高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数（一）课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 2函数的极值与导数 一 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 学习目标 1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 思考观察函数y f x 的图象 指出其极大值点和极小值点及极值 知识点一函数的极值点和极值 答案极大值点为e g i 极大值为f e f g f i 极小值点为d f h 极小值为f d f f f h 梳理 1 极小值点与极小值若函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 而且在点x a附近的左侧 右侧 就把叫做函数y f x 的极小值点 叫做函数y f x 的极小值 2 极大值点与极大值若函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 而且在点x b附近的左侧 右侧 就把叫做函数y f x 的极大值点 叫做函数y f x 的极大值 3 极大值点 极小值点统称为 极大值 极小值统称为 0 f x 0 f x 0 点a f a 0 f x 0 f x 0 点b f b 极值点 极值 1 求函数y f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 如果在x0附近的左侧函数单调递增 即f x 0 在x0的右侧函数单调递减 即f x 0 那么f x0 是 知识点二函数极值的求法与步骤 极大值 极小值 2 求可导函数f x 的极值的步骤 确定函数的定义区间 求导数f x 求方程的根 列表 利用f x 与f x 随x的变化情况表 根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 f x 0 1 导数为0的点一定是极值点 2 函数的极大值一定大于极小值 3 函数y f x 一定有极大值和极小值 4 极值点处的导数一定为0 思考辨析判断正误 题型探究 类型一求函数的极值点和极值 命题角度1不含参数的函数求极值例1求下列函数的极值 解答 解函数f x 的定义域为r 令f x 0 得x 1或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可以看出 当x 1时 函数有极小值 且极小值为f 1 3 当x 1时 函数有极大值 且极大值为f 1 1 解答 令f x 0 解得x e 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 特别提醒 当实数根较多时 要充分利用表格 使极值点的确定一目了然 跟踪训练1求下列函数的极值点和极值 解答 解f x x2 2x 3 令f x 0 得x1 1 x2 3 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可以看出 当x 1时 函数有极大值 且极大值f 1 当x 3时 函数有极小值 且极小值f 3 6 2 f x x2e x 解答 解函数f x 的定义域为r f x 2xe x x2e x x 2 x e x 令f x 0 得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可以看出 当x 0时 函数有极小值 且极小值为f 0 0 当x 2时 函数有极大值 且极大值为f 2 4e 2 解答 解f x x2 a 2 x 2a2 4a ex 令f x 0 解得x 2a或x a 2 分以下两种情况讨论 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 2a a 2 上是增函数 在 2a a 2 上是减函数 函数f x 在x 2a处取得极大值f 2a 且f 2a 3ae 2a 函数f x 在x a 2处取得极小值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 a 2 2a 上是增函数 在 a 2 2a 上是减函数 函数f x 在x a 2处取得极大值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 函数f x 在x 2a处取得极小值f 2a 且f 2a 3ae 2a 反思与感悟讨论参数应从f x 0的两根x1 x2相等与否入手进行 解答 跟踪训练2已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 解答 2 求函数f x 的极值 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 例3 1 已知函数f x 的导数f x a x 1 x a 若f x 在x a处取到极大值 则a的取值范围是a 1 b 0 c 0 1 d 1 0 类型二利用函数的极值求参数 解析若a0 则f x 在 1 a 上单调递减 在 a 上单调递增 与题意不符 故选d 解析 答案 2 已知函数f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 则a b 解析 答案 2 9 解析因为f x 在x 1时有极值0 且f x 3x2 6ax b 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9 反思与感悟已知函数的极值求参数时应注意两点 1 待定系数法 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组 用待定系数法求解 2 验证 因为导数值为0不一定此点就是极值点 故利用上述方程组解出的解必须验证 解答 解 f x alnx bx2 x 跟踪训练3设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 解答 当x 0 1 时 f x 0 当x 2 时 f x 0 故x 1是函数f x 的极小值点 x 2是函数f x 的极大值点 2 判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 达标检测 1 2 3 4 5 1 函数f x 的定义域为r 它的导函数y f x 的部分图象如图所示 则下面结论错误的是a 在 1 2 上函数f x 为增函数b 在 3 4 上函数f x 为减函数c 在 1 3 上函数f x 有极大值d x 3是函数f x 在区间 1 5 上的极小值点 解析 答案 解析根据导函数图象知 x 1 2 时 f x 0 x 2 4 时 f x 0 f x 在 1 2 4 5 上为增函数 在 2 4 上为减函数 x 2是f x 在 1 5 上的极大值点 x 4是极小值点 故选d 1 2 3 4 5 解析 答案 c x 2为f x 的极大值点d x 2为f x 的极小值点 1 2 3 4 5 当x 0 2 时 f x 0 因为x 2为f x 的极小值点 故选d 3 函数f x ax 1 lnx a 0 在定义域内的极值点的个数为 所以当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 所以函数f x 在 0 上单调递减 所以f x 在 0 上没有极值点 0 1 2 3 4 5 解析 答案 2 解析f x 3x2 2ax b 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2 判断f x 的单调区间 并求极值 又f x 的定义域为 0 令f x 0 解得x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 1 2 3 4 5 1 求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0得方程的根 4 利用方程f x 0的根将定义域分成若干个小开区间 列