高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22.ppt

2 2 2反证法 第二章 2 2直接证明与间接证明 学习目标 1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点反证法 王戎小时候 爱和小朋友在路上玩耍 一天 他们发现路边的一棵树上结满了李子 小朋友一哄而上 去摘李子 独有王戎没动 等到小朋友们摘了李子一尝 原来是苦的 他们都问王戎 你怎么知道李子是苦的呢 王戎说 假如李子不苦的话 早被路人摘光了 而这树上却结满了李子 所以李子一定是苦的 思考本故事中王戎运用了什么论证思想 答案运用了反证法思想 梳理 1 定义 假设原命题 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫做反证法 2 反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与矛盾 或与矛盾 或与矛盾等 不成立 假设错误 原命题成立 已知条件 假设 定义 公理 定理 事实 1 反证法属于间接证明问题的方法 2 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 3 反证法的实质是否定结论导出矛盾 思考辨析判断正误 题型探究 类型一用反证法证明否定性命题 证明 例1已知a b c d r 且ad bc 1 求证 a2 b2 c2 d2 ab cd 1 证明假设a2 b2 c2 d2 ab cd 1 因为ad bc 1 所以a2 b2 c2 d2 ab cd bc ad 0 即 a b 2 c d 2 a d 2 b c 2 0 所以a b 0 c d 0 a d 0 b c 0 则a b c d 0 这与已知条件ad bc 1矛盾 故假设不成立 所以a2 b2 c2 d2 ab cd 1 反思与感悟 1 用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 证明 a b c成等比数列 b2 ac a c 从而a b c 这与已知a b c不成等差数列相矛盾 类型二用反证法证明 至多 至少 类问题 证明 例2a b c 0 2 求证 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 证明假设 2 a b 2 b c 2 c a都大于1 因为a b c 0 2 所以2 a 0 2 b 0 2 c 0 所以 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 证明 引申探究已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能都大于 a b c都是小于1的正数 1 a 1 b 1 c都是正数 反思与感悟应用反证法常见的 结论词 与 反设词 当命题中出现 至多 至少 等词语时 直接证明不易入手且讨论较复杂 这时 可用反证法证明 证明时常见的 结论词 与 反设词 如 证明 跟踪训练2已知a b c是互不相等的实数 求证 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a y3 cx2 2ax b 得 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 且 3 4a2 4bc 0 同向不等式求和 得4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 类型三用反证法证明唯一性命题 证明 例3求证 方程2x 3有且只有一个根 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则 3 3 两式相除得 1 b1 b2 0 则b1 b2 这与b1 b2矛盾 假设不成立 从而原命题得证 反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论是以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 可先证 存在性 由于假设 唯一性 结论不成立易导出矛盾 因此可用反证法证其唯一性 跟踪训练3若函数f x 在区间 a b 上是增函数 求证 方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f f 这与假设f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明 达标检测 1 证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 第一步应假设a 三角形中至少有一个直角或钝角b 三角形中至少有两个直角或钝角c 三角形中没有直角或钝角d 三角形中三个角都是直角或钝角 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 2 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么直线c与b的位置关系为a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线解析假设c b 而由c a 可得a b 这与a b异面矛盾 故c与b不可能是平行直线 解析 答案 3 用反证法证明 在三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中a 有一个内角小于60 b 每一个内角都小于60 c 有一个内角大于60 d 每一个内角都大于60 1 2 3 4 5 答案 4 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设a a不垂直于cb a b都不垂直于cc a bd a与b相交 1 2 3 4 5 答案 证明 1 2 3 4 5 证明假设三个方程都没有实数根 则由判别式都小于零 1 2 3 4 5 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不全面的 2 反证