与圆有缘其乐无穷.doc

与 圆 有 缘 其 乐 无 穷江苏省兴化市大营中学（225767）周守扣数学上有些问题看起来与圆无关，但一旦与圆有缘，放到圆中去考虑，往往能化烦为简，化难为易。现举例说明如下：例1如图，AB=AC=AD，且DAC=2BAC，试说明DBC=2BDC.分析1：此题可以利用等腰三角形的顶角和底角之间的关系来解决.在ABC中,AB=AC,ABC=(180-BAC).在ADC中,AD=AC,ADC=(180-DAC)=(180-2BAC).又BAD=BAC+DAC=3BAC.在ADB中,AB=AD,ABD=ADB =(180-BAD) =(180-3BAC).因此DBC=ABC-ABD=(180-BAC) -(180-3BAC)= BAC.BDC=ADC-ADB=(180-2BAC) -(180-3BAC)= BAC.所以DBC=2BDC.分析2：此题的条件AB=AC=AD与圆有缘，若以A为圆心,以AB为半径画圆,则B、C、D三点都在A上，如图，则DAC和BAC就成了同圆的圆心角，DBC和BDC就成了同圆的圆周角.根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半.”可得BDC=BAC；DBC=DAC.而 DAC=2BAC所以DBC=2BDC.例2.设a、b、c、d都是正数，满足=，且a最大，试说明：a + db + c.分析:由题设=,得ad=bc,联想到相似三角形,又联想到“圆幂定理”而与圆有缘，如图，取线段AC=a，在AC上取一点B，使AB=d，以BC为直径画G，不妨假设bc，作割线AD=b，交G于E，作GFAD于F，由“圆幂定理”得 ACAB=AEAD，即 ad=bAE，所以AE= c.又因为AG=AB+BC=d+（a-d）=（a+d）；同理AF=（b+c）. 在直角三角形AGF中,AGAF, 即a + db + c.例3在ABC中，若AB=2AC，试探讨B的取值范围.分析：因为题设中有AB=2AC，都有A点公共点，所以易联想到C点围绕A点运动,与圆有缘.如图，以A为圆心,以AC为半径,构造A,因为AB=2AC，则B是A外一点,则ABC的顶点只能在A上运动 ( AB与A的交点除外) ,由圆的切线的知识知:当BC与A相切时, B 取最大值.而当BC与A相切时, C=90,由条件 AB=2AC，得B=30.所以B的取值范围是0B30.例4在ABC中，若A、B、C都小于120试在ABC内作一点D，使DA+DB+DC最小.分析:这是一道我们都很熟悉的问题,即“费马点”问题，并且知道结论，当ADB=ADC=BDC=120时，DA+DB+DC最小.(此处不作证明)可问题是我们如何用作图工具去作呢？如果你联想圆，与圆有缘,问题就简单了,如下图.分别以AB、AC为边向ABC外作等边三角形ABE，ACF，再分别作这两个等边三角形ABE，ACF的外接圆G、H，设两圆的交点为D，则D就是所要求作的点.现在我们来说明为什么有ADB=ADC=BDC=120.在G中, 因为ABE是等边三角形, 所以E=60,而四边形AEBD内接于G,所以有E+ADB=180, 所以ADB=120；同理ADC=120,而ADB+ADC+BDC=360,所以BDC=120.例5. 如图，在ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC，且AD=AE，若BAD=40，试求EDC的度数.分析:构造两个圆，设G、F为小圆与AB、BC的交点，连结AF，EF，EG，易得弧GF等于弧DE，所以EFD=GEF，因为EDC=FED+EFD=FED+GEF=GED=GAD=BAD=20 从上面几例你是否感觉到，这些问题因为