高考数学二轮复习 导数基础篇.doc

1 高考冲刺之导数 基础篇 高考冲刺之导数 基础篇 1 导数的几何意义 函数y f x 在x x0处的导数f x0 是曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线l的斜率 切线l的方程是y f x0 f x0 x x0 2 导数的物理意义 若物体位移随时间变化的关系为s f t 则f t0 是物体运动在t t0时刻的瞬时速 度 3 函数的单调性 在 a b 内可导函数f x f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于 0 f x 0 函数f x 在 a b 上单调递增 f x 0 函数f x 在 a b 上单调递 减 4 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法 一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0 的根 检查f x 在方程f x 0 的根左右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处 取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 5 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若 函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值 的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 6 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间 的函数关系式y f x 2 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0 的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题作答 两个注意 1 注意实际问题中函数定义域的确定 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定最大值 还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 三个防范 1 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 另 外注意函数最值是个 整体 概念 而极值是个 局部 概念 2 f x0 0 是y f x 在x x0取极值的既不充分也不必要条件 如 y x 在x 0 处取得极小值 但在x 0 处不可导 f x x3 f 0 0 但x 0 不是f x x3的极值点 3 若y f x 可导 则f x0 0 是f x 在x x0处取极值的必要条件 易误警示 直线与曲线有且只有一个公共点 直线不一定是曲线的切线 反之直线是曲线的切线 但 直线不一定与曲线有且只有一个公共点 两个条件 1 f x 0 在 a b 上成立是f x 在 a b 上单调递增的充分条件 2 对于可导函数f x f x0 0 是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 三个步骤 求函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 由f x 0 f x 0 解出相应的 x的范围 当f x 0 时 f x 在相应的区间上是增函数 当f x 0 时 f x 在相应的区 间上是减函数 还可以列表 写出函数的单调区间 小题分类 1 导数与积分 定积分 ln2 0 exdx 的值为 a 1b 1c 2 e1 d 2 e 答案 b 2 当0 x 时 函数 2 yx 与函数2xy 的图像所围成的封闭区域的面积是 答案 3 4 27 3 用max a b 表示 a b 两个数中的最大数 设 2 max f xxx 1 4 x 那么 由函数 yf x 的图象 x 轴 直线 1 4 x 和直线2x 所围成的封闭图形的面积是 答案 35 12 4 若dxxcdxxbxdxa 1 0 2 1 0 1 0 1 1 则cba 的大小关系是 a cba b bca c cab d abc 答案 a 变式 设 a sinx cosx dx 则 a 6的二项展开式中含 x2的系数是 0 x 1 x a 192 b 192 c 96 d 96 解析 因为 a sinx cosx dx cosx sinx error cos sin 0 0 cos0 sin0 2 所以 a 6 6 则可知其通项 tr 1 1 rc 26 rx x 1 x 2 x 1 x r 6 1 rc 26 rx3 r 令 3 r 2 r 1 所以展开式中含 x2项的系数是 1 6 r 2 r 2r 6 rc 26 r 1 1c 26 1 192 故答案选 b r 61 6 2 若等比数列 an 的首项为 且 a4 1 2x dx 则公比等于 2 3 4 1 解析 1 2x dx x x2 4 16 1 1 18 即 a4 18 q3 q 3 4 14 1 2 3 2 导数的单调性 若 则的单调递增区间为 2 24lnf xxxx f x a b c d 答案 1 0 1 02 2 0 c 2 函数的定义域为 r 对任意实数 x 满足 且 f x 1 3 f xfx 当 l x 2 时 函数的导数 则的单调 1 3 f xf x f x 0fx f x 递减区间是 4 a b 2 21 kkkz 21 2 kk kz c d 答案 2 22 kkkz 22 2 kk kz a 3 已知函数为自然对数的底数 若函数在 2 21 r x f xaxxea e f x 1 1 上单调递减 求的取值范围 a 答案 解 322 12 22 22 xaxaxeexaxeaxxf xxx 令 若 则 在内 3 1 2 2 xaaxxg0 a32 xxg 11 0 xg 即 函数在区间上单调递减 7 分 若 则0 x f xf 11 0 a 其图象是开口向上的抛物线 对称轴为 当且3 1 2 2 xaaxxg1 1 a a x 仅当 即时 在内 0 1 g10 a 11 0 xg0 x f 函数在区间上单调递减 若 则 其图象 xf 11 0 a3 1 2 2 xaaxxg 是开口向下的抛物线 当且仅当 即时 在内 0 1 0 1 g g 0 3 5 a 11 0 xg0 x f 函数在区间上单调递减 xf 11 综上所述 函数在区间上单调递减时 的取值范围是 12 分 xf 11 a1 3 5 a 3 导数与切线斜率 设ra 函数 ee xx f xa 的导函数是 fx 且 fx 是奇 函数 若曲线 yf x 的一条切线的斜率是 3 2 则切点的横坐标为 a ln2 2 b ln2 c ln2 2 d ln2 答案 d 2 已知函数 0 1 2 1 3 1 23 axx a axxf 则 xf在点 1 1 f处的切线的 斜率最大时的切线方程是 答案 3 1 y 3 曲线 y x3 x 在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 1 3 1 4 3 5 a b c d 1 9 2 9 1 3 2 3 答案 a 4 导数与图像 函数 y f x 在定义域 3 内的图像如图所示 记 y f x 的导 3 2 函数为 y f x 则不等式 f x 0 的解集为 a 1 2 3 b 1 1 3 1 2 4 3 8 3 c 1 2 d 3 3 2 1 2 3 2 1 3 1 2 4 3 4 3 答案 a 2 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可 fx f x yfx yf x 能的是 答案 c 3 已知 r 上可导函数的图象如图所示 则不等式的解集为 xf0 32 2 xfxx 答案 d a b 1 2 2 1 2 c d 2 0 1 1 3 1 1 1 5 导数的运用 已知定义在 r 上的函数满足 且 xgxf x a xg xf xgxfxgxf 则的值是 2 5 1 1 1 1 g f g f a a 2b c 3d 2 1 3 1 答案 b 2 已知定义在实数集 r 上的函数满足 1 且的导数在 r 上恒有 xf 1 f xf x f 6 则不等式的解集为 x f 2 1 rx 2 1 2 2 2 x xf a b c d 1 1 1 1 1 1 答案 d 3 函数 xf的定义域为r 2 1 f 对任意2 xfrx 则42 xxf的 解集为 a 1 1 b 1 c 1 d r 答案 b 4 若是奇函数 则 cos 3 0 f xx f xfx 答案 5 是定义在上的非负可导函数 且满足 对任意的正数 xf 0 xfxf x 若 则必有 a b c ba ba abfbaf bbfaaf bbfaaf d 答案 a abfbaf 大题冲关 1 研究函数的单调性 极值 最值等问题 例 1 设函数 2 1 2ln 1 f xxx i 求 f x的单调区间 ii 当 0 a 2 时 求函数 2 1g xf xxax 在区 间 0 3 上的最小值 解 i 定义域为 1 12 2 2 1 11 x x fxx xx 令 0fx 则 2 2 0 1 x x x 所以2x 或0 x 因为定义域为 1 所以0 x 令 0fx 则 2 2 0 1 x x x 所 以20 x 因为定义域为 1 所以10 x 所以函数的单调递增区间为 0 单调递减 区间为 1 0 ii 2 2ln 1 g xa xx 7 1x 2 2 2 11 a xa g xa x xx 因为 0 a0 即 fx g x0a 30 x 0fx 4 分 当时 g x 5 所以函数 f x 在区间上的最大值是 14 分 5 5 5 5 5fe e 5 5 5e 5 本小题满分 13 分 已知函数 322 f xxaxbxaa br 若函数 fx在1x 处有极值为 10 求 b 的值 若对于任意的 4 a fx在 0 2x 上单调递增 求 b 的最小值 15 答案 2 32fxxaxb 于是 根据题设有 2 1320 1110 fab faba 解得 4 11 a b 或 3 3 a b 当 4 11 a b 时 2 3811fxxx 64 1320 所以函数有极值点 当 3 3 a b