（试题 试卷 真题）知识点17 与二次函数有关几何方面应用

知识点17 与二次函数有关几何方面应用（崔逊林）一、选择题1.（2011省市X模，题号，分值）【答案】2. （2011省市X模，题号，分值）【答案】3. （2011省市X模，题号，分值）【答案】4. （2011省市X模，题号，分值）【答案】5. （2011省市X模，题号，分值）【答案】6. （2011省市X模，题号，分值）【答案】7. （2011省市X模，题号，分值）【答案】8. （2011省市X模，题号，分值）【答案】9. （2011省市X模，题号，分值）【答案】10（2011省市X模，题号，分值）【答案】11.（2011省市X模，题号，分值）【答案】12. （2011省市X模，题号，分值）【答案】13. （2011省市X模，题号，分值）【答案】14. （2011省市X模，题号，分值）【答案】15. （2011省市X模，题号，分值）【答案】16. （2011省市X模，题号，分值）【答案】17. （2011省市X模，题号，分值）【答案】18. （2011省市X模，题号，分值）【答案】19. （2011省市X模，题号，分值）【答案】20（2011省市X模，题号，分值）【答案】二、填空题第1题图1.（2011福建省泉州市晋江初中学业质量检查，17，4）如图，抛物线:的对称轴为直线,将抛物线向上平移5个单位长度得到抛物线,则抛物线的顶点坐标为 ；图中的两条抛物线、直 线与轴所围成的图形(图中阴影部分)的面积为 .【答案】 ,2. （2011江苏省盐城市高中阶段教育招生统一考试仿真卷，18，3）如图，已知P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2-2上运动，当P与轴相切时，圆心P的坐标为_ _。第2题图PyxO【答案】（0，-2）（-2，2）（2，2）；3. （2011省市X模，题号，分值）【答案】4. （2011省市X模，题号，分值）【答案】5. （2011省市X模，题号，分值）【答案】6. （2011省市X模，题号，分值）【答案】7. （2011省市X模，题号，分值）【答案】8. （2011省市X模，题号，分值）【答案】9. （2011省市X模，题号，分值）【答案】10（2011省市X模，题号，分值）【答案】11.（2011省市X模，题号，分值）【答案】12. （2011省市X模，题号，分值）【答案】13. （2011省市X模，题号，分值）【答案】14. （2011省市X模，题号，分值）【答案】15. （2011省市X模，题号，分值）【答案】16. （2011省市X模，题号，分值）【答案】17. （2011省市X模，题号，分值）【答案】18. （2011省市X模，题号，分值）【答案】19. （2011省市X模，题号，分值）【答案】20（2011省市X模，题号，分值）【答案】三、解答题1.（2011广东省清远市初中毕业生学业考试一模，25，9）如图1，抛物线过点A（，0）、B（，0）、C（0，），、是方程的两根，且，点是此抛物线的顶点. （1）求这条抛物线的表达式；（2）填空：（1）问题中抛物线先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线是_； （3）在第一象限内，问题（1）中的抛物线上是否存在点，使.ABCDO图1【答案】(1)设此抛物线的表达式为ABCDO图1E 由得 ， 点的坐标为（4，0），点的坐标为（，0） 抛物线经过点（0，）， 又抛物线经过、两点， 解得：， 设此抛物线的表达式为 （2）y=(x-3)-6 或y=x2-6x+3（3）存在 由得 点的坐标是（1，） 过点作轴，垂足为，设点的坐标为（，） 又 点在抛物线上， 解得：，（舍去） 点的坐标为（，2） 2. （2011河南省中招考试说明解密预测试卷六，23，11）如图，二次函数的图像与x轴的交点是A(m，0)、B(n，0)，与y轴的交点是C（0，2）（1）求m，n的值；（2）设P(x，y)(0 x n)是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q线段PQ的长度是否存在最大值？如果有，最大值是多少？如果不存在，请说明理由.yAOBPxCQ当以O、A、Q为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标【答案】（1）抛物线过C(0,2)c=2 1分抛物线过A(m，0)、B(n，0) m ,n分别是一元二次方程的两根yAOBPxCQ图1解，得 （2）设直线BC的函数表达式为ykxb则有 解得直线BC的函数表达式为yx20 x 6PQyQyP(x2)(x 2x2)x 2x (x3)21 当x=3时，线段PQ的长度取得最大值，最大值为1当OAQ90时，点P与点A重合，P1(3，0) 当QOA90时，点P与点C重合，x0（不合题意） yAOBPxCQ图2D当OQA90时，设PQ与轴交于点D，如图2QODOQD90，OQDAQD90QODAQD又ODQQDA90，ODQQDA，即DQ 2ODDA3. （2011河南中招考试说明解密预测试卷四，23，11）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与轴交于另一点A.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P(x,y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线轴与点M，交直线BC于点N.yBxOCNPAM若点P在第一象限内.试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值，若不存在，请说明理由；求以BC为底边的等腰三角形PBC的面积.【答案】（1）B(4,0) C(0,4) 点B、C在抛物线上， 解得：b=3, c=4, 所求函数关系式为 （2）点P（x , y）在抛物线上，且PNx轴， 设点P的左边为（，） 同理可设点N的坐标为（x , -x+4 ） 又点P在第一象限，来源:学.科.网 PN=PM-NM = ()-(-x+4) = = 当x=2时，线段PN的长度的最大值为4 以BC为底边的等腰PBC则PB=PC，点P在线段BC的垂直平分线上，又由知，OB=OC BC的中垂线也是的平分线，交BC于点Q 设点P的坐标为（a , a） 又点P在抛物线上， 于是有 ，解得 ，设点P的坐标为：当点P的坐标为时，点P在第一象限，OP= ，OQ=PQ=,S=当点P的坐标为时，点P在第三象限，OP=，PQ=, S=等腰PBC的面积为.4. （2011河南中招考试说明解密预测试卷五，23，12）如图，函数L1:（-2）+4(x0)的图象顶点为M，过点B(4,0),将图象绕原点旋转180后得到函数L2的图象，顶点为N,与x轴交于点A.（1）分别求出L1、L2的函数解析式.（2）P为抛物线L1上一动点,连接PO交L2于Q,连接PN、QN、PM、QM.求：平行四边形 PMQN的面积S与P点横坐标x（0x4）间关系式(3)求出平行四边形 PMQN的面积S的最大值，及此时P点的坐标.AOBMPQNxy【答案】（1）把B（4,0）代入y=a(x-2)2+4得a=-1抛物线L1:y=-x2+4x 抛物线L2:y=x2+4x (2)根据P点位置进行分类讨论：1.若P 点在抛物线的AM段（2x4）S平行四边形PMQN=4SPOM=4x28x2.若P 点在抛物线的OM段（0x2）S平行四边形PMQN=4SPOM= -4x2+8x (3) 当2x4时，y随x的增大而增大当x=4时，S最大=32当0x2时，x=1时，S最大=4当x=4时，S最大=32，此时P点坐标为（4,0）.5. （2011安徽省蚌埠市七中高一自主招生考试，19，18）如图，二次函数（）的图象与反比例函数y=图象相交于点，已知点的坐标为，点在第三象限内，且的面积为（为坐标原点）. 求实数的值； 求二次函数（）的解析式； 设抛物线与轴的另一个交点为，点为线段OD上的动点（与OD不重合），过E点作EFOB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，BEF的面积为S，求S与m的函数关系式；xyAOBFED 在的基础上，试说明S是否存在最大值；若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】；y=x23x; S=m2m;存在，Smax= , .6. （2011福建省南平市九年级适应性检测，26，14）如图，已知A（2，）为顶点的抛物线经过点B（4 , 0）（1) 求该抛物线的解析式；（2）设点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点E为抛物线上一动点，点E作直线y=2 的垂线，垂足为N 探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系，并证明你的结论； 抛物线上是否有点E使EDN为等边三角形？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由【提示：抛物线y=ax+bx+c （a0）的对称轴是x=，来源:Z&xx&k.Com顶点坐标是】【答案】（1）设抛物线的解析式为y=（x-h）2+k 抛物线的顶点A（2，-1）且过点B（4，0） y=a（x-2）2 -1，且0=4a-1，a= 抛物线的解析式为y= （2）猜想：DE=NE 证明：易得D（2，0） 当E与B重合时，DE=2,EN=2,DE=EN 当E与O重合时，DE=2,EN=2,DE=EN 当E与A重合时，DE=1,EN=1,DE=EN （上述三种情况未讨论或讨论不完整，扣1分） 当点E不与B、O、A重合时， 设点E坐标为，EN交x轴与点F 在RtDEF中， DE=DF+EF=（x）+y 又NE=y, NE=y4y4=y+4=yx4x+4=(x2) +y DE=NE 综上所述，DE=NE答：存在 当点E在x轴上时EDN为直角三角形，点E在x轴下方时EDN为钝角三角形，所以只当在E在x轴上方时EDN才可能为等边三角形（注意：未作上述说明不扣分！）理由一：若EDN为等边三角形，DE=NE=DN，且ENx轴，EN=FN=2， y= x-x=2解得， x=22点E坐标为（22，2）和（22，2）理由二：若EDN为等边三角形，DE=NE=DN，且ENx轴，EFD=30，EN=FN=2在RtDEF中，tanEDF=，DF=2 DA是抛物线的对称轴，且D（2,0）根据抛物线的对称性得点E的坐标为（22，2）和（22，2）7. （2011广东省汕头市中考模拟考试数学试卷，24，12）如图的平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G（1）求OC和OB的长；（2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P设OE =m，PM =h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；MCByODPxAEFl（第7题图）G（3）连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和BEM相似？若存在，直接求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由【答案】（1）对于，MCByODPxAEl（第7题图）F当=0时，=4；当=0时，解得 点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）OC=4， OB=3 （2）抛物线的对称轴轴，在边PE，PE轴OE =m，点P的横坐标为m点P在抛物线上，点P的纵坐标为PE= 在RtBOC中，tanOBC=在RtBME中，ME=BE tanOBC=（OBOE）tanOBC=（3m）=4mPM = PEME =4+m= h与m的函数关系式为h=（0m3）又h=，0，当m=时，h有最大值为3，PM的最大值为3 （3）当m=时，PFCBEM，此时PCM为直角三角形（PCM为直角）； 当m=1时，CFPBEM，此时PCM为等腰三角形（PC=CM）8. （2011广东省惠州市初中毕业生学业模拟考试，22，9）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NPBC，交AC于P，连结MP. 已知动点运动了x秒.（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）（2）试求 MPA面积的最大值，并求此时x的值。（3）请你探索：当x为何值时，MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。【答案】（）(3x , x)(2)设MPA的面积为S，在MPA中，MA=3x，MA边上的高为x，其中，0x3.S=（3x）x =(x2+3x) = (x)2+S的最大值为此时x =. (3)延长交x轴于，则有若x.3x=3, x=1 若，则32x，=x，x在t 中，222(x) 2=(32x) 2+ (x) 2x= 若，x，xx=xx= 综上所述，x=1，或x=，或x=。9. （2011广东省实验中学初三综合测试（一），25，14）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与PMN重叠部分的面积为（1）求点的坐标第9题（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式（3）若在直线上存在点，使等于，请直接写出的取值范围 （4）在值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的值【答案】（1）作于，则图，（2）当时，如图，当时，如图，设交于图即或当时，如图，设交于，或当时，如图， （此问不画图不扣分）图图（3） （提示：以为直径作圆，当直线与此圆相切时，）（4）的值为，图（提示：当时，当时，（舍），当时，）10（2011海南省初中毕业生模拟考试，24，14）如图14，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3。 （1）求抛物线的解析式；（2）作RtOBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。yx图14AOBCED【答案】（1）OA2，点A的坐标为（2，0）.OC3，点C的坐标为（0，3）.把（2，0），（0，3）代入，得022bc b 解得3c c3抛物线解析式为。（2）把y0代入，解得x12, x23点B的坐标为（3，0），OBOC3ODBC，OD平分BOCOE所在的直线为yxx图141AOBCEDPyx x12， x23解方程组 得y y12， y23点E在第一象限内，点E的坐标为（2，2）。（3）存在，如图141，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，把y2代入，解得x11, x22点P的坐标为（1，2）PEOB，且PEOB3x图142AOBCEDQ四边形OBEP是平行四边形在x轴上方的抛物线上，存在一点P（1，2），使得四边形OBEP是平行四边形。（4）存在，如图142，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BEQAQB，BEQ的周长等于BEQAQE又BE的长是定值A、Q、E在同一直线上时，BEQ的周长最小，由A（2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为抛物线的对称轴是x点Q的坐标为（，）所以，在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得BEQ的周长最小。11.（2011河南省中招考试猜题试卷六，23，11）如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；(1) 求该拋物线的解析式，并判断ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.yABCOx【答案】(1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y=-x2+ax+b中，得，解这个方程，得a=，b=1，该拋物线的解析式为y=-x2+x+1，当x=0时，y=1，点C的坐标为(0，1)，在AOC中，AC=. 在BOC中，BC=. AB=OA+OB=+2=，=，ABC是直角三角形. (2) 点D的坐标为(，1). (3) 存在.由(1)知，ACBC.若以BC为底边，则BC/AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为y=-x+1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=-x+b，把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b=-，yABCOxP 图 1yABCOPx 图2 直线AP的解析式为y=-x-.点P既在拋物线上，又在直线AP上， 点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2=- (舍去).当x=时，y=-，点P(，-). 若以AC为底边，则BP/AC，如图2所示. 可求得直线AC的解析式为y=2x+1.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b=-4， 直线BP的解析式为y=2x-4.点P既在拋物线上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1=-，x2=2(舍去). 当x=-时，y=-9，点P的坐标为(-，-9). 综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9). 12. （2011河南中招考试说明解密预测试卷四，23，11）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与轴交于另一点A.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P(x,y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线轴与点M，交直线BC于点N.yBxOCNPAM若点P在第一象限内.试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值，若不存在，请说明理由；求以BC为底边的等腰三角形PBC的面积.【答案】（1）B(4,0) C(0,4) 点B、C在抛物线上， x|k.Com 解得：b=3, c=4, 所求函数关系式为（2）点P（x , y）在抛物线上，且PNx轴， 设点P的左边为（，） 同理可设点N的坐标为（x , -x+4 ） 又点P在第一象限， PN=PM-NM = ()-(-x+4) = = 当x=2时，线段PN的长度的最大值为4 以BC为底边的等腰PBC则PB=PC，点P在线段BC的垂直平分线上，又由知，OB=OC BC的中垂线也是的平分线，交BC于点Q 设点P的坐标为（a , a） 又点P在抛物线上， 于是有 ，解得 ，源:学*科*网Z*X*X*K设点P的坐标为： 当点P的坐标为时，点P在第一象限，OP= ，OQ=PQ=,S= 当点P的坐标为时，点P在第三象限，OP=，PQ=, S=等腰PBC的面积为 13. （2011河南省河南中招押题试卷二，23，12）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且，=4，=6，=8正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为 （1）求正方形的边长；（2）正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（0）的变化情况是 ；当正方形顶点移动到点时，求的值；（3）设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式ABCODEF【答案】（1），ABCODEFMN（如图） 设正方形的边长为， ，或（舍去）（2）先增大而减少（3）当04时，重叠部分为三角形，如图 可得，ABCODEF（如图） ，= 当46时，重叠部分为直角梯形，如图ABCODEFM（如图） 当68时，重叠部分为五边形，如图 可得，AOBCDEFM（如图） = 当810时，重叠部分为五边形，如图 =ABCOEF当1014时，重叠部分为矩形，如图 O（如图）14. （2011河南省中招押题试卷三，22，10）如图,等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD，AD=2,BC=4.点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动.过点N作NPBC,垂足为P，NP2.连接AC交NP于Q，连接MQ.若点N运动时间为t秒.求：（1）请用含t的代数式表示PC；（2）求CMQ的面积S与时间t的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？【答案】（1）如图,过A作AE垂直x轴于E，则由等腰梯形的对称性可知：BE=当动点N运动t秒时，PC1+t. （2）ADBC，NPBCANQ=CPQ=90又AQN=CQPAQNCQP PQ=点M以每秒2个单位运动，BM2t，CM42tSCMQ 当t2时，M运动到C点，CMQ不存在，t2t的取值范围是0t2SCMQ.当S有最大值，最大值是. 15. （2011河南省中招押题试卷三，23，11）如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式. (2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.移动开始后第t秒时, 设PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.xy当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.【答案】（1）设抛物线的解析式为，由题意知点A（0，12），所以，又18a+c=0，ABCD,且AB=6,抛物线的对称轴是所以抛物线的解析式为 （2）， 当时，S取最大值为9.这时点P的坐标（3，12），点Q坐标（6，6）若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，18），将（3，18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在， 点R的坐标就是（3，18）； （）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，6），将（3，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件. （）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，6），将（9，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件综上所述，点R坐标为（3，18） 16. （2011河南省中招押题试卷一，23，11）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；BACxy o（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）过点作轴，垂足为，BADCOMNxyP1P2； 又， 点的坐标为；（2）抛物线经过点，则得到，解得，所以抛物线的解析式为；（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，；，可求得点； 若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，同理可证； ，可求得点；经检验，点与点都在抛物线上 17. （2011河南省新密市九年级教学质量检测试卷，23，10）阅读材料： 如图12-1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(-1,-4),交x轴于点A(-3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.DBCOAyx【答案】（1）设抛物线的解析式为=a（x+1-4.把A（-3，0）代入解析式，解得a=1.抛物线的表达式为=（x+1-4=+2x-4 B点的坐标为（0，-3）. 设直线AB的表达式为把A（-3，0），B(0,-3)待入，得解得k=-1，b=-3. 直线AB的表达式为 （2）因为点C坐标为（-1，-4），当x=-1时，. CD=-2-(-4)=2. . (3) 假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x（-3x0），PAB的铅垂高为h.则h= 由得. 化简得：.解得. 将x=-2代入中， 解得P点坐标为（-2，-3）.将x=-1代入中， P点坐标为（-1，-4）与顶点C重合.所以还存在点P（-2，-3），满足条件. 18. （2011湖北省黄冈中学模拟数学试题，25，14）如图，已知抛物线y=a(x1)2(a0)经过点A（2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC (1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长【答案】(1)抛物线y=a(x1)2(a0)经过点A（2，0），二次函数的解析式为： 来源:学.科.网Z.X.X.K(2)D为抛物线的顶点，D（1，），过D作DNOB于N，则DN=AN=3，DAO=60OM/AD，当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，OP=6，t=6(s)当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OHAD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出DAO=60可由RtOHARtDNA求AH=1）OP=DH=5，t=5(s)当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，OP=AD2AH=62=4，t=4(s)综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形(3)由（2）及已知，COB=60，OC=OB，OCB是等边三角形，则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，OQ=62t(0t3)过P作PEOQ于E，19. （2011湖北省襄阳市普通高中推荐招生考试，20，13）如图，直径为的M圆心在x轴正半轴上，M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点 为N（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由ECxBOADyMN【答案】（）连接MC，直径ABCD ，OC=OD=2，又MC=AB=2.5在RtOMC中，OM2=MC2OC2 ，OM=1.5，OA=1，OB=4，则有A（1，0），B（4，0），C（0，2） a-b+c=0，16a+4b+c=0，C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(1,0)，点B(4,0)和C(0,2)三点,解这个方程组得 a=,b=,c=2.所求抛物线解析式为 y=x2x2. （）配方得 y= (x)2. 顶点坐标为(,). 作对称轴MN，过点N作NH轴于H.在CMN和CHN中，CN2+CM2=（）2+（2）2+（）2=，MN2=（）2=CN2+CM2= MN2， MCN是直角三角形且MCN=900，又MC是半径，直线CN是M的切线 . （）存在以、P、Q为顶点的四边形是平行四边形设P点坐标为（x,y）且在（）中所求抛物线上，又由题意可知Q点在对称轴直线上，点Q的横坐标为. 分以下三种情况讨论： 当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时，QP=x在平行四边形ABPQ中, AB=QP=5, x=5,x=此时y=x2x2=点P的坐标为(,) 当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时，PQ=x在平行四边形ABMN中,AB=PQ =5 x=5 x=此时y=x2x2=点P的坐标为(,) 当AB为对角线时,点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,) 综上所述点所求P的坐标为(,)或(,)或(,) 20（2011湖北省枣阳市中考适应性考试，26，12）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为（05）秒.（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）以OC为直径的O与BC交于点M，当t为何值时，PM与O相切？请说明理由.（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同.记BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？是否存在NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由.OMCBAxyPQNOOCBAxy备用图O图M【答案】（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12. C(0,9)，B(12,0).又抛物线经过B，C两点，解得.于是令y=0，得，解得x1=-3，x2=12. A(-3,0).（2）当t=3秒时，PM与O相切.连接OM.OC是O的直径，OMC=90. OMB=90.OO是O的半径