初中数学竞赛基础知识专题系列讲座 第三节 完全平方数.pdf

考 试在线 竞 赛之 路 2 0 1 1年 第8 甥 中旬 中学盎学教 学参考 编者按为配合一线师生课外竞赛辅导学习 我刊特 以初中数学竞赛大纲为依据 策划 组编了 初中数学竞赛 基础知识专题 系列讲座 自 2 0 1 1 年 第 7 期起 每期刊登 两个专题 每 个专题 内容 包括 内容精讲 典例 简析 针 对训 练 三部分 敬请读者关注 有意参与撰稿的老师可以电询编辑部预约 I 1 初 中 数 学 竞 赛 基 础 知 识 凰 骄鏖 第三节 完 一方 数 向 中军 河 南省 方城 县博 望二 中 一 内容糨讲 0 一 一 0 0 彤0 对于整数 如果 存 在另 一 个 整数 满 足 一 那么我们就说 是一个完全平方数 简称平方 数 平方数是一类 比较特殊的整数 也是数学竞赛的 常考内容 平方数有以下几条最简单 最基本 最重要 的性 质 1 完全平方数的个位数字只能是 0 1 4 5 6 9 2 完 全平方 数 的质 因数 的指数 都是 偶数 3 奇数的平方被 8除余 1 故易知奇数 的偶次幂 被 8除余 1 从而奇数 的奇次幂与该奇数被 8除余数 相同 即对模 8同余 4 偶数的平方被 8除余数为 4或 0 当且仅 当该 偶数能被 4整除时余数为 0 否则 被 4除余 2 余数 为 4 5 奇数的平方数的十位数字一定是偶数 若一个 数的平方数的十位数字是奇数 那么这个数一定是偶 数 且它的个位数字一定是 6 利用平方数的性 质虽 然不 能肯定一个数是平方 数 但却可以很方便地否定一个数是平方数 并且可 以解一些特殊的不定方程 一 识 典例简析 0 0一 例 1 求 证 5 5 5 5 5 5 5 5 3 不是 平方 数 个 5 切入点分析 要证该数不是平方数 只需证 明它 被 8除所得 的余数不是 I即可 如何证明 因 1 0 0 0 能被 8整除 故该数被 8除所得的余数与它后三位数 被 8除所得的余数相同 从而只需证明 5 5 5 被 8除所 得 的余 数 不是 1即可 也 可 以证 明它 的某 个 质 因数 的 指数为 l 在通常情况下我们很难找到一个较大的数 的质 因数 但 该 数 比较 特 殊 很 明 显 5就 是 它 的一 个 质 因数 所 以只需 证 明它被 5除所 得 的商 不含 质 因数 5即可 对 于 比较特 殊 的数 还 可 以 利 用性 质 5 立 即 判别它不是平方数 证 法1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 0 0 0 4 5 5 5 一 个 5 n一3 个 5 8 1 2 5 5 5 5 55 5 5 5 8 69 3 8 1 2 5 一 n一3 个 5 X 5 5 5 5 5 5 5 5 6 9 4 3 故 由 性 质3 可 知 一 n一3 个 5 5 5 5 5 5 5 5 5 不 是平 方数 证 法 2 l5 5 5 5 5 5 5 5 一 5 由性 质 2 n个 5 个 1 可 知 若 曼 三 是平方数 那么 必 含 n 个 5 个 1 有质因数 5 即它能被 5整除 这与能被 5整除的数的 个位数字只能是 0或 5 矛盾 故5 5 5 5 5 5 5 5 不是平 n 个 5 方数 证法 3 若5 5 5 5 5 5 5 5 是平 方数 那 么它一定是 一 n 个 5 一 个奇数的平方 故 由性质 5可知 它的十位数字应 为偶数 这 与 已知 矛盾 从而 可知 它不 是平 方数 示例小结 一般地 一个 问题 的解决方法决不只 是一 种 所 以解 题时 思维 一定 要 灵 活 可 以从不 同的 角度 以不 同的观点 用 不 同的思 路 和方 法 来思 考 这 嚣 既是巩固知识 积累经验 也是提高解题能力的切实 可行的有效途径 例 2 1 9 9 0年 全 国初 中数 学联 赛试 题 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的和的个 位数 字是 切入点分析 如果能求出这个 和 当然就可 以 求出它的个位数 但这是不可能的 假如你不知道相 关的计算公式 也是不必要的 因为决定和的个位数 字的 是每个平方数 的个位数字 而平方数的个位数 只有 6种 可 能 所 以 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的个位 数 一 定是周期性 出现的 利用这一规律 很容易就能求 出和 的个位 数字 解 个位 数字是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0的数 的平 方数的个 位数 字分别是 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 将 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 每连 续 1 O个 数分 为一 组 可得 1 2 3 4 5 6 7 8 组 还有一组只有 9个数 但每组所有数 的 和的 个位 数 都 是 5 故 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的和 的 个位数字为 5 1 2 3 4 5 6 7 9的个位数字 即 5 示例 小 结 这类 问题 要在 寻找 规律 上下 工夫 一 般 地 数 字越 多 越 大 结 果 往 往 越 简 单 因 为其 中蕴 涵周期性的规律 一旦找出规律 问题便能迎刃而解 例 3 求证 三边 长 都 是 正整数 的 直角 三 角形 必 有一直角边能被 4整除 切入点分析 直接证明有一直角边能被 4整除是 困难的 所 以我们可 以由简单到复杂来证明 一个数 如果能被 4整除 一定能被 2整除 故我们可以先证 明存在一条直角边 它的长为偶数 在此基础上 再利 用勾股定理 从分析平方数 的特征人手 得出最终要 证 明 的结 论 证 明 假 定 两 直 角 边 和 斜 边 的长 分 别 为 a b C 若 a b 都 是 奇 数 则 a b 都 是 奇 数 且 a 兰 1 roo d 8 b 三1 mo d 8 故 n b 必 为偶 数 且 口 b 2 mo d 8 又 a b 一C 故 f必 为偶 数 从 而 C 兰 0 mo d 8 或 C 三4 mo d 8 这 与 a b 一2 mo d 8 矛盾 故 a b必有一个为偶数 不妨令 b 为偶数 若 a为奇数 则 c 必为奇数 从而 a 兰1 mo d 8 C 1 mo d 8 故 b O mo d 8 即 b能被 4整除 若 口 也是偶数 则 c 必为偶数 令 n 一2 a 1 b 一2 b 1 f 一2 c l 易知 a 一c 由前 面 的证 明可 知 a b 必有 一 个 是偶 数 从 而 a b必有 一个 能被 4整 除 示例小 结 把要解 决 的较 复杂 的 问题 转化 为 已解 决的问题或相对较简单 的问题 化归 是一种非常 重要 的数学 思 想 严 格 说 来 解 题 的 过 程 就是 化 归 的 过程 当直 接证 明某 个 结 论 比较 困难 时 可 以先 证 明 一 个相对较弱的结论作为过渡 然后再设法把要证的 结论 往 已经证 明 的较 弱 的结论 上转 化 例 4 求方程 3 一2 一1的正整数解 切入点分析 该方程不是我们 常见的代数方程 所以常规方法是难以奏效的 对于这些我们之前没有 喜 事 线 j 一I 遇到过的问题 可以先 考虑 比较简单的情况 然后再 分类 讨论 各个击 破 解 显 然 z 一 1 一1是方程 的一 个解 一 2时 不存在满足要求的 假定 Y 2 则 8 I 2 若 为 奇 数 则 3 三 3 mo d 8 若 z 为偶 数 则 3 三 1 mo d 8 因 3 一 2 一1 故 必为偶数 令 z一2 m m 为正整数 则必存 在非负整数 P q P q 满足 3 一1 一 3 1 3 一 1 2 一2 2 且 2 一3 1 2 q 一3 一 1 即 2 p 一 2 2 故 2 一 2 一 1 从 而必 有 g 一 1 0 即 q 一 1 否则左 端为偶 数 右端 为奇 数 矛盾 故 P 一2 故 一3 从 而 一2 故方 程 3 一2 一 1只有 两个 正整 数 解 I x 2 示例小 结 分类 同设 未知 数列 方程 解应 用题 的道 理一样 相当于加强 了已知条件 可 以把一个 比较复 杂的问题分解为几个相对较为简单 的问题 使思路更 加 清 晰 流 畅 更有 针对性 例 5 1 9 9 1年英国数学竞赛试题 求证 当 为 非负整数时 3 2 1 7 不是完全平方数 切入点分 析 显然 对于任 意的 自然数 l 3 2 1 7 都是奇数 由平方数的性质可知 要确定它不是 完全平方数 有四种方法 证明 3 2 1 7 的正约 数 的个数是偶数 证明 3 2 1 7 的十位数是奇 数 证 明3 2 1 7 的个 位 数 不 是 0 1 4 5 6 9 证明 3 2 l 7 被 8除的余数不是 1 但 由于 n是 任意的 所以我们无法确定 3 2 1 7 的正约数的 个 数 也 不 太可 能确 定 3 2 1 7 的十位 数字 所 以 这两种方法就不宜再考虑了 那 么我们能确定 3 2 1 7 的个位数字吗 这是可以办到的 因为任意 自 然数的 n次幂的个位数都是周期性的 所 以我们有可 能通 过 个 位 数 的确 定 来 证 明 3 2 1 7 不 是 平 方 数 能不能通过证明 3 2 1 7 被 8除的余数不是 1 来确 定它不 是平 方数 呢 也 是有可 能 的 因为 3 被 8 除的余数只有 1和 3 而 1 7 被 8除的余数是 1 所以 我们应把注意力集中在后两种方法上 证法 1 3 的个位数以 3 9 7 1为周期 1 7 的个 位数 以 7 9 3 1为周 期 故 2 1 7 的个 位数 以 4 8 6 2为周期 从而 3 2 x1 7 的个位数 以 7 7 3 3为 周期 故 由性质 1 可知 3 2 1 7 不是平方数 证 法 2 易 证 当 n为偶 数 时 3 三 1 mo d 8 若 l 为奇数 则 3 3 mo d 8 又 1 7 1 mo d 8 故对任意 的正整 数 n 1 7 三 1 mo d 8 从 而 2 1 7 2 mo d 8 故 3 2 1 7 三3 mo d 8 7 2 为偶数 或 3 2 1 7 5 mo d 8 7 2 为奇数 另一方 面 3 2 1 7 为奇 数 故必有 3 2 1 7 三1 mo d 8 产生矛盾 故命题 成 立 示例小结 一般说来 证明一个结论有多种思路 考试在 线 竞 赛之 路 一 但 不是 每种思 路都 有实 现 的可能 解 题 的过 程 就是 不 断试错 不 断排除 不可 能 的方法 不 断 筛 选 最后 找 到最适合的方法的过程 例 6 1 9 9 4年 斯 洛 文 尼 亚数 学 奥林 匹克试 题 已知 是正整数 如果 2 2 十1 和 3 1 都是完全平方 数 求证 是 4 0的倍 数 切入点分析 要证明 是 4 0的倍数 只需证明它 既是 5的倍 数 也 是 8的倍 数 即可 要 证 明 它 是 5的 倍 数 只需证 明它 的 个位 数 字 是 0或 5就 可 以 了 所 以我们就 从分 析 n的 个 位数 字 人 手 然后 再 设 法 证 明它能被 8整 除 证明 2 1和 3 1都是完全平方数 故 它们 的个 位数 只能 是 0 l 4 5 6 9 故 7 2 的个 位数 只 能是 0或 5 从 而 是 5的倍 数 又 2 1是 奇数 故 必存 在整 数 k 使 2 1 8 k 1 故 一4 k 从 而 3 1也是奇数 故必存在整数 使 3 n 1 8 p 1 即 3 n 一8 p 3 8 l 故 必是 8的倍数 5 8 一1 故 必是 4 O的倍数 示例小结 判断数 的整除性时 常常需要分析个 位数 的特 征 抓 住个 位 数 的特 征 是解 决 本 题 的关 键 步骤 例 7 设 是 正整数 试 判 断 3 3 1是 不 是 平方数 切入 点分 析 结 论 不 明 确 使 我们 难 以确 定 思 考 方 向 因为证 明或否 定它 是平 方数 的 方法 是 完全 不 同 的 所 以我们 必须 先大体 上对 它是 不 是一 个 平方 数 作 出判断 然后根 据 不 同的 情 况设 法 证 明我 们 的判 断 如何判断呢 先取一些比较简单 特殊的数来试一试 如 令 m一1 一1 一 1 n 一2 试 验几 次 就会 发现 3 3 1不是平 方 数 的 可能 性 较 大 这 提 示 我们 按 照判 断一个 数不 是平方 数 的方法 来 解决 由于 对 于任 意的 自然数 m 3 被 8除余数只有 1和 3 所 以我们 可以考 虑从余 数人 手 解 若 都 是 奇 数 则 3 三 3 mo d 8 3 3 mo d 8 故 3 3 1 三7 mo d 8 故 3 3 1 不 是平 方数 若 m 都 是 偶 数 则3 三 1 mo d 8 3 1 mo d 8 故 3 3 1 3 roo d 8 从而 3 3 1 不是 平方 数 若 J n 7 一 奇一 偶 不妨 令 为 奇数 1 为 偶 数 则 3 三 3 mo d 8 3 三 1 mo d 8 从 而 3 3 1 兰5 mo d 8 故 3 3 1不是 平方数 综 上所 述 对 任意 的正 整数 m 3 3 1都不 是 平方 数 示 例小 结 本 题 的关 键是 确定 3 3 1 是 不 是 平方数 这就需要先对要求解的问题做出一个符合常 理的猜想 合情猜想 就本题 而言 为什 么认 为 3 3 1不是平方数就是合情猜想 呢 这是因为 喜 萎 5 1 中 学 毅 学 嫩 学 参 考 通过简单的试验 3 3 1都不是平方数 根据平 方 数 的基本 性质 要 肯定一 个数 是 平方 数 是非 常 困难 的 如果一个正整数的正约数的个数为奇数 那么这 个 数是 平方 数 据 此来 判 断平方 数 几乎 是 不可 能 的 但要否定它是平方数相对较为简单 所以我们有理 由 认 为该数 不 是平方 数 例 8 证 明方程 2 一8 x 没有 非零 整 数 解 切 入点 分析 一 般地 我 们 可 以根 据 系数 特征 判 断 一个一 元二 次方 程有 无整 数解 但 要 判 断一 个 高次 不定 方程 有无 整数 解是很 困难 的 所 以我们 必 须从 分 析方 程 的形式 特征 人手 由于三个 未 知 数 的指数 都 是 偶数 故若方程有非零整数解 则必存在正整数解 这 是 因为 若 某个 未 知 数 为 负 整 数 那 么 把 它 换 成 它 的 相反数 后 方程 仍 成 立 故 我 们 只 需 证 明 方 程 的 任 一 未知数都不可能是正整数即可 解 显然 Y z 中的奇数的个数必为偶数 即 z Y 2中没有 奇数或恰有 两个 奇数 若恰 有两个 奇 数 无 妨令 Y为 奇 数 为偶 数 则 z 兰 1 mo d 8 三 1 roo d 8 兰 0 mo d 8 从 而 y g mo d 8 这 与 已知 等式 矛盾 故 Y z必 都是 偶数 无妨 令 取某 些正 整数 时 方 程有 整 数解 那 么 在 所有 z能 取 到 的 正 整 数 里 面 必 有 一 个 最 小 的 设 z o Y 0 是 方程 的一个 解 则 一 2 x l Y 一2 y l 一2 z 为正 整数 Y 为 整数 故 易知 z 也是 方程 的解 z Y 若 Y 0 则 2 m 3 3 一 3 y 故 3能整 除 2 m 又 2 3 一1 故 3整除 m 从 而 3整 除 m 即 3整除 2 3 故 3必能 整 除 2 从而 3必 能整 除 2 矛盾 故 只能为 0 从而 m一2 1 3 一3 一2 1 显然 一1时 2 一 3 一不 是平 方 数 故若 2 一 3 一是 平方 数 则必有 1 从 而 3 3 一3 3 3 2 一 2 1 2 一 2 2 2 1 与 矛盾 故 2 3 不是平方数 内容精讲 o 0 黧搴 黧 线 5 假 定方程 X z z 一1 5 9 9有整数解 因奇数 的 任意次幂都是奇数 偶数 的任 意次幂都 是偶数 故 z i z 不全是偶数 且奇数的个数必 为奇数 从而 z z 中 至多有 1 3个奇数 对任 意的奇数 z 由于 z 被 8除余 i 故必 有 z 被 1 6除余 1 对任意 的偶 数 都有 一1 6 k 五为非负 1 4 整数 一方面 z 被 1 6除所 得 的余 数 为不大 于 1 3的奇 l 1 数 另一方面 1 5 9 9 被 1 6除所得 的余 数为 1 5 矛盾 故 方程没 有整 数解 参考文献 1 南秀全 余石 奇数 偶数 完全平方数 M 上海 上海教育 出 版 社 1 9 9 8 2 黄宣国 数学 奥林 匹克 大集 M 上海 上 海教育 出版 社 1 99 7 3 常庚哲 初 中数学妙题巧解 M 上 海 上海科学技术 出版 社 1 9 8 7 4 杜锡 录 严镇军 余红兵 初 中数 学竞赛教 程 M 南京 江 苏 教育 出版社 1 9 9 0 5 冯 克勤 余红兵 初 等数论 E MJ 北 京 中国科学 技术大 学 出版社 1 9 8 9 6 冯 克勤 从整数谈起 M 长沙 湖南教育 出版社 1 9 9 8 7 冯 克勤 余红兵 整数 与多 项式 E M 北 京 高等 教育 出版 社 1 9 9 9 8