排列组合的综合应用专题讲座及同步训练(有详细解答).doc

排列组合的综合应用专题讲座及同步训练（有详细解答）一、明确复习目标1.加深对排列、组合意义理解;2.掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法;3.学会分类讨论的思想,提高分析问题和解决问题的能力. 二建构知识网络解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,透过问题的表面现象,看出问题的数学本质.然后,要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置”.2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 =156种排法。3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然,再让不相邻的元素插空;6.插板法：n个 相同元素,分成m(mn)组,每组至步一个的分组问题把n个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有.例如:n个相同的小球分给m个人,每人至少一个小球的分法有种分法.如果没有“每人至少一个”的限制,则需设想“每人先献出一个小球”,再对n+m个小球用“插板法”,有种.7.分组、分配法：分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别。一般地平均分成n堆（组），必须除以n!, 如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有 =60种分法；6本不同的书分成三组，每组2本，共有3！=15种分法；6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有2！=15种分法；分配问题(有序分组):逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有 =210种分法。如果不明确谁得3本,谁得2本呢?(先分组再分配,或先确定确定得3个球,再逐个分)8.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：三、双基题目练练手1(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A168B96C72D1442（2006北京）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 ( )A.36个B.24个 C.18个D.6个3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ( )ABDC12345678PA.234 B.346 C.350 D.3634. (2005江苏) 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）A96 B.48 C.24 D.05.某校准备参加2008年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_种.6.(2006陕西) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种7. (2005春北京)从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个（用数字作答）8. (2005浙江)从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)简答:1-3.DBBB; 3.（1）前排一个，后排一个，2CC=192.（2）后排坐两个（不相邻），2（10+9+8+1）=110.（3）前排坐两个，2（6+5+4+4+3+2+1）=44个.总共有192+110+44=346个.解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.总共有A+2+2=346个.答案：B4.先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入4个仓库内共有A44=24种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:7放入，8放入，5放入，6放入;或者6放入，7放入，8放入，5放入两种放法.综上所述:共有A442=48种放法.故选B.5.用隔板法：C=C=36. 6. 600; 7. 18 6; 8. 8424.四、经典例题做一做【例1】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内(1)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解:（1） =1200（种） (2)-1=119（种） (3)不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：9=45第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法： 先让1号球放，1号球放到哪个盒中就让哪个球放，有 4(2+33)=44 (种) , 满足条件的放法数为：-45-44=31（种） 【例2】某运输公司有3个车队,每个车队有10辆汽车, 现从这3个车队中选派6辆汽车执行一项运输任务,每个车队至少1辆共有多少种选派方法? 分析：这里所谓不同的选派方法，只是每个车队派车数目的不同，是相同元素的分组问题用“插板法” 解：把6个派车指标排成一排，是一种排法，有5个空，插2个板，分成3组即可，共有 =10（种）拓展引伸：方程x+y+z=7有多少组正整数解？（看成7个相同的元素分给3人） 若求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢？（让3人每人拿出1个元素，如上法分10个元素）【例3】某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中共有男女同学多少人？解：设有男生n人，女生8-n人，则有即(n-1)n(8-n)=60.又60的小于等于7的因数有1、2、3、4、5、6，因为n-1和n相邻，n=5,8-n=3,即男生5人，女生3人，或n=6,8-n=2，即男生6人，女生2人。 提炼方法：1.引进待定的未知数,列方程求解;2.“先取元素，后排顺序”.一类重要题型和方法。【例4】一栋7层的楼房备有电梯,现有A,B,C,D,E五人从一楼进电梯上楼，求(1)有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数.(2)在(1)的条件下,一层只能下1个人,共有多少种情况?解: (1)分A上不上7楼两类： A上7楼，有54种； A不上7楼，有4443种.共有5444431649种(2)分2楼下人和不下人两类,每类再分A上不上7楼两种情况.2楼下人,有种; 2楼不下人,有种共有 =504种情况.提炼方法：题(1)是计数原理,题(2)是排列组合,应注意区分.【研讨.欣赏】（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?解：（1）先将3人（用表示）与4张空椅子（用表示）排列如图（），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示（），从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法.所以，共有A（C+C）=60（种）.下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有AC种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为AC=60.（2）可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素”（一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位）插入4个人形成的5个“空当”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为AA=480.五提炼总结以为师1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步.2.对于有附加条件的排列组合应用题，应掌握以下基本方法与技巧（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.3. 记住一些常题型的特殊解法;如捆绑法,插空法, 排除法, 插板法,分组、分配等.同步练习 排列组全的综合应用 【选择题】1.(2006天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10种B20种C36种D52种2.(2005湖南)4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得100分；选乙题答对得90分，答错得90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）A48B36C24D18【填空题】3.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_种.4.(2005辽宁)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）5.（2006辽宁）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.（以数作答）6.有13名医生,其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式 ;其中能成为P 的算式有_种练习简答:1.A; 2.B; 3.90种; 4.4576; 5. 48; 6.组合问题,直接法:选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故(2)正确; 间接法: 不考虑限制条件,选派方法有种,需剔除的有1男4女,5女两类,故(3)正确. 因此结论为: (2)(3)【解答题】7.某人用20元购进1元一朵的康乃馨和2元一朵的玫瑰进行推销,康乃馨售价2元,玫瑰售价5元.假设他购入的花能全部售完,为使利润超过25元,有几种不同的进货方式? 解:设购入x朵康乃馨,调朵玫瑰,(x,yN),由已知得由得y5;由得y10.y=5,6,7,8,9,10.同理25-3yx20-2y.当y=5时,x=10; 当y=6时,x=7,8. 当y=7时,x=4,5,6;当y=8时,x=1,2,3,4; 当y=9时,x=0,1,2; 当y=10时,x=0.综上知,共有1+2+3+4+3+1=14种.8. 袋中有3个红球,4个黄球,每次从中取出一球,直到把3个红球都取出为止,共有多少种不同的取法?解：可以是3、4、5、6、7次取出。 3次取出有种方法；4次取出时，前3次必有1个黄球2个红球，有种方法；同理，5、6、7次取出有种、种、种；共有+ +=4110种不同的取法。 9.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?解: 依题意，A，B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄。分3种情况：（1）若A、B之间隔6垄，这样的选垄方法有3种.（2）若A、B之间隔7垄，这样的选垄方法有2种.（3）若A、B之间隔8垄，有种方法.根据分类计数原理可有32612种不同的选垄方法.10.某届全国歌手大奖赛上,一个歌手抽取了一道综合素质题,要求根据具体内容(有关内容略),将A,B,C,D,E和1,2,3,4,5用线连起来,如果已知每个字母只能连一个数字.(1)共会有多少种不同的答案?(2)若歌手给出的答案只答对两题,共有几种不同的情况?解(1)共有=120种答案(2)先确定答对了那两个,再确定答错的三个,共有2=20种.【探索题】某停车场有连成一排的9个停车位,现有5辆不同型号的车需要停放,按下列要求各有多少种停法?(1)5辆车停放的位置连在一起;(2)有且仅有两车连在一起;(3)为方便