广东省广州市高三数学上学期第四次月考试题 理.doc

华南师范大学附中2013年上学期第四次月考试题数学（理）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是偶函数的是（ ）a. ； b. ； c. ； d. 2. 双曲线的实轴长是（ ）a. 2； b. ； c. 4； d. 3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，则（ ）a. ； b. 8； c. 或8； d. 6 4. 设，则的值为（ ）a. ； b. ； c. ； d.5. 已知函数，则在上的零点个数为（ ）a. 1； b. 2； c. 3； d. 46. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ） a. ； b. ； c. ； d. 7. 将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为（ ）a. ； b. ； c. ； d. 8. 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2011棵树所在的点的坐标是（ ） a. ； b. ； c.； d. 二、填空题（本大题6小题，每小题5分，满分30分）9. 若变量满足条件，则的最小值为 10. 已知直线与圆相交于两点，且，则 11. 由直线，与曲线所围成的封闭图像的面积为 12. 给出下列不等式 ； ； ； 其中一定成立的是 13. 过抛物线的焦点，且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则的值为 14. 如图，在中，是边上的点，且，则的值为 三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本小题满分13分） 已知函数，（1）求函数的最大值和最小正周期（2）设的内角的对边分别是，且，若，求的值16. （本小题满分12分）某沙漠地区经过人们的改造，到2010年底，已知将1万亩沙漠面积的30%转变成了绿洲，计划从2011年起，每年将剩余沙漠面积的16%改造成绿洲，同时上一年绿洲面积的4%又被浸蚀变成沙漠，从2011年开始：（1）经过年后该地区的绿洲面积为多少万亩？（2）经过至少多少年的努力，才能使该地区沙漠绿化率超过60%？（已知）17. （本小题满分13分）解关于的不等式18. （本小题满分13分）设是函数的两个极值点，（1）若，求证：（2）如果，求的取值范围19. （本小题满分14分）已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，离心率，（1）求该椭圆的标准方程（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由。20. （本小题满分14分）已知数列满足，数列满足，数列满足（1）求数列的通项公式（2）试比较与的大小，并说明理由。（3）我们知道，数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢？若会，求出的取值范围，若不会，请说明理由。华南师范大学附中2013年上学期第四次月考试卷答案：一、选择题 18. ccba baba二、填空题9. ；10. ；11. ； 12. 正确；13. 4； 14. ；三、解答题 15. （1），的最大值为0；最小正周期为（2），解得； 又，由正弦定理-，由余弦定理，即-由解得：，。 16. （1）设经过年绿洲面积为万亩，由题意得 ，而数列满足，即，所以，（2）解不等式，可得，所以17. 当时，原不等式化为； 当时，原不等式化为-，解得：，当，即时，不等式的解为，当时，即时，不等式的解为或；当时，即时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；综上可得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或；18. （1）由已知得：，是方程的两根， 且，所以，即，而 （2）由韦达定理，所以，即，当时，由，得，这时，由，得所以是关于的增函数，故；当时，由得，这时，由，得，所以也是关于的增函数，故；综上可得：的取值范围是。19. （1）由，所以椭圆方程为。（2）设，则由得，因为在椭圆上，所以，又因为，即，故=20，即（定值）（3）由