24.1.1圆.doc

24.1.1圆 2010-07-27【学习目标】1理解圆的定义，掌握点和圆的位置关系2理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧、弓形等与圆有关的概念3了解轨迹的概念和几个简单轨迹【主体知识归纳】1圆是 的集合2平面上点与圆的位置关系是由 的距离d与半径r的大小关系来确定的，当dr时，点在圆上；当dr时，点在圆内；当dr时，点在圆外反之，亦成立3连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做 4圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做 ；大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧5能够重合的两个圆叫做等圆同圆或等圆的半径相等在同圆或等圆中，能互相重合的弧叫做 6由弦及其所对的弧组成的图形叫 7符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，即图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，即符合条件的任何一点都在图形上8五种基本轨迹：(1)到定点的距离等于定长d的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为 的圆(2)和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的 线(3)到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 线(4)到直线L的距离等于定长d的点的轨迹是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的 条直线(5)到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的 条直线【基础知识讲解】1圆是到定点的距离等于定长的点的集合若把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：(1)在图形上的每一个点都满足条件；(2)满足条件的每一个点都在这个图形上这两方面的要求缺一不可2本节的概念较多，要弄清这些概念之间的区别与联系如：直径和弦直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最大的弦，但弦不一定是直径同圆，等圆和同心圆同圆是指同一个圆；等圆，同心圆是指两个圆的关系，前者半径相等，后者是圆心相同，而半径不相等等弧必在同圆或等圆中，因为只有同圆或等圆中，两条弧才有可能互相重合，长度相等的，不一定是等弧3设O的半径为R,点P与O有三种位置关系：(1)点P在O上OP (2)点P在O内OP R(3)点P在O外OP R“”表示由点与圆的位置关系，可得点到圆心的距离与半径的大小关系；“”表示由点到圆心的距离与半径的大小关系，可判定点和圆的位置关系，这种形与数的相互转化，是数学中研究问题的重要手段4轨迹的概念比较抽象，课本给出了两种轨迹定义(1)用运动的观点来定义点的轨迹：点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形(2)用集合的观点来定义点的轨迹：我们把符合某一条件的所有点的集合，叫做符合这个条件的点的轨迹对于上面的两种定义方法，初中阶段只要求做到了解【例题精讲】例1：如图71，已知矩形ABCD的边AB3 cm,AD4 cm(1)以点A为圆心，4 cm为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何？(2)若以点A为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么？剖析：要判断点B、C、D与A的位置关系，只需比较AB、AC、AD的长度与半径r的大小即可解：(1)r4 cm,AB3 cm4 cm, 点C在A外(2)AB3 cm,AD4 cm,AC5cm, 也就是说，点B到圆心A的距离是3cm,是最短距离，点C到圆心A的距离5 cm是最长距离要使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，A的半径的取值范围是：3 cmr5 cm例2：求证：菱形四条边的中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上已知：如图72，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点 求证：E、F、G、H四点在以点O为圆心的同一个圆上剖析：要证明该结论，只须证明E、F、G、H四点到点O的距离相等，故连结OE、OF、OG、OH，证明OEOFOGOH即可证明：连结OE、OF、OG、OH四边形ABCD是菱形 同理OFBC,OGCD,OHDAOEOFOGOH E、F、G、H四点在以O为圆心，OE为半径的圆上说明：证明若干点共圆，利用圆的定义，转化为证菱形四边中点到某一定点的距离相等那么定点怎样确定呢?猜测出是菱形的两条对角线的交点，进而转化为证线段相等证若干点共圆的一般思考方法是：猜想圆心的位置，转证线段相等例3：画图说明符合下列条件的点的轨迹：(1)到AOB的两边距离相等的点的轨迹； (2)到直线l的距离等于定长d的点的轨迹；(3)以已知线段AB为底的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹 解：(1)如图73，到AOB的两边距离相等的点的轨迹是AOB的平分线OC(2)如图74到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到直线l的距离等于定长d的两条直线l1、l2(3)如图75以已知线段AB为底的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹，是线段AB的垂直平分线(交点O除外)例4：O的半径为2.5,动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点的距离为1，问点P、点Q和O是什么位置关系？为什么？剖析：这是一个很有趣的问题，若把点O看作太阳，则点P好比是地球，点Q好比是月亮点P到点O的距离是2，点P运动时，带着点Q也运动，但是PQ的长始终是1我们不妨把点P固定，那么点Q的轨迹就是以点P为圆心，以1为半径的圆显然点Q与O的位置关系有三种可能即在圆内、在圆上和在圆外解：OP2，r2.5,(如图76)点P在O的内部当点Q在OP上时，点Q和点O的距离最小，即OQOP11.当点Q在OP的延长线上时，点Q和点O的距离最大，即OQOP13.1OQ3,点Q既可能在O内，也可能在O上、O外【同步达纲练习】1选择题(1)若O外一点P到圆的最长距离是10 cm，最短距离是2 cm,则O的半径=（ ）cm A8 B5 C4 3 (2)下列结论正确的是（ ）A直径是弦 B弦是直径 C半圆不是弧 弧是半圆(3)在同圆或等圆中，一条优弧和一条劣弧的差一定是（ ）A优弧B劣弧C半圆不能确定(4)下列语句优弧一定比劣弧长；面积相等的两个圆是等圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内的一个定点可以作无数条弦；经过圆内一定点可以作无数条直径。不正确的个数是（ ）A1 B2 C3 4(5)已知圆心在坐标原点上，半径为3，点A的坐标是(4，3)，则A点与O的位置关系是（ ）A在O上B在O外C在O内在坐标原点上(6)已知O的直径为AB，在圆上取一点C，作CDAB，垂足为D，如果CD3 cm,OD4 cm,那么AB=（ ）A5 cm B10 cmC15 cm 20 cm(7)下列命题中，正确的是（ ）A矩形四个顶点都在同一个圆上 B圆内一点到圆上一点距离小于半径C过圆心的线段叫做圆的直径 大于劣弧的弧叫做优弧(8)两个圆的圆心都是点O，半径分别为r1和r2，且r1OPr2，那么点P在（ ）A大O内B小O内C小O外大O内大O外(9)如图77，矩形ABCD四个顶点在O上，图中半圆弧的条数为（ ）A2 B3 C4 5 (10)如图78，O中，A、B、C、E在O上，则图中弦的条数为（ ）A.2 B.3 C.4 .5 2填空题(1)如图79，AB为O的直径，AC为弦，ODBC交AC于D，若BC2cm则OD_；(2)直线AB与O交于A、B两点，且AB8 cm,O到AB的距离是3 cm,若OP3 cm,OQ5 cm,OR4cm,则P点在圆_ ，R点在圆_(3)设O的半径为R，点A到点O的距离为d，若点A在圆外，则d _R；若点A在圆内，则d _R，若点A在圆上，则d _R (4)以一个定点为圆心，可以画_个圆，这些圆是_(5)以已知线段为半径画圆，可以画_个圆，这些圆是_(6)以矩形ABCD的顶点A为圆心作A，要使B、C、D三点中至少有一个点在A内，至少有一个点在A外如果BC12，CD5则A的半径r的取值范围是_3已知O的半径为3cm，点A为线段OM的中点，当OA满足下列条件时，分别指出点M和O的位置关系(1)OA1cm；(2)OA1.5cm；(3)OA3cm4已知O的半径是3 cm，说明O上，O的内部，O的外部分别是具有什么性质的点的集合5已知如图710,在 ABCD中，AEBC，AFCD，E、F为垂足，求证：A、E、C、F在同一个圆上6画图说明符合下列条件的点的轨迹(1)和已知点O的距离等于2 cm的点的轨迹(2)和已知直线L的距离等于1 cm的点的轨迹(3)和两条距离是3 cm的平行直线AB、CD距离相等的点的轨迹(4)在底边给定，高为h的三角形中的另一个顶点的轨迹；(5)到直角AOB的两边距离相等的点的轨迹参考答案【同步达纲练习】1(1)C (2)A (3)D (4)C (5)C (6)B (7)A (8)C (9)C (10)B2(1) cm(2)内，上，外 (3),(4)无数多，同心圆 (5)无数多，等圆 (6)5r133(1)MO2OA,OA1 cmMO2cm又O的半径r3 cm,即有MOr点M在O的内部(2)MO3 cmr,点M在O上(3)MO6cmr,