4 数学小品 存在唯一性定理的条理版.pdf

1 存在和唯一性定理的发展存在和唯一性定理的发展存在和唯一性定理的发展存在和唯一性定理的发展存在和唯一性定理的发展存在和唯一性定理的发展 超浓缩 超浓缩 超浓缩 超浓缩 超精华超精华超精华超精华 2 1 Riccati 1676 1754 2 欧拉 Euler 1707 1783 3 刘维尔 1809 1882 4 柯西 Cauhy 1789 1857 5 Peano 1858 1932 6 李普希茨 1832 1903 7 Picard 1856 1941 经过了以上7位数学家为代表的一百年左右百年左右的研 究学习 得到了现在教科书的存在唯一性定理的 叙述和证明 课本中采用的是Picard的存在唯一 性定理 3 积分法求得其通解 新的变元 用初等积分分方程 可以通过引入 形式的微教授对大家说 下面有一天 在致力于求通解的时代故事是这样的 历史处 Riccati 2 1k 1 2k 4k 12k 4k 20m 0y 0 x m b 0a bxay dx dy 2 3 m2 换化为变量分离方程时方程可通过适当的变 则当设 是常数 设里卡蒂方程定理 换化为变量分离方程时方程可通过适当的变 则当设 是常数 设里卡蒂方程定理 L 4 2 1 12 4 12 4 20m Riccati Riccati 大家都来想想办法 此问题挂到网上去吧 既然这么急的话 就把先生想了想 说 呢 解的情况 这该怎么办就是您的那个方程不能 工程上的问题 还真的时才成立 可是有一个 也只有当 的结果先生 您好 上次您说内容如下 教授发了条短信 几天后 刘维尔教授给 大家都来想想办法 此问题挂到网上去吧 既然这么急的话 就把先生想了想 说 呢 解的情况 这该怎么办就是您的那个方程不能 工程上的问题 还真的时才成立 可是有一个 也只有当 的结果先生 您好 上次您说内容如下 教授发了条短信 几天后 刘维尔教授给 Riccati k k k k k L 5 谢谢 请大家来帮忙 质可是还必须知道解的性 其通解的表达式 能通过初等积分法求得 这个方程不 谢谢 请大家来帮忙 质可是还必须知道解的性 其通解的表达式 能通过初等积分法求得 这个方程不 一阶微分方程 一阶微分方程 现了如下问题 于是 第二天在网上出现了如下问题 于是 第二天在网上出 y x f dx dy 6 是一个很好的方法 收敛性的话 折线法将 如果能证明折线的没有证明折线的收敛性 方法逼近精确解 但是几年前想到了用折线的 拉教授 他说 我在首先回应此问题的是欧 是一个很好的方法 收敛性的话 折线法将 如果能证明折线的没有证明折线的收敛性 方法逼近精确解 但是几年前想到了用折线的 拉教授 他说 我在首先回应此问题的是欧 7 证明法 的 于是出现了初值问题这个思路还行得通了 级数的收敛性 真的级数解 然后再证明此 方法是先形式上求出发的解有还是没有 考虑从这一点说 我就先从一点做起 证明法 的 于是出现了初值问题这个思路还行得通了 级数的收敛性 真的级数解 然后再证明此 方法是先形式上求出发的解有还是没有 考虑从这一点说 我就先从一点做起 Cauchy Taylor Cauchy 8 Peano Sincerely method practical and uesfulan is mehtod your hence and uniformly convergent is in the sqence oneleast at are e that therproved have I EulerProfessorDear email Peano 折线折线 内容如下 一个 考 他给欧拉发了经过一段时间的精心思 教授 路的是积极响应欧拉教授的思 折线折线 内容如下 一个 考 他给欧拉发了经过一段时间的精心思 教授 路的是积极响应欧拉教授的思 9 的证明方法 是他们讨论的证明方法 是他们讨论 后面的后面的自然收敛性这样证明此序列的一致 我做如下的序列 然后唯一性一起证明出来 条件还可以把存在说 我又发现用 条件即局部满足下列条件就行 数对未知量说 我发现只要右端函 列呢 时候只有一个收敛的序 那么什么有 自然收敛性这样证明此序列的一致 我做如下的序列 然后唯一性一起证明出来 条件还可以把存在说 我又发现用 条件即局部满足下列条件就行 数对未知量说 我发现只要右端函 列呢 时候只有一个收敛的序 那么什么有一个一个一致收敛问题又来了 既然至少 放下来了 可是新的于是大家悬着的心终于 一致收敛问题又来了 既然至少 放下来了 可是新的于是大家悬着的心终于 Picard LPicard L Lipshitz L 10 简单 存在唯一还不容易 不 一口气说 也不是 于是大家叹了有两个呢 不是一定至少条件 初值问题的解是没有 如果理 后来的人们又问 教材中的存在唯一性定 努力 我们看到了今天于是经过几位数学家的 简单 存在唯一还不容易 不 一口气说 也不是 于是大家叹了有两个呢 不是一定至少条件 初值问题的解是没有 如果理 后来的人们又问 教材中的存在唯一性定 努力 我们看到了今天于是经过几位数学家的 L 11 用 的 对我们学习数学有 作 资料 熟悉他们的故事下面提供几位数学家的 赵丽琴 已历史为准 特此声明与历史有出入之处 均 距离 使大家容易接受目的在于 用 的 对我们学习数学有 作 资料 熟悉他们的故事下面提供几位数学家的 赵丽琴 已历史为准 特此声明与历史有出入之处 均 距离 使大家容易接受目的在于拉近拉近与大家的 在唯一性定理的故事 与大家的 在唯一性定理的故事 声名声名 用这种形式讲存 折线法 法和种 种方法 我们见到了两有 唯一性定理的证明至少附注 初值问题的存在 用这种形式讲存 折线法 法和种 种方法 我们见到了两有 唯一性定理的证明至少附注 初值问题的存在 EulerPicard6 12 1 Riccati 1676 1754 意大利数学家 先后在威尼斯和特雷维索德研究 所和大学任职 他对微分方程求解有重要贡献 发展了方程降阶和分离变量方程降阶和分离变量的理论 1724年提出 以他的名字命名的方程 他的工作得到丹尼尔伯 努利 欧拉等数学家的赞赏 此外他还在数学分 析和微分几何等领域有所贡献 他的两个儿子也 都是数学家 13 2 欧拉 Euler 1707 1783 瑞士数学家 出身牧师家庭 自幼受父亲教育 13岁入巴塞尔大学 16岁获硕士学位 他上大学 时受到约翰伯努利得特别指导 后专心数学研 究 19岁开始创作数学文章 一举获得巴黎科学 院奖金 1727年由丹尼尔伯努利举荐 到圣彼得 堡科学院工作 1733年接替丹尼尔伯努利任数学 教授 他是数学史上最多产的数学家 论著几乎 涉及当时所有的数学分支 数学史上最多产的数学家 论著几乎 涉及当时所有的数学分支 他创用或提倡使用了 大量的数学符号 得到许多重要的公式 定理和 常数值 除创建纯粹数学理论外 他欢迎用这些 数学工具去解决天文 物理 力学等方面的实际 问题 取得巨大成果 14 3 刘维尔1809 1882 法国数学家 任巴黎大学等学校的数学分析和理论力学教授 巴黎科学院院士 主要贡献在于1836年创办了著名的法文 杂志纯粹与应用数学杂志 并连任四十年的主编 该杂志 刊登过许多著名数学家的优秀论文 如伽罗瓦关于群论的不 朽论文 该杂志对19世纪法国数学的发展起了重要的作用 在微分方程发面微分方程发面 在边值问题方面 与斯图姆一起 指出 某些微分方程的解微分方程的解可以通过求解相应的积分方程相应的积分方程得到 利 用发散级数求解的近似值等 15 4 柯西 Cauhy 1789 1857 法国数学家 力学家 开始是工程师职业 1813年放弃 这个职业开始从事理论科学研究 1816年成为巴黎综合工 科学校教授 并当选为法国科学院院 1830年 查理十世 被逐 柯西拒绝效忠新的国王 因此失去所有职务 并流 亡国外 1848年恢复教授职务 并任巴黎大学教授 最主 要的贡献在微积分 复变函数和微分方程贡献在微积分 复变函数和微分方程等方面 在微分 方程发面 深入考察并证明了存在唯一性定理深入考察并证明了存在唯一性定理 16 5皮亚 1858 1932 意大利数学家 逻辑学家 在常微分方程常微分方程领域 他第一个证明了右端函数连续时一阶微分方程右端函数连续时一阶微分方程的 初值问题可解 欧拉折线法 Peano 定理 17 6 李普希茨 1832 1903 德国数学家 随狄里克雷学习数学 19岁获博士 学位 1864年起任波恩大学教授 1873年