（试题 试卷 真题）全国初中数学竞赛试题及答案（2003年）

2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题一、选择题（每小题7分，共42分）1、2。A54 B41C5D12、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是个。A0B1C3D53、若函数ykx(k0)与函数yx1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则ABC的面积为。A1B2Ck Dk24、满足等式x2003的正整数对的个数是。A1B2C3D45、设ABC的面积为1，D是边AB上一点，且ADAB13。若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为。A B C D6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB4，BE5，则ED的长为。A3B4C D二、填空题（每小题7分，共28分）1、 抛物线yaxbxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若ABC是直角三角形，则ac。2、 设m是整数，且方程3x2mx2=0的两根都大于而小于，则m=_。3、 如图，AA1、BB1分别是EAB、DBC的平分线，若AA1BB1AB，则BAC的度数为。4、 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是。三、（本题满分20分）在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DEDF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：DEMDFN；PAEPBF。四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且abcd+x，试求x的值。五、已知：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。这样的四边形有几个？求这样的四边形边长的平方和的最小值。试题说明：这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。2003年全国初中数学联赛答案：第一试一、1、(D)；2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。3、(A)；设A()，则，故。又因为ABO与CBO同底等高，因此，4、(B)；由已知等式可得而，所以，。故又因为2003为质数，必有或5、(B)；如图3，连结BE，设，则。故6、(D)；如图4，连结AC、CE。由AEBC，知四边形ABCE是等腰梯形。故ACBE5。又因为DcAB，DC与圆相切，所以，BACACDABC。则ACBCAD5，DCAB4因为，故二、1、1；设A。由ABC是直角三角形可知必异号。则由射影定理知，即；故2、4；由题设可知，解得。故3、12；设BAC的度数为因，故又，则CBD。因为故，解得4、225；设()，且，其中，与互质。于是的最小公倍数为。依题意有，即又，据式(2)可得根据式(1)，只能取，可求得故两个数中较大的数是。第二试A卷一、解：设前后两个二位数分别为，有；即当即，则时，方程有实数解由于必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故仅可取25；此时，或故所求四位数为2025或3025二、(1)如图，据题设可知，DMBN，DMBN，DNAM，DNAM故AMDBND因为M、N分别是RtAEP和RtBFP斜边的中点，所以，EMAMDN，FNBNDM又已知DEDF，故DEMFDN(2)由上述三角形全等可知EMDFND，则AMEBNF而AME、BNF均为等腰三角形，所以，PAEPBF三、解：由已知有 ； ； ； 由式解出 式代入式得 将式代入得即 由式得，代入式得由已知，故若，则由式可得，矛盾。故有B卷一、同(A卷)第一题的解答。二、如图，分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。由D是AB的中点，则DMBN，DMBN，DNAM，DNAM。故AMDBND。又因为M、N分别是RtAEP、RtBFP斜边的中点，所以，EMAMDN，FNBNDM。因为DEDF，则DEMFDN故EMDFND，从而，AMEBNF而AME、BNF均为等腰三角形，故PAEPBF三、(1)如图，记ABa，CDb，AC，并设ABC的边AB上的高为，ADC的边DC上的高为。则仅当时等号成立。即在四边形ABCD中，当ACAB，ACCD时等号成立。由已知可得又由题设，可得于是，且这时ACAB，ACCD因此，这样的四边形有如下4下：，它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。(2)