高考数学二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教学案（学生版）.doc

2013高考数学二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教学案（学生版）【2013考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,.3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性.4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换【知识网络构建】 【重点知识整合】一、三角恒等变换与三角函数1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:, ,三者中,知一可求二;(2)“1”的替换: ;(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:,;(5)公式变形:, ,;(6)构造辅助角(以特殊角为主):.二、解三角形1正弦定理已知在abc中，a，b，c分别为内角a、b、c的对边，则2r(r为三角形外接圆的半径)2余弦定理已知在abc中，a，b，c分别为内角a、b、c的对边，则a2b2c22bccosa，cosa，另外两个同样3面积公式已知在abc中，a，b，c分别为内角a、b、c的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的；(2)sabsincbcsinaacsinb(其中r为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积s(abc)r；(4)若p，则三角形的面积s.【高频考点突破】【变式探究】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2()ab c. d.【方法技巧】1用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单； 2同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件. 考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间：ysinx的递增区间是2k，2k(kz)，递减区间是2k，2k(kz)；ycosx的递增区间是2k，2k(kz)，递减区间是2k，2k(kz)；ytanx的递增区间是(k，k)(kz)例2、已知a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0x时，求函数f(x)的值域【变式探究】已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)|f()|对xr恒成立，且f()f()，则f(x)的单调递增区间是()ak，k(kz) bk，k(kz)ck，k(kz) dk，k(kz)考点三 函数yasin(x)的图像及变换 函数yasin(x)的图像：(1)“五点法”作图：设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得(2)图像变换：ysinx ysin(x)ysin(x)yasin(x)例3、已知函数f1(x)asin(x)(a0，0，|0，|)，yf(x)的部分图像如图，则f()()a2b. c. d2考点四 三角变换及求值 三角函数求值有以下类型： (1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变 换求三角函数式的值； (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的 其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角例1、已知函数f(x)2sin(x)，xr.(1)求f(0)的值；(2)设，0，f(3)，f(32).求sin()的值【变式探究】已知：cos(2)，sin(2)，0，则的值为_考点五 正、余弦定理的应用 【变式探究】abc中，b120，ac7，ab5， 则abc的面积为_ 考点 六 解三角形与实际应用问题 在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决例6、如图，a，b是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于a点北偏东45，b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达d点需要多长时间？【难点探究】难点一简单的三角恒等变换例1 、(1)若0，f()，则f(x)的单调递增区间是()a.(kz)b.(kz)c.(kz)d.(kz)【规律方法】1根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围2进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数ysin的图象向左平移个单位时，得到的是函数ysinsin2x的图象3解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究难点四正余弦定理的应用例4 、(1)在abc中，若b5，b，sina，则a_.(2)在abc中，sin2asin2bsin2csinbsinc，则a的取值范围是()a b. c. d.难点五函数的图象的分析判断例5 、在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosb，b2，求abc的面积s.【点评】 本题的难点是变换时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题探究点六解三角形的实际应用例6、如图61，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40方向距渔政船甲70 km的c处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20方向的b处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置c处沿直线ac航行前去救援，渔政船乙仍留在b处执行任务，渔政船甲航行30 km到达d处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在b处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线bc航行前去救援渔船丙)，此时b、d两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置c处实施营救？【变式探究】如图62，某巡逻艇在a处发现在北偏东45距a处8海里处有一走私船，正沿南偏东75的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向图62【规律技巧】1使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角2当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角3正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系【历届高考真题】【2012年高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根，则的值为（a）-3 （b）-1 （c）1 （d）33.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ） 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）a、 b、 c、 d、7.【2012高考真题辽宁理7】已知，(0，)，则=(a) 1 (b) (c) (d) 18.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=a b. c. d. 9.【2012高考真题湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为 a -2 ,2 b.-, c.-1,1 d.- , 10.【2012高考真题上海理16】在中，若，则的形状是（ ）a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d不能确定13.【2012高考真题全国卷理7】已知为第二象限角，则cos2=(a) （b） (c) (d)二、填空题14.【2012高考真题湖南理15】函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，p为图像与y轴的交点，a,c为图像与x轴的两个交点，b为图像的最低点.（1）若，点p的坐标为（0，），则 ;（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在abc内的概率为 .17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是若；则 若；则 若；则 若；则若；则18.【2012高考真题福建理13】已知abc得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则 20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。22.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 24.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围. 【2011年高考试题】一、选择题:1.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（a） （b）（c） （d）4.(2011年高考浙江卷理科6)若，则（a） （b） （c） （d）二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=atan（x+）（0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=_.2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则的值为_4. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）在abc中，角a,b,c的对边分别是a,b,c,已知sinc+cosc=1-sin （1）求sinc的值（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）已知函数（1）求的值；（2）设求的值.7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）设abc的内角a、b、c所对的边分别为，已知.() 求abc的周长；()求cos(ac.).8(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）设满足，求函数 在上的最大值和最小值10. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）已知函数（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求证：.13(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）已知函数。（）求的最小正周期：（）求在区间上的最大值和最小值。【2010年高考试题】（2010浙江理数）（9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（a） （b） （c） （d）（2010辽宁理数）（5）设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（a） (b) (c) (d)3 （2010江西理数）17.（本小题满分12高考资源*网分）已知函数。(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；(2) 当时，求m的值。（2010北京理数）已知函数。（）求的值；（）求的最大值和最小值。（20