2014建模B题.docx

创意平板折叠桌摘要本文要求讨论某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板的设计加工参数。对于问题一，我们以平板的中心点为圆心，木板宽为直径得到的圆作为桌面边缘线。利用MATLAB 建立三维坐标体系并编程求解，得到各点的坐标。利用两点之间的距离公式，最后求得开槽长度。并利用空间曲线拟合、坐标变换等方法以及 MATLAB 程序，最后得到此折叠桌的动态变化过程以及桌脚边缘线的数学描述。对于问题二：在满足几何关系的情况下，折叠桌的体积越小、开槽长度越大，则用材最少。我们将最长的桌脚与z轴方向的夹角定义为。越小，桌子稳固性越好，承力越大。加工方便要求我们设计简单，所给尺寸合理，加工巧妙，不至于有多余或者补料的情形。最后确定木开槽长度、板长、等之间因素的最优参数。最后输入实际值：桌高70cm，桌面直径80cm。再逐步求解，解答出第二问。对于问题三：要求按照客户任意给定的数据来设定满足要求的桌子。这样会有桌边缘曲线、开槽长度、木板的尺寸以及桌脚边缘线等多个变量出现。且由于桌边缘曲线的不同，其后各种参数的求解过程会有不同。所以，我们决定为该公司建立一个以桌边缘曲线为变量的数据库，其内部存储各种不同桌边缘曲线情况下的其他参数的表示形式。系统只需要根据用户所要求的桌边缘曲线形式，从库内调取与之吻合度最高的模型来求解。建立合适的数学模型，使得设计软件可根据设定的折叠桌的高度、桌面边缘线的形状大小、桌脚边缘线的大致形状，得到所需材料的形状尺寸和最优设计参数，并在问题一的基础上，将桌面的形状设计为椭圆，在给出相应的设计加工参数的情况下，用matlab做出动态变化过程的示意图。关键词：创意平板折叠桌 动态方程 稳固性 开槽长度 桌脚边缘线1、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。2、模型的假设1、假设影响结构稳定性的只与有关，不考虑其他因素的影响。2、假设以平板的宽作为桌面边缘线的直径，每根木条较短的那条边的中点与桌面边缘线相交。3、假设平板的厚度为定值3cm。4、假设平板的被分成木条的根数为定值m（偶数）。5、连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。6、假设椭圆的短轴A小于椭圆的长轴B。3、变量说明：第n根木条与圆面边缘线的交点坐标 （n=1,2,3,20）；：桌子稳定时，第n根木条的短边的中点（如图1所示）的坐标 （n=1,2,3,20）；：桌子稳定时，第n根桌脚的开槽另一端的坐标（n=1,2,3,20）；：第n根木条与圆面边缘线的交点与第n根桌脚的中点的距离（n=1,2,3,20）；：第n根木条与圆面边缘线的交点与第n根桌脚的开槽另一端的距离（n=1,2,3,20）；：第n根桌腿的开槽长度（n=1,2,3,20）；L:平板的长度h：桌高；a：桌面宽；m：平板分成的木条条数；b：腿木条宽；A：椭圆的短半轴B:椭圆的长半轴d:开槽位置距离木条较近的一端的长度hL: 半长r：圆桌面半径：最短的桌脚与桌面边缘线的交点横坐标；：最短的桌脚与桌面边缘线的交点坐标；：最长的桌脚与z轴方向的夹角；：最长的桌脚与z轴方向的夹角的最小值；图1第n根木条的短边的中点4模型的准备4.1对结构稳固性、加工方便、用材最少、开槽的理解结构稳定性：结构在负载的作用下维持其原有的平衡状态的能力。加工方便：用材最少：开槽：5、模型的建立与求解5.1问题 1 模型建立与求解5.1.1建模思路首先我们建立三维空间直角坐标系（以过圆桌圆心且沿平板长的方向为x轴，以过圆心且沿平板宽的方向为y轴，以垂直于该平面且过圆桌圆心的直线为z轴，将平板放置在坐标系xoy面，将桌腿沿z轴正方向折起）（如图2所示）。已知平板展开时钢筋位于各桌腿开槽的一端，假设以平板的宽作为桌面边缘线的直径，木条与圆面边缘线相交，可得到各交点的坐标。当将桌腿折到最稳定状态时，由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。同时已知桌子高度和最外侧木条的长度，即可求出最长桌腿木条的钢筋位置在三维坐标系中的坐标。同时已知钢筋所在直线平行于y轴，即可得到各桌腿开槽另一端的坐标。利用空间两点间的距离公式即可得到开槽长度。由于线性关系，还可以得到木条的短边的中点的坐标，利用空间曲线拟合，坐标变换等方法，可以得到此折叠桌的动态变化过程以及桌面边缘线的数学描述。图2三维空间直角坐标系5.1.2建立模型桌面边缘线的平面方程的表达式为：所以第n根木条与圆面边缘线的交点横坐标为根据假设，每根木条较短的那条边的中点与桌面边缘线相交。因此交点坐标= （1）由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。同时已知桌子高度和最外侧木条的长度，即可求出稳定时最长桌腿木条的钢筋位置在三维坐标系中的坐标。=同时已知钢筋所在直线平行于y轴，即可得到各桌腿开槽另一端的坐标为= （2）根据空间两点间的距离公式，得到（1）和（2）之间的距离由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以交点与各条桌腿中心位置的距离为所以开槽长度为桌子达到稳定状态时，最长桌腿木条与z轴方向形成夹角为的三角形（如图3所示）图3根据三角关系，可得到桌子稳定时，第n根木条的短边的中点的坐标通过matlab曲线拟合，得到桌脚边缘线5.1.3模型求解：5.1.3.1求解开槽长度由、，利用matlab求解得到=7.8062 13.1696 16.5359 18.9984 20.8791 22.3257 23.4187 24.2061 24.7171 24.9687 24.9687 24.7171 24.2061 23.4187 22.3257 20.8791 18.9984 16.5359 13.1696 7.8062= 23.7500 21.2500 18.7500 16.2500 13.7500 11.2500 8.7500 6.2500 3.7500 1.2500 -1.2500 -3.7500 -6.2500 -8.7500 -11.2500 -13.7500 -16.2500 -18.7500 -21.2500 -23.7500=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0由于钢筋所在直线平行于y轴，即可得到各桌腿开槽另一端的坐标为=所以得到=0.0006 4.3571 7.6643 10.3690 12.5932 14.3936 15.8037 16.8451 17.5321 17.8734 17.8734 17.5321 16.8451 15.8037 14.3936 12.5932 10.3690 7.6643 4.3571 0.00065.1.3.2求解桌脚边缘线的数学描述由于，利用matlab求解得到x=2.9181 1.3009 0.8694 0.6836 0.5914 0.5430 0.5171 0.5034 0.4965 0.4936 0.4936 0.4965 0.5034 0.5171 0.5430 0.5914 0.6836 0.8694 1.3009 2.9181;y= 23.7500 21.2500 18.7500 16.2500 13.7500 11.2500 8.7500 6.2500 3.7500 1.2500 -1.2500 -3.7500 -6.2500 -8.7500 -11.2500 -13.7500 -16.2500 -18.7500 -21.2500 -23.7500;z= 50.0000 46.6625 43.4104 40.5585 38.1793 36.2665 34.7896 33.7150 33.0148 32.6697 32.6697 33.0148 33.7150 34.7896 36.2665 38.1793 40.5585 43.4104 46.6625 50.0000;曲线拟合，得到桌脚边缘线（如图4所示）图4桌脚边缘线5.1.3.3求解折叠桌的动态变化过程利用matlab编程（程序见附录1）建立模型，得到折叠桌的动态变化过程（如图5所示）图5折叠桌的动态变化过程5.2问题 2 模型建立与求解5.2.1建模思路在满足几何关系的情况下，折叠桌的体积越小、开槽长度越大，则用材最少。我们将最长的桌脚与z轴方向的夹角定义为。越小，桌子稳固性越好，承力越大。加工方便要求我们设计简单，所给尺寸合理，加工巧妙，不至于有多余或者补料的情形。最后确定木开槽长度、板长、等之间因素的最优参数。最后输入实际值：桌高70cm，桌面直径80cm。再逐步求解，解答出第二问。5.2.2建立模型已知已知钢筋所在直线平行于y轴，即可得到各桌腿开槽另一端的坐标为交点坐标： ； (n=)当开槽长度最大时，最小，稳固性最好、用材最少、加工方便当=时，最小可由求得5.2.3模型求解对于桌高h=70 cm，桌面直径a=80 cm, 木条根数m=20的情形cmcm所以利用matlab求解得到= 由于所以= =159cm此时达到产品稳固性好、加工方便、用材最少5.3问题 3 模型建立与求解5.3.1建模思路 问题三中要求按照客户任意给定的数据来设定满足要求的桌子。这样会有桌边缘曲线、开槽长度、木板的尺寸以及桌脚边缘线等多个变量出现。且由于桌边缘曲线的不同，其后各种参数的求解过程会有不同。所以，我们决定为该公司建立一个以桌边缘曲线为变量的数据库，其内部存储各种不同桌边缘曲线情况下的其他参数的表示形式。系统只需要根据用户所要求的桌边缘曲线形式，从库内调取与之吻合度最高的模型来求解。 建立合适的数学模型，使得设计软件可根据设定的折叠桌的高度、桌面边缘线的形状大小、桌脚边缘线的大致形状，得到所需材料的形状尺寸和最优设计参数，并在问题一的基础上，将桌面的形状设计为椭圆，在给出相应的设计加工参数的情况下，用matlab做出动态变化过程的示意图。5.3.2模型建立椭圆的方程（AB）所以各根木板与椭圆交点为已知钢筋所在直线平行于y轴，即可得到各桌腿开槽另一端的坐标为所以得到交点坐标：（n=）所以当开槽长度最大时，最小，稳固性最好、用材最少、加工方便当=时，最小可由求得由所以得到平板材料的形状尺寸5.3.3模型求解利用matlab编程（程序见附录2）建立模型，得到折叠桌的动态变化过程（如图6所示）图6折叠桌的动态变化过程参考文献附录1：L=120;a=50;d=2.5;hL=L/2;r=a/2;%木板长；宽；腿木条宽；半长；圆桌面半径ye=-r+d/2:d:r-d/2;xe=sqrt(r2-ye.2);%折叠点的y坐标，x坐标，各20个legL=hL-xe;hH=legL(1)/2;ddeg=2;%腿长度，20个;最长腿半长;角度增量Tx=xe-xe;xe-xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx);%桌面数据Ty=ye-d/2fliplr(ye)+d/2;ye+d/2fliplr(ye)-d/2;Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe;%桌腿数据legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2;legz=zeros(size(legx);zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2;zhouy=-rr;zhouz=0;0;%钢筋轴数据yb=linspace(ye(1),ye(end),50);xb=sqrt(r2-yb.2);Bx=hL*ones(size(xb);By=yb;Bz=zeros(size(xb);%腿尖曲线数据figure(1),clf;holdonh1=patch(Tx,Ty,Tz,facecolor,10.50,edgecolor,111);%画桌面h2=patch(legx,legy,legz,facecolor,10.50,edgecolor,111);%画桌腿h3=patch(-legx,legy,legz,facecolor,10.50,edgecolor,111);%画桌腿h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz,c);h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz,c);%画钢筋轴h6=plot3(Bx,By,Bz,k);h7=plot3(-Bx,By,Bz,k);%腿尖曲线holdoff;view(3);axisequal;axis(-hLhL-rr02*hH);axisoff;fordeg=0:ddeg:75%最长桌腿相对桌面折叠角度zz=-hH*sind(deg);xz=xe(1)+hH*cosd(deg);%钢筋轴,z坐标和x坐标alldeg=atan2(-zz*ones(size(xe),xz-xe);%每个条腿折叠角度,20个allx=legL.*cos(alldeg)+xe;%每条腿末端x坐标，20个allz=-legL.*sin(alldeg);%每条腿末端z坐标，20个alldeg2=atan2(-zz*ones(size(xb),xz-xb);Bx=(hL-xb).*cos(alldeg2)+xb;Bz=-(hL-xb).*sin(alldeg2);%腿尖曲线x数据minz=min(Bz);%最低腿z坐标，桌子当前高度legx=allx;allx;xe;xe;%桌腿数据legz=allz;allz;zeros(size(allz);zeros(size(allz)-minz;set(h1,ZData,-minz*ones(size(Tz);set(h2,XData,legx,ZData,legz);set(h3,XData,-legx,ZData,legz);set(h4,XData,xz;xz,ZData,zz;zz-minz);set(h5,XData,-xz;xz,ZData,zz;zz-minz);set(h6,XData,Bx,ZData,Bz-minz);set(h7,XData,-Bx,ZData,Bz-minz);pause(0.1);drawnow;endcaochang=sqrt(xe-xe(1).2+hH.2-2*hH.*(xe-xe(1).*cos(alldeg)-(legL-hH); 附录2：L=120;a=50;d=2.5;hL=L/2;B=a/2;A=15;%木板长；宽；腿木条宽；椭圆长半轴；椭圆短半轴ye=-B+d/2:d:B-d/2;xe=sqrt(A2-ye.2*(A2/B2);%折叠点的y坐标，x坐标，各20个legL=hL-xe;hH=legL(1)/2;ddeg=2;%腿长度，20个;最长腿半长;角度增量Tx=xe-xe;xe-xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx);%桌面数据Ty=ye-d/2fliplr(ye)+d/2;ye+d/2fliplr(ye)-d/2;Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe;%桌腿数据legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2;legz=zeros(size(legx);zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2;zhouy=-rr;zhouz=0;0;%钢筋轴数据yb=linspace(ye(1),ye(end),50);xb=sqrt(r2-yb.2);Bx=hL*ones(size(xb);By=yb;Bz=zeros(size(xb);%腿尖曲线数据figure(1),clf;holdonh1=patch(Tx,Ty,Tz,facecolor,10.50,edgecolor,111);%画桌面h2=patch(legx,legy,legz,facecolor,10.50,edgecolor,111);%画桌腿h3=patch(-legx,legy,legz,facecolor,10.50,edgecolor,111);%画桌腿h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz,c);h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz,c);%画钢筋轴h6=plot3(Bx,By,Bz,k);h7=plot3(