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第十三讲 奇数与偶数思考1：少年宫阅览室里，有一个七层书架，共存放图书777本，管理员把这些图书分类存放，说来也巧，自下而上每一层都比上一层多7本。请你算一算，每每层各放书多少本？90、97、104、111、118、125、132思考2：有九个连续偶数，最大的数是最小的数的3倍。求这九个连续偶数。思考3：有七个连续奇数，第二个数与第六个数的和是38，求各数。一张画面向上的扑克牌，将它翻动一次，扑克牌就会变成画面向下。再翻动一次，它的画面又会向上。不停地翻动，就会发现，当翻动的次数是2，4，6，8时，扑克牌的画面向上；当翻动的次数是1，3，5，7，9时，扑克牌的画面向下。这样，就把整数分成了两类：一类是2，4，6，8，10叫作偶数；另一类是1，3，5，7，9叫作奇数。特别地，0也是偶数。偶数中只有2是质数，其余都是合数。也就是说，质数中只有2一个偶数，其余都是奇数。自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数，必然是一个奇数，一个偶数。奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。一个数在与奇数进行加减运算时，必会改变其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个偶数；一个偶数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个奇数。一个数在与偶数进行加减运算时，必会保持其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个奇数；一个偶数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个偶数。而在进行乘法运算时则不同，任何一个数乘以偶数，都得偶数；而只有奇数乘以奇数时，才得奇数。我们将以上性质总结如下：（1）奇数奇数偶数奇数偶数奇数偶数偶数偶数（2）奇数奇数奇数奇数偶数偶数偶数偶数偶数进一步，我们还可以得到：（3）奇数个奇数相加，和为奇数；偶数个奇数相加，和为偶数；任意个偶数相加，和为偶数。（4）如果两个整数的和为奇数，那么这两个数一定是一奇一偶；如果两个整数的积为奇数，那么这两个数一定都是奇数。例1 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？解：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。例2 有6张扑克牌，画面都向上。小明每次翻转其中的5张，那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？解：同上题一样，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它由画面向上变为画面向下。要使6张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。6个奇数的和为偶数。所以翻动的总张数为偶数时才能使6张牌的牌面都向下。小明每次翻动5张，只有翻动偶数次时，翻动的总张数才为偶数。翻动两次时，一张牌最多被翻两次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于2的奇数只有1。从而要使每张牌画面向下只能翻动6张。而小明翻了5210张。所以翻两次不能使6张牌画面向下。翻动4次时，每张牌最多翻4次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于4的奇数有1和3。即使每张牌都翻动3次，也只翻动了6318张。而小明翻了5420张。所以翻4次也不能使6张牌画面都向下。翻动6次时，可以使6张牌画面都向下。下面给出一种方法：第一次翻动第1、2、3、4、5张；第二次翻动第1、2、3、4、6张；第三次翻动第1、2、3、5、6张；第四次翻动第1、2、4、5、6张；第五次翻动第1、3、4、5、6张；第六次翻动第2、3、4、5、6张。这样，每张牌都翻动了5次，所以每张牌的画面都向下。例3 博物馆有并列的5间展室，保安人员在里面巡逻。他每经过一间，就要拉一下这间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间。如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？分析：当一个房间的开关被拉动偶数次时，这间房间的灯亮着，反之则熄灭。警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程。在这个过程中，2、3、4展室的电灯开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次。解：1008124即警卫走了12个来回，并重新走过第l、2、3、4、展室。这时有如下情形：第1展室的电灯开关被拉动了12113（次）；第2展室的电灯开关被拉动了122125（次）；第3展室的电灯开关被拉动了122125（次）；第4展室的电灯开关被拉动了122125（次）；第5展室的电灯开关被拉动了12次。所以，第1、2、3、4展室的灯熄灭了，第5展室的灯亮着。例4 甲盒中放有180个白色围棋子和 181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子。李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少次后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？解：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会放一个棋子回甲盒。所以他每拿一次，甲盒中的棋子数就减少一个。所以他拿1801811360次后，甲盒里只剩下一个棋子。如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒中的黑子数不变。就是说，李平每次从甲盒中拿出的黑子数是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。例5 图51是一张88的正方形纸片。将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个12的长方形纸片？解：如图52我们在方格内顺序地填上奇、偶两字。这时就会发现，要从上长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个奇，一个偶。我们再数一下奇字和偶字的个数，奇字有30个，偶字有32个。所以这张纸不能剪成若干个12的长方形纸片。习题五11351993的得数是奇数还是偶数？2两个数的和，减去这两个数的差，其得数是奇数还是偶数？3相邻两个整数的和是奇数还是偶数？4一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5那么这串数的第100个是奇数还是偶数？530个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？6一个小于200的奇数，它的各位数字之和是奇数，并且它可表示成两个两位数的积，那么这个数是几？7小红将99个球放入十几个盒子，其中有些盒子中放了12个球，其余的各盒放5个。问他共有多少个盒子？8将19这9个数字填入33的方格中，每格填一个数字。要求满足以下两个条件：（1）如把每行看成一个三位数，那么第一行加上第二行，恰好等于第三行；（2）相邻两个数字所在的格