广东省广州六中高三数学上学期10月月考试卷 理（含解析）.doc

广东省广州六中2015届高三上学 期10月月考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，满分40分）1（5分）若复数（a23a+2）+（a1）i是纯虚数，则实数a的值为（）a1b2c1或2d12（5分）下列函数中，最小正周期为2的是（）ay=cosxby=sin（2x+）cy=tanxdy=|sinx|3（5分）已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）abln（x2+1）ln（y2+1）csinxsinydx3y34（5分）已知平面、和直线m，给出条件：m；m；m；由这五个条件中的两个同时成立能推导出m的是（）abcd5（5分）已知函数f（x）=丨x2丨+1，g（x）=kx若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）a（0，）b（，1）c（1，2）d（2，+）6（5分）已知an为等差数列，bn为等比数列，其公比q1且bi0（i=1，2，n），若a1=b1，a5=b5则（）aa3b3ba3=b3ca3b3da3b3或a3b37（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）a5b4cd28（5分）已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）a4bc6d2二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）9（5分）已知集合a=1，3，2m1，集合b=3，m2若ba，则实数m=10（5分）已知abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=2，b=135，sabc=4，则b=11（5分）阅读如图所示的程序框图若使输出的结果不大于31，则输入的整数i的最大值为12（5分）平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a（2，1），b（1，3），若点c满足，其中0，1，且+=1，则点c的轨迹方程为13（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）坐标系与参数方程14（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点a的极坐标为（2，），曲线c的参数方程为，则曲线c上的点b与点a距离的最大值为几何证明选讲选做题15如图，在rtabc中，斜边ab=12，直角边ac=6，如果以c为圆心的圆与ab相切于d，则c的半径长为三.解答题（共6小题，满分80分）16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，xr（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，0，求cos（+）的值17（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 1565岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一15，25）a0.75二25，35）2000.40三35，45）50.1四45，55）3b五55，6520.1（1）求a，b的值（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，表示其中“追星族”的人数，求分布列、期望和方差18（14分）如图正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点（）求证：bm平面adef；（）求证：平面bde平面bec；（）求平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值19（14分）已知数列an，an2，an+1=，a1=3（1）证明：数列是等差数列（2）设bn=an2，数列bnbn+1的前n项和为sn，求使（2n+1）2n+2sn（2n3）2n+1+192成立的最小正整数n20（14分）已知抛物线c：x2=2py（p0）与直线y=x1相切，且知点f（0，1）和直线l：y=1，若动点p在抛物线c上（除原点外），点p处的切线记为m，过点f且与直线pf垂直的直线记为n（1）求抛物线c的方程；（2）求证：直线l，m，n相交于同一点21（14分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在（a1，a+1）（a1）上有极值点，求实数a的范围（2）求证：x1时，x（x+1）f（x）广东省广州六中2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，满分40分）1（5分）若复数（a23a+2）+（a1）i是纯虚数，则实数a的值为（）a1b2c1或2d1考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义 分析：注意到复数a+bi，a，br为纯虚数的充要条件是解答：解：由a23a+2=0得a=1或2，且a10得a1a=2故选b点评：本题是对基本概念的考查，属于基础题2（5分）下列函数中，最小正周期为2的是（）ay=cosxby=sin（2x+）cy=tanxdy=|sinx|考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值分析：由条件求得各个选项中函数的最小正周期，从而得出结论解答：解：由于函数y=cosx的周期为2，数y=sin（2x+）的周期为=，函数y=tanx的周期为，函数y=|sinx|的周期为2=，故只有a满足条件，故选：a点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题3（5分）已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）abln（x2+1）ln（y2+1）csinxsinydx3y3考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键解答：解：实数x，y满足axay（0a1），xy，a若x=1，y=1时，满足xy，但=，故不成立b若x=1，y=1时，满足xy，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）ln（y2+1）不成立c当x=，y=0时，满足xy，此时sinx=sin=0，siny=sin0=0，有sinxsiny，但sinxsiny不成立d函数y=x3为增函数，故当xy时，x3y3，恒成立，故选：d点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键4（5分）已知平面、和直线m，给出条件：m；m；m；由这五个条件中的两个同时成立能推导出m的是（）abcd考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用面面平行的性质即可得出结果解答：解：m，m故m故选：b点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，熟练掌握面面平行的性质是解题的关键5（5分）已知函数f（x）=丨x2丨+1，g（x）=kx若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）a（0，）b（，1）c（1，2）d（2，+）考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：koa=，数形结合可得 k1，故选：b点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题6（5分）已知an为等差数列，bn为等比数列，其公比q1且bi0（i=1，2，n），若a1=b1，a5=b5则（）aa3b3ba3=b3ca3b3da3b3或a3b3考点：等差数列的性质；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列与等比数列的性质可得a3=，=，依题意，利用基本不等式可得答案解答：解：an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1，a5=b5，a3=|b3|，q1且bi0，a3b3，故选：a点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，考查基本不等式的应用，属于中档题7（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）a5b4cd2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b2=0a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：a（2，1）化目标函数为直线方程得：（b0）由图可知，当直线过a点时，直线在y轴上的截距最小，z最小2a+b=2即2a+b2=0则a2+b2的最小值为故选：b点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题8（5分）已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度|=|sin，若=（2，0），=（1，），则|（+）|=（）a4bc6d2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=再利用平方关系可得，利用新定义即可得出解答：解：由题意，则，=6，=2，=2=即，得，由定义知，故选：d点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）9（5分）已知集合a=1，3，2m1，集合b=3，m2若ba，则实数m=1考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题分析：根据题意，若ba，必有m2=2m1，而m2=1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证解答：解：由ba，m21，m2=2m1解得m=1验证可得符合集合元素的互异性，此时b=3，1，a=1，3，1，ba满足题意故答案为：1点评：本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题10（5分）已知abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a=2，b=135，sabc=4，则b=考点：正弦定理 专题：解三角形分析：先利用三角形面积公式和已知条件可求得c，最后利用余弦定理求得b的值解答：解：sabc=acsinb=2c=4，c=4，b=2，故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理常用来解决三角形问题中边角问题的互化11（5分）阅读如图所示的程序框图若使输出的结果不大于31，则输入的整数i的最大值为5考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值解答：解：经过第一次循环得到s=1，n=1，经过第二次循环得到s=3，n=2，经过第三次循环得到s=7，n=3，经过第四次循环得到s=15，n=4，经过第五次循环得到s=31，n=5，经过第六次循环得到s=63，n=6，输出的结果不大于31n的最大值为5i的最大值为5故答案为：5点评：本题主要考查了循环结构，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题12（5分）平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a（2，1），b（1，3），若点c满足，其中0，1，且+=1，则点c的轨迹方程为4x+3y5=0，x1，2考点：轨迹方程 专题：计算题分析：由，0，1，且+=1，可知abc三点共线，且c在线段ab上，故点c的轨迹方程即为线段ab的方程，利用两点式写出ab的方程，加上x的范围即可解答：解：由三点共线知识知，若点c满足，其中0，1，且+=1，则abc三点共线，且c在线段ab上，故点c的轨迹方程即为线段ab的方程，直线ab的方程为，故线段ab的方程为4x+3y5=0，x1，2故答案为：4x+3y5=0，x1，2点评：本题考查三点共线、两个向量共线的条件，及直线方程等知识，将向量知识与解析几何很好的结合由向量式子看出三点共线是解决本题的关键13（5分）函数f（x）的定义域为r，f（1）=2，对任意xr，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（1，+）考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法 专题：计算题分析：构建函数f（x）=f（x）（2x+4），由f（1）=2得出f（1）的值，求出f（x）的导函数，根据f（x）2，得到f（x）在r上为增函数，根据函数的增减性即可得到f（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集解答：解：设f（x）=f（x）（2x+4），则f（1）=f（1）（2+4）=22=0，又对任意xr，f（x）2，所以f（x）=f（x）20，即f（x）在r上单调递增，则f（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故答案为：（1，+）点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）坐标系与参数方程14（5分）以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点a的极坐标为（2，），曲线c的参数方程为，则曲线c上的点b与点a距离的最大值为5考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，求得a到圆心c的距离ac，再加上半径，即为所求解答：解：把点a的极坐标（2，）化为直角坐标为（2，2），把曲线c的参数方程为，消去参数，化为直角坐标方程为（x2）2+（y+2）2=1，表示以c（2，2）为圆心、半径等于1的圆求得ac=4，则曲线c上的点b与点a距离的最大值为ac+r=4+1=5，故答案为：5点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点和圆的位置关系，属于基础题几何证明选讲选做题15如图，在rtabc中，斜边ab=12，直角边ac=6，如果以c为圆心的圆与ab相切于d，则c的半径长为考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明 专题：直线与圆分析：在rtabc中，利用勾股定理即可得出bc又ab与c相切与点d，连接cd，得到cdab利用sabc=，即可得出c的半径cd解答：解：在rtabc中，斜边ab=12，直角边ac=6，=6ab与c相切与点d，连接cd，cdabsabc=，=c的半径长为故答案为点评：熟练掌握勾股定理、圆的切线的性质和“等面积变形”是解题的关键三.解答题（共6小题，满分80分）16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，xr（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，0，求cos（+）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期；（2）由f（）=求出sin（+）的值，考虑的取值范围，求出+的取值范围，从而求出cos（+）的值解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2（sin2x+cos2x）+1=2sin（2x+）+1，xrf（x）的最小正周期为t= （2）f（）=2sin2（）+1=2sin（+）+1=，0，时，点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，解题时应注意三角函数的化简以及由值求角和由角求值时角的范围，是中档题17（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 1565岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一15，25）a0.75二25，35）2000.40三35，45）50.1四45，55）3b五55，6520.1（1）求a，b的值（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，表示其中“追星族”的人数，求分布列、期望和方差考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图能求出a=300，b=0.1（2）由45，65范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，b（2，），由此能求出分布列、期望和方差解答：（本小题满分12分）解：（1）由题设知15，25）这组人数为0.04101000=400，（1分）故a=0.75400=300，（2分）45，55）这组人数为0.003101000=30，故b=（3分）综上，a=300，b=0.1（4分）（2）由45，65范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，b（2，）（6分）故的分布列是：012p0.810.180.01（8分）的期望是（10分）的方差是（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，是中档题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用18（14分）如图正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点（）求证：bm平面adef；（）求证：平面bde平面bec；（）求平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：计算题；证明题分析：（i）取de中点n，连接mn，an，由三角形中位线定理，结合已知中abcd，ab=ad=2，cd=4，易得四边形abmn为平行四边形，所以bman，再由线面平面的判定定理，可得bm平面adef；（ii）由已知中正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，易得ed平面abcd，进而edbc，由勾股定理，我们易判断出bcd中，bcbd，由线面垂直的判定定理可得bc平面bde，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面bde平面bec；（iii）以d为原点，da，dc，de所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面bec与平面adef的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值解答：证明：（i）取de中点n，连接mn，an在edc中，m、n分别为ec，ed的中点，所以mncd，且mn=cd由已知abcd，ab=cd，所以mnab，且mn=ab所以四边形abmn为平行四边形，所以bman又因为an平面adef，且bm平面adef，所以bm平面adef（4分）（ii）在正方形adef中，edad，又因为平面adef平面abcd，且平面adef平面abcd=ad，所以ed平面abcd，所以edbc在直角梯形abcd中，ab=ad=2，cd=4，可得bc=2在bcd中，bd=bc=2，cd=4，所以bcbd所以bc平面bde，又因为bc平面bce，所以平面bde平面bec（9分）解：（iii）由（2）知ed平面abcd，且adcd以d为原点，da，dc，de所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系b（2，2，0），c（0，4，0），e（0，0，2），平面adef的一个法向量为=（0，1，0）设=（x，y，z）为平面bec的一个法向量，因为，令x=1，得y=1，z=2所以=（1，1， 2）为平面bec的一个法向量设平面bec与平面adef所成锐二面角为则cos=所以平面bec与平面adef所成锐二面角为余弦值为点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键19（14分）已知数列an，an2，an+1=，a1=3（1）证明：数列是等差数列（2）设bn=an2，数列bnbn+1的前n项和为sn，求使（2n+1）2n+2sn（2n3）2n+1+192成立的最小正整数n考点：数列的求和；等差关系的确定 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列的定义，进行证明即可；（2）确定数列bnbn+1的通项，利用裂项法求和，即可得出结论解答：（1）证明：由得（2分）an2，（5分）数列是公差为2的等差数列 （6分）（2）解：由知（7分），（9分）=（11分）故等价于n2n+2（2n3）2n+1+192即2n+164=26，故n5（13分）使成立的最小正整数n=6 （14分）点评：本题考查等差数列的证明，考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，其中涉及错裂项法求和在问题中的应用20（14分）已知抛物线c：x2=2py（p0）与直线y=x1相切，且知点f（0，1）和直线l：y=1，若动点p在抛物线c上（除原点外），点p处的切线记为m，过点f且与直线pf垂直的直线记为n（1）求抛物线c的方程；（2）求证：直线l，m，n相交于同一点考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程