想象的要麻烦得多。有的老师可能会说，有啥麻烦，0比1小，0当然就是最小的一位数了。要是这样就好了，麻烦就麻烦在0到底是不：这与“位数概念的推广”这个问题相关，因为一般人们讨论“位数”一词总是在“正整数”范围内讨论的，而把这个问题与“0”牵扯起来，据说是因为“0是自然数的规定”。那么如何把“正整数的位数”概念推广到一般呢？这首先要对“位数”这个概念的本质属性作一番研究。1一个数的“位数”是与“进位制”相关的，是这个数的形式属性，而不是这个数的本质属性。在10进制中数8是一个一位数，而在二进制中就写成了一个三位数。可见我们通常所说的“8是一个一位数”这句话只是刻划了在10进制下8这个数的一种形式。2一个正整数的“位数”所蕰含的本质属性是“大小关系”。在同一进位制中，位数高的数比位数低的数大。一般地，在10进制中，如果数x是一个n位数，那么：10(n-1)x10n。按照这种理解，我们可以把“正整数的位数”这个概念推广到任意“正实数的位数”（张景中院士在数学家的眼光一书中就采用这种说法）：如果一个正实数满足10(n-1)x10n，我们称这个实数是n位数。比如，102 425.23103，所以425.23是一个3位数；又如10(-3)0.007610(-2)，所以0.0076是一个-2位数。这种说法与所谓的“科学计数法”相关。但这个方案还是无法回答“0是几位数”这个问题。因为它只是把“位数”这个概念推广到“正实数”。但是，如果我们把0看成正实数的“极限”，0的位数就是负无穷大！”这种规定显然不能在小学中说清楚。当然我们也可以采用一种小学生能理解的推广方案（但这种方案我没有在任何文献中看到过）：一个正整数前面任意添加一些0，这个正整数的大小不会发生变化，所以我们可以理解为每一个正整数前面都有无穷多个0（在实际计数时我们把这些0省略掉了）。那么，一个正整数的位数可以这样来规定：一个正整数前面第一个非零数及其后面共有几位数，我们就称这个正整数为几位数。按照这种规定，0是一个0位数。其实，以上讨论是很无聊的，原因只有一个，这个问题本身就是一个无聊的问题！我写下这些东西，目的只有一个：把这个问题的“无聊”属性显化出来，让大家都能了解！请小学的数学老师再也不要在这个无聊的问题上浪费时间了。如果能起到这个作用，我想上面的讨论也就不仅仅是“无聊”了。就算是“牺牲我一个，幸福千万家”吧！再“无聊”，也应该作个小结：“0是几位数”这个问题答案并不唯一，而且每一种答案都并不完美。怎么办？“快刀斩乱麻”回避！规定“位数问题只在正整数范围内讨论”。于是，本文标题的问题答案是：“最小的一位数是1”。我的意见是，老师给学生一个规定，反正也不影响他们的发展，当然允许他提出异议说明理由，谁说得有道理就同意谁的。要非让我给出个参考答案的话，就说是1。二、乘法算式中因数的位置要不要强调？我出过这样一道题，“2005个13.5是多少”，列式引起了许多老师的争论：有的老师认为200513.5和13.52005都可以，有的老师则认为从乘法意义角度来看之能是13.52005。乘法算式中因数的位置要不要强调呢？从教科书的变化中我们已经能感觉到一些东西了。人教社教材从四年级开始已经不再强调因数的位置了，“被乘数、乘数”这两个名词已经成为了历史，参与相成的数教材统称“因数”。山东省小学数学教学内容调整方案中也规定，删去九年义务教育五年制小学教科书数学（人教版）第六册第58页例4及相应的习题，即关于应用题列式中因数能不能颠倒的问题。我的看法和教材编写者的观点一致，不必强调乘法算式中因数的位置。下面我说说我是怎样想的：根据现行教材学生到了三年级下学期，对乘法的意义已经掌握，能够比较熟练地根据题意用乘法来解决问题。并且已经知道交换被乘数和乘数的位置，积不变。而且在简易方程中遇到数字和字母相乘，一般把数字写在前面，如果一味强调根据乘法的意义列式，强调因数位置不能颠倒，岂不前后矛盾？比如，一个商店运来了10筐苹果，每筐重a千克，商店一共运来多少千克苹果？按照乘法意义列式就是a10，而在用字母表示数中，要求学生写成10a。用字母表示数作为代数的基础，向学生传达的就是这样一种思想。另外还有更重要的一点，就是我们小学的数学教师一定要能够跳出小学从学生以后的学习生活乃至终身学习的高度看这个问题。从九年一贯的课程设置角度看，学生在79年级及9年级以后的学习中，已经再也不考虑因数的位置了，强调乘法算式中因数的位置变得毫无意义，画蛇添足。所以，我认为不必强调乘法算式中因数的位置。刘兼1999年底在大庆数学教师培训班上的报告中也谈到了这个问题，引述如下，作为补充：“在乘数、被乘数的问题上，大家都知道，说有2个人，每个人3块钱，问总共有多少钱。刚上学的孩子都能做这样的题目，我们的学生马上能说出结果，但很多学生会把它写错。因为我们小学规定，必须写成32，不能写成23，说这个(32)是对的，那个(23)是错的，因为乘数和被乘数的问题，谁必须放在前面，谁必须放在后面，小学三年级学生要花大量的时间记住。在这中间学生遇到许多困惑，我认为没有必要。 1948年，清华大学副校长、数学家熊庆来在他的孙子上小学的时候就提出来不要分乘数、被乘数，当时赶上解放，谁也顾不上，这样的“小事情”就过去了，照样分乘数、被乘数。1987年中科院院士张景中在小学数学教师上连续写了两篇文章，从现代数学角度论证，不需要区分乘数、被乘数。西方国家里也都没有乘数、被乘数的概念。什么地方有呢?马来西亚有乘数、被乘数的概念，人家的有关规定跟我们的正相反。乘数和被乘数谁放在前面，谁放在后面，人为规定有什么必要(23既可以表示2个3，也可以表示3个2，一个算式有两种不同意义，具体到某个题上只有一个意义，非常好地表明了数学的一种抽象性)。因此，我们新的教材把这个取消了。 ” 三、是不是个循环小数？这本来不应该是个问题，因为无论是阿基米德用几何的方法，刘徽用“割圆术”的方法，还是祖沖之精确到7位小数的计算，计算机进入90年代精确到超过10亿位小数的计算，都已经向我们证实了这一点，起码目前我们必须承认这个事实。但由于我在2004年组织五年级数学教师进行教材教法研讨时关于两数相除商只能是有限或循环小数的论断（在教材教法研讨时我们已经讨论过了，恕这里不再赘述）在一些教师中产生了歧义，所以不得不在这里重新解释。说是个循环小数的老师是这样推理的：因为两个数相除商只能是有限或者循环小数，而圆周率是周长除以直径的商，所以圆周率一定是一个循环小数。这个推理中存在的问题就在于把数和量混淆了。周长和直径都是量，不是具体的数，因为人们不能十分精确的测量出圆周长的数值，才使得圆周率无限不循环。如果那一天人们能够像测量直线段一样十分准确的测量出圆的周长和该圆直径的长度，那么圆周率就一定是有限小数或者循环小数。四、书写格式问题？在小学数学中，有些题目在书写上有特殊的要求，比如方程、脱式计算、应用（尤其是求百分率的）、填空等。有的学生计算或解答的结果不能说是错误的，只是